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(共26张PPT)
21.3.2.1 菱形的性质
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
你认识这些生活中常见的图形吗？能找出它们的共同特点吗？
都具有
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．
平行四边形
菱形
有一组邻边相等
注意：（1）一组邻边相等的四边形不一定是菱形．
（2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定．
因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一般性质，即：
A
B
D
C
对边平行且相等
对角线互相平分
对角相等
除此之外，菱形还有特殊的性质吗？
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可得到一个菱形.
在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是,指出它
的对称轴.
问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系 菱形的两对角线有什么关系
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
已知：如图，在 ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB = BC = CD =AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA.
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD.
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
证一证
（2）∵AB = AD.
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中.
∵OB = OD.
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD.
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA.
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
菱形的性质：
菱形的四条边都相等.
B
D
A
C
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD.
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
B
D
A
C
菱形的性质：
符号语言:
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD ;
AC平分∠BAD和∠BCD ；
BD平分∠ABC和∠ADC.
相等的线段：
相等的角：
等腰三角形有：
直角三角形有：
全等三角形有：
菱形ABCD中
AB=CD=AD=BC
OA=OC,OB=OD.
∠DAB=∠BCD , ∠ABC =∠CDA.
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4,∠5=∠6=∠7=∠8.
△ABC , △ DBC , △ACD,△ABD.
Rt△AOB, Rt△BOC ,Rt△COD, Rt△DOA.
Rt△AOB ≌Rt△BOC≌Rt△COD≌Rt△DOA.
△ABD≌△CBD ,△ABC≌△ADC.
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
边
对角线
角
数学语言:
菱形的性质
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是菱形
∥
=
∴ AD BC
AB CD
∥
=
∴ AB=BC=CD=DA
A
D
C
B
O
∴∠DAC=∠BAC
∠DCA=∠BCA
∠ADB=∠CDB
∠ABD=∠CBD
AC⊥BD
∴ OA=OC;OB=OD
∴ ∠DAB=∠DCB
∠ADC=∠ABC
∴ ∠DAB+∠ABC= 180°
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积呢
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
E
能．过点A作AE⊥BC于点E，
则S菱形ABCD＝底×高＝BC·AE．
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，试用对角线表示出菱形ABCD的面积．
A
B
C
D
O
菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴S菱形ABCD＝S△ABC ＋S△ADC
＝AC·BO＋ AC·DO
＝AC(BO＋DO)＝ AC·BD．
例1 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：EF⊥AD．
1
2
3
A
E
B
D
C
F
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠2＝∠3，四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴EF⊥AD．
例2 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
A
B
C
D
O
解：设AC，BD相于点O.
∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD,∠ABO=∠ABC=×60°=30°.
在Rt△ABO中，
AO= AB= ×20=10，
BO= .
花坛的面积
S菱形ABCD=4×S△ABO=4×AOBO=346.4(m2).
∴花坛的两条小路长
AC=2AO=20（m），BD=2BO=34.64(m).
菱形的面积计算有如下方法：
（1）一边长与两对边的距离（即菱形的高）的积；
（2）四个小直角三角形的面积之和（或一个小直角三角形面积的4倍）；
（3）两条对角线长度乘积的一半．
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD边的中点，当OE的长为2时，菱形ABCD的周长等于（　　）
A．32 B．24
C．16 D．18
D
A
B
C
O
E
DC＝2OE＝4
周长＝4DC＝16
C
2．如图，已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　　）
A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm
B
3．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为多少
B
D
C
A
E
F
解：∵ E，F分别是AD，BD的中点，
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ AB＝2EF＝4．
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∴菱形ABCD周长为16．
4．如图，已知菱形ABCD的周长为24，∠BAD＝60 ，求对角线BD的长度．
D
A
B
C
O
解：∵四边形ABCD是菱形，周长为24，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，AC⊥BD，
∵∠BAD＝60 ，
∴∠DAO＝30 ．
∵在Rt△AOD中，∠DAO＝30 ，AD＝6，
∴OD＝3，
∴BD＝6．
5．如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
A
D
C
B
F
E
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．
又CE=CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.
∴∠AFD=∠CBE．
菱形
定义
特殊性质
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形
①四条边都相等；
②对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
③轴对称图形
有关计算
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半第二十一章 四边形
21.3 特殊性的平行四边形
21.3.2 菱形
第1课时 菱形的性质
教学设计
课题 第1课时 菱形的性质 授课人
教学目标 1.学习菱形的定义和菱形的特殊性质； 2.能运用菱形的性质定理计算或证明,能根据菱形的性质解决简单的实际问题； 3.会利用对角线的长求菱形的面积
教学重点 菱形性质定理的运用
教学难点 菱形性质定理的理解及灵活应用
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 你认识这些生活中常见的图形吗？能找出它们的共同特点吗？ 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形． 注意 （1）一组邻边相等的四边形不一定是菱形． （2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定． 因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一般性质，即： 除此之外，菱形还有特殊的性质吗？ 将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可得到一个菱形. 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形（如图），并回答以下问题: 问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系 菱形的两对角线有什么关系 猜想1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 证一证： 已知：如图，在 ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD； ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA. ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）. 又∵AB=AD. ∴AB = BC = CD =AD. （2）∵AB = AD. ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中. ∵OB = OD. ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD. 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA. ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 小结 菱形的性质：菱形的四条边都相等. 符号语言：∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD. 菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 符号语言: ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD ; AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC. 相等的线段：AB=CD=AD=BC OA=OC,OB=OD. 相等的角：∠DAB=∠BCD , ∠ABC =∠CDA. ∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4,∠5=∠6=∠7=∠8. 等腰三角形有：△ABC , △DBC , △ACD,△ABD. 直角三角形有：Rt△AOB, Rