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第二十一章 四边形
21.2 平行四边形
21.2.3 三角形的中位线
教学设计
课题 21.2.3 三角形的中位线 授课人
教学目标 1.理解平行四边形的判定方法和三角形中位线定理 2.通过作图、猜想、验证等方法，培养学生的探究能力和逻辑推理能力 3.感受几何知识的严谨性和逻辑性，激发学生的学习兴趣
教学重点 理解并证明三角形中位线定理，能够运用平行四边形的判定方法和三角形中位线定理解决几何问题
教学难点 探究和证明三角形中位线定理，灵活运用平行四边形的判定方法解决综合性问题。
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 平行四边形的性质和判定有哪些？ 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等研究平行四边形的有关问题.下面利用平行四边形研究三角形的有关问题. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线． 思考 一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？ 注意 （1）理解三角形中位线定义的两层含义： ①如果D，E分别是AB，AC的中点，那么DE是△ABC的中位线； ②如果DE是△ABC的中位线，那么D，E分别是AB，AC的中点． （2）区分三角形的中位线与中线： 中位线是连接三角形两边中点的线段； 中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段． （3）一个三角形共有三条中位线． 观察下图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？ 猜想：DE∥BC，DE=BC．下面对它们进行证明. 已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．求证：DE∥BC，DE=BC． 分析：我们既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半. 如图，将DE延长一倍（得到点F）后，可以将证明DE//BC，且DE=BC转化为证明DFBC，而这只要证明以B，C，F，D力顶点的四边形是平行四边形，进而只要证明四边形ADCF是平行四边形.由于DE=EF，E是AC的中点，所以四边形ADCF是平行四边形可以利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明. 证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF. ∵ AE=EC，DE=EF, ∴ 四边形ADCF是平行四边形. ∴ CFDA. 又 D是AB的中点， ∴ CFBD. ∴ 四边形DBCF是平行四边形. ∴ DFBC. 又 DE= DF, ∴ DE BC,且DE= BC. 小结 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 符号语言：∵AD＝BD，AE＝EC，∴DEBC． （链接例1、例2、例3） 通过问题探究和讨论，帮助学生理解三角形的中位线.通过观察和讨论，帮助学生发现三角形的中位线的性质，并掌握其应用.
典例精析 【例1】已知△ABC的面积是S，顺次连接各边中点E，G，F所得的四个三角形面积各是多少？ 【解析】每个三角形的面积＝S 【解】根据三角形的中位线定理知，EF＝BC＝BG，AE＝AB＝EB，AF＝AC＝EG， 故△AEF≌△EBG， 同理，△AEF≌△FGC，△GFE≌△AEF． 所以，S△AEF＝S△EBG＝S△FGC＝S△GFE＝S． 【例2】如果△ABC三边的长分别为a，b，c，那么顺次连接各边中点E，G，F所得的四个三角形周长分别是多少？ 【解】根据三角形的中位线定理知， F＝a，EG＝b，GF＝c． 故△EGF的周长＝a＋b＋c＝(a＋b＋c)． 同理，其他三角形的周长也是(a＋b＋c)． 【例3】如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 【解析】 【证明】连接AC. ∵E,F,G,H分别为各边的中点, ∴EF∥AC, HG∥AC, ∴ EF∥HG, EF=HG. ∴四边形EFGH是平行四边形. 【方法总结】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形. 通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力.
随堂检测 1.如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为（　C　） A.1 B.2 C.4 D.8 2.如图，在 ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（　C　） A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边AB、BC、AC的中点. （1）若∠ADF=50°，则∠B= 50 °； （2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则△DEF的周长为 15 . 4.在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是 11 . 5.如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长 解：∵D、E分别为AC、BC的中点， ∴DE∥AB， ∴∠2＝∠3. 又∵AF平分∠CAB， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AD＝DF＝3， ∴AC＝2AD＝2DF＝6. 6.如图，E为 ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论． 解：AB∥OF，AB＝2OF. 证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC， ∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF. ∵CE＝DC，∴AB＝CE, ∴△ABF≌△ECF(ASA)， ∴BF＝CF. ∵OA＝OC， ∴OF是△ABC的中位线， ∴AB∥OF，AB＝2OF. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 21.2.3 三角形的中位线 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 例题解析
教学反思(共19张PPT)
21.2.3 三角形的中位线
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.
