资源简介

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21.3.1.1 矩形的性质
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
我们知道平行四边形是特殊的四边形，它具有特殊的性质．那么有没有特殊的平行四边形呢？如果有的话，它们又会具有什么样的特殊性质呢？
两组对边分别平行
四边形
平行四边形
有一个角
是直角
平行四边形
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形,矩形也就是长方形.
生活中的矩形.你还能举出一些例子吗？
与研究平行四边形一样，对于矩形，仍重点研究它的性质和判定.
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来研究.
A
B
C
D
O
根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是直角.
猜想2 矩形的对角线相等.
请同学们测量课本P69例1图形的四条边长度、四个角度数和对角线的长度,并记录测量结果.
证明猜想1：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形.∠A=90°.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明： ∵ 矩形ABCD是平行四边形,
∴ ∠A +∠B = 180°.
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
即矩形的四个角都是直角.
又∵ ∠A=90°,
∴ ∠A=∠C , ∠B = ∠D, AD//BC.
A
B
C
D
O
已知：四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.
求证：AC=DB.
证明猜想2：矩形的对角线相等．
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,
在△ABC和△DCB中,
AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,
∴△ABC≌△DCB(SAS)
∴AC=DB.
几何语言描述：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB.
归纳 矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等.
矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线是它的对称轴.
A
B
C
D
O
例1 如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,
AB=4 ,求矩形ABCD对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC =BD，OA=OC=AC,OB =OD =BD ,
∴OA = OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=BD=2OA=8.
矩形的对角线相等且互相平分
A
B
C
D
O
如图，BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，BO与斜边AC有什么关系？你能证明你发现的结论吗？
B
C
O
A
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出数学证明.
O
C
B
A
D
证明：延长BO至D， 使OD＝BO，连接AD，DC．
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
例2 已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是AC上的中线．
求证:BO ＝ AC．
∴BO＝ BD＝AC．
∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
C
B
A
O
符号语言：
Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，OA＝OC，
∴BO＝ AC．
例3 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长.
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝AC＝×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18 .
方法总结 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
1.对比平行四边形,下列选项中是矩形具有的特殊性质的是（　　）
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
C
一般性质
一般性质
一般性质
2．矩形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，请填写下列空格．
（1）若OA＝4，则BD＝ ．
8
（2）若∠DAO＝60 ，AD＝3，则
AC＝ ．
6
A
B
D
C
O
3．在□ABCD中，点E在边CD的延长线上，且AE//BD，EF⊥BC，交BC的延长线于点F．求证：DF＝CE．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD ，AB∥CD．
又 AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE＝AB，∴CD＝DE．
又EF⊥BC于F，
∴在Rt△CEF中得， DF＝CE．
A
B
C
D
E
F
矩形
定义
特殊性质
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
①四个角都是直角；
②对角线相等；
③轴对称图形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半第二十一章 四边形
21.3 特殊性的平行四边形
21.3.1 矩形
第1课时 矩形的性质
教学设计
课题 第1课时 矩形的性质 授课人
教学目标 1.理解矩形的概念并掌握矩形的有关性质．并利用性质能解决与矩形有关的角、线段及有关证明问题； 2.经历探索矩形有关性质的过程，在直观操作活动中学会简单说理，发展初步的合情推理能力与主动探究的习惯，逐步掌握说理的基本方法； 3.使学生感受到图形变化与对称的美，体会到数学来源于生活又应用于生活，以及自主合作探究精神，增强学生学习数学的乐趣
教学重点 掌握矩形的性质，并学会应用
教学难点 矩形的性质定理及直角三角形的特殊性质的综合运用
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 我们知道平行四边形是特殊的四边形，它具有特殊的性质．那么有没有特殊的平行四边形呢？如果有的话，它们又会具有什么样的特殊性质呢？ 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 小结 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形,矩形也就是长方形. 生活中的矩形.你还能举出一些例子吗？ 与研究平行四边形一样，对于矩形，仍重点研究它的性质和判定. 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 思考 可以从边，角，对角线等方面来研究. 请同学们测量课本P69例1图形的四条边长度、四个角度数和对角线的长度,并记录测量结果. 根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 证明猜想1：矩形的四个角都是直角． 已知：如图，四边形ABCD是矩形.∠A=90°. 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 证明： ∵ 矩形ABCD是平行四边形, ∴ ∠A=∠C , ∠B = ∠D, AD//BC. ∴ ∠A +∠B = 180°. 又∵∠A=90°, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,即矩形的四个角都是直角. 证明猜想2：矩形的对角线相等． 已知：四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O. 求证：AC=DB. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°, 在△ABC和△DCB中,AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB, ∴△ABC≌△DCB(SAS) ∴AC=DB. 小结 矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有： 矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等. 矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线是它的对称轴. 几何语言描述： ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB. （链接例1） 思考 如图，BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，BO与斜边AC有什么关系？你能证明你发现的结论吗？ 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 试给出数学证明. （链接例2） 小结 直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 符号语言： Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，OA＝OC， ∴BO＝AC． （链接例3） 通过问题探究和讨论，帮助学生理解矩形的性质.通过观察和讨论，帮助学生发现矩形的性质，并掌握其应用.
典例精析 【例1】如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°, AB=4 ,求矩形ABCD对角线的长. 【解】∵四边形ABCD是矩形. ∴AC =BD，OA=OC=AC,OB=OD=BD , ∴OA = OB. 又∵∠AOB=60°, ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=BD=2OA=8. 【方法总结】矩形的对角线相等且互相平分 【例2】已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是AC上的中线． 求证:BO＝AC． 【证明】延长BO至D， 使OD＝BO，连接AD，DC． ∵AO＝OC，BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，∴BO＝BD＝AC． 【例3】如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点． AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长. 【解】∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点， ∴DE＝AE＝AB＝×10＝5， DF＝AF＝AC＝×8＝4， ∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18 . 【方法总结】当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力.
随堂检测 1.对比平行四边形,下列选项中是矩形具有的特殊性质的是（　C　） 2．矩形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，请填写下列空格． （1）若OA＝4，则BD＝ 8 ． （2）若∠DAO＝60 ，AD＝3，则AC＝ 6 ． 3．在□ABCD中，点E在边CD的延长线上，且AE//BD，EF⊥BC，交BC的延长线于点F．求证：DF＝CE． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD ，AB∥CD． 又 AE∥BD， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴DE＝AB，∴CD＝DE． 又EF⊥BC于F， ∴在Rt△CEF中得， DF＝CE． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第1课时 矩形的性质 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 例题解析
教学反思

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