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21.3.1.2 矩形的判定
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.
1．矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形．
2．矩形有哪些性质？
矩形的四个角都是直角．
矩形的对角线相等．
矩形是轴对称图形．
如何判定一个四边形是矩形呢？
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法．
除定义外，还有没有其他的方法能判定是矩形呢？
我们能根据矩形的性质得到矩形的判定方法吗？
接下来我们研究矩形性质的逆命题是否成立．
问题1 上节课我们已经知道：
思考 你能证明这一猜想吗？
矩形的对角线相等
对角线相等的平行四边形是矩形？
逆命题
已知：如图,在□ABCD中,AC ,DB是它的两条对角线, AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
A
B
C
D
证一证
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴△ABC≌△DCB ,
∴∠ABC =∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC +∠DCB = 180°,
∴∠ABC = 90°,
∴□ABCD是矩形（矩形的定义）.
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在□ABCD中：
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
工人师傅测量四边形窗框的两组对边相等以确保是平行四边形，
再测量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，对角线相等的平行四边形是矩形.
工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，你知道其中的道理吗？
问题2 我们已经研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形．
成立
问题3 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
（有一个角是直角）
A
B
D
C
（有二个角是直角）
A
B
D
C
（有三个角是直角）
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形．
证明：∵ ∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
矩形的判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中：
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
例1 如图，在□ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点O，且 OA＝OD，∠OAD＝50°． 求 ∠OAB 的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD．
A
D
B
C
O
又∠OAD＝50°，∴ ∠OAB＝40°．
又OA＝OD，∴ AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90 ．
例2 如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H，
求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠BAD+∠ADC=180°
∵AF,DF分别平分∠BAD、∠ADC,
∴∠DAF+∠ADF=∠BAD+∠ADC=（∠BAD+∠ADC）=90°
∴∠F=90.
同理∠H=∠AEB=90°.
∴∠FEH=∠AEB=90°.
∴四边形EFGH是矩形.
H
A
B
C
D
E
F
G
1．判断下列语句的对错．
（1）有一个角是直角的四边形是矩形． （ ）
（2）四个角都相等的四边形是矩形． （ ）
（3）对角线相等的四边形是矩形． （ ）
（4）对角线相等且互相平分的四边形是矩形． （ ）
×
√
×
√
平行四边形
平行四边形
2.已知□ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形是矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
B
解析：对于A，∵∠A＝∠B， ∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝∠B＝90°，∴□ABCD是矩形．
对于C，∵AC＝BD，∴□ABCD是矩形．
对于D，∵AB⊥BC ，∴∠B＝90 ，
∴□ABCD是矩形．
3．在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，△ABO是等边三角形．求证：□ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD．
∵ △ABO是等边三角形，
∴ OA＝OB，∴ AC＝BD，
∴□ABCD是矩形．
A
B
D
C
O
4.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD＝∠BAC，∠CAN＝∠CAM．
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN
＝(∠BAC＋∠CAM)
＝×180°＝90°．
在△ABC中，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC．∴∠ADC＝90°．
又CE⊥AN，
∴∠CEA＝90°．
∴四边形ADCE是矩形．
4.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．求证：四边形ADCE是矩形．
矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形第二十一章 四边形
21.3 特殊性的平行四边形
21.3.1 矩形
第2课时 矩形的判定
教学设计
课题 第2课时 矩形的判定 授课人
教学目标 1.探究理解并掌握矩形的判定定理； 2.运用矩形的判定解决简单证明题和计算题
教学重点 矩形判定定理的探究与证明
教学难点 选择合适的判定方法证明四边形为矩形
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 1．矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形． 2．矩形有哪些性质？ 矩形的四个角都是直角． 矩形的对角线相等． 矩形是轴对称图形． 如何判定一个四边形是矩形呢？ 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法． 除定义外，还有没有其他的方法能判定是矩形呢？ 我们能根据矩形的性质得到矩形的判定方法吗？ 接下来我们研究矩形性质的逆命题是否成立． 问题1 上节课我们已经知道： 思考 你能证明这一猜想吗？ 证一证： 已知：如图,在□ABCD中,AC ,DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：□ABCD是矩形. 证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴△ABC≌△DCB , ∴∠ABC =∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC +∠DCB = 180°, ∴∠ABC = 90°, ∴□ABCD是矩形（矩形的定义）. 小结 矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在□ABCD中，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形. 工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，你知道其中的道理吗？ 工人师傅测量四边形窗框的两组对边相等以确保是平行四边形，再测量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，对角线相等的平行四边形是矩形. 问题2 我们已经研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形． 成立 问题3 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°． 求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵ ∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°， ∴AD∥BC，AB∥CD． ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． 小结 矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°,∴四边形ABCD是矩形. （链接例1、例2） 通过问题探究和讨论，帮助学生理解矩形的判定.通过观察和讨论，帮助学生发现矩形的判定，并掌握其应用.
典例精析 【例1】如图，在□ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点O，且 OA＝OD，∠OAD＝50°．求∠OAB 的度数． 【解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD． 又OA＝OD，∴ AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90 ． 又∠OAD＝50°，∴∠OAB＝40°． 【例2】如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H，求证：四边形 EFGH为矩形． 【证明】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD ∴∠BAD+∠ADC=180° ∵AF,DF分别平分∠BAD、∠ADC, ∴∠DAF+∠ADF=∠BAD+∠ADC=（∠BAD+∠ADC）=90° ∴∠F=90. 同理∠H=∠AEB=90°. ∴∠FEH=∠AEB=90°. ∴四边形EFGH是矩形. 通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力.
随堂检测 2.已知□ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形是矩形的是（ B ） A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC 解析：对于A，∵∠A＝∠B， ∠A＋∠B＝180°， ∴∠A＝∠B＝90°，∴□ABCD是矩形． 对于C，∵AC＝BD，∴□ABCD是矩形． 对于D，∵AB⊥BC ，∴∠B＝90 ， ∴□ABCD是矩形． 3．在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，△ABO是等边三角形．求证：□ABCD是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD． ∵△ABO是等边三角形， ∴ OA＝OB，∴ AC＝BD， ∴□ABCD是矩形． 4.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．求证：四边形ADCE是矩形． 证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM， ∴∠CAD＝∠BAC，∠CAN＝∠CAM． ∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝(∠BAC＋∠CAM)＝×180°＝90°． 4.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．求证：四边形ADCE是矩形． 证明：在△ABC中，∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC．∴∠ADC＝90°． 又CE⊥AN， ∴∠CEA＝90°． ∴四边形ADCE是矩形． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第2课时 矩形的判定 矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形. 例题解析 矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形. 例题解析
教学反思

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