2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
平行四边形的性质和判定有哪些？
边：
角：
对角线：
B
O
D
A
C
AB∥CD, AD∥BC
AB=CD, AD=BC
AB∥CD, AB=CD
AO=CO,DO=BO
判定
性质
前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等研究平行四边形的有关问题.下面利用平行四边形研究三角形的有关问题.
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．
像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．
A
C
B
E
D
一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？
注意：
（1）理解三角形中位线定义的两层含义：
（2）区分三角形的中位线与中线：
中位线是连接三角形两边中点的线段；
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段．
（3）一个三角形共有三条中位线．
A
C
B
E
D
①如果D，E分别是AB，AC的中点，那么DE是△ABC的中位线；
②如果DE是△ABC的中位线，那么D，E分别是AB，AC的中点．
观察下图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？
A
C
B
E
D
猜想：DE∥BC，DE= BC．下面对它们进行证明.
分析：我们既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半.
已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．
求证：DE∥BC，DE= BC．
F
A
C
B
E
D
如图，将DE延长一倍（得到点F）后，可以将证明DE//BC，且DE=BC转化为证明DF BC，而这只要证明以B，C，F，D力顶点的四边形是平行四边形，进而只要证明四边形ADCF是平行四边形.由于DE=EF，E是AC的中点，所以四边形ADCF是平行四边形可以利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明.
∥
＝
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.
F
A
C
B
E
D
∵ AE=EC，DE=EF,
∴ 四边形ADCF是平行四边形.
∴ CF DA.
又 D是AB的中点，
∴ CF BD.
∴ 四边形DBCF是平行四边形.
∴ DF BC.
又 DE= DF,
∴ DE BC,且DE= BC.
∥
＝
∥
＝
∥
＝
三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
符号语言：
∵AD＝BD，AE＝EC，
A
C
B
E
D
∴DE BC．
∥
＝
例1 已知△ABC的面积是S，顺次连接各边中点E，G，F所得的四个三角形面积各是多少？
A
B
C
E
F
G
每个三角形的面积＝S
解：根据三角形的中位线定理知，
EF＝ BC＝BG，AE＝AB＝EB，AF＝AC＝EG，
故△AEF≌△EBG，
同理，△AEF≌△FGC， △GFE≌ △AEF．
所以，S△AEF ＝S△EBG ＝S△FGC ＝S△GFE＝S．
例2 如果△ABC三边的长分别为a，b，c，那么顺次连接各边中点E，G，F所得的四个三角形周长分别是多少？
A
B
C
E
F
G
每个三角形的周长＝(a＋b＋c)
解：根据三角形的中位线定理知，
EF＝a，EG＝ b，GF＝c．
故△EGF的周长＝a＋b＋c＝(a＋b＋c)．
同理，其他三角形的周长也是(a＋b＋c)．
例3 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
四边形问题
连接对角线
三角形问题
（三角形中位线定理）
分析：
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴EF∥AC,
HG∥AC,
∴四边形EFGH是平行四边形.
归纳 顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.
1.如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为（　　）
A.1 B.2
C.4 D.8
2.如图，在 ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于 （　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
C
C
3.如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边AB、BC、AC的中点.
（1）若∠ADF=50°，则∠B= °；
（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，
则△DEF的周长为 .
A
B
C
D
F
E
50
15
4.在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是 .
A
B
D
C
E
F
G
H
11
5.如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长
解：∵D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠2＝∠3.
又∵AF平分∠CAB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DF＝3，
∴AC＝2AD＝2DF＝6.
1
2
3
6.如图，E为 ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
解：AB∥OF，AB＝2OF.
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，
∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.
∵CE＝DC，∴AB＝CE,
∴△ABF≌△ECF(ASA)，
∴BF＝CF.
∵OA＝OC，
∴OF是△ABC的中位线，
∴AB∥OF，AB＝2OF.
三角形中位线
定义
定理
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半

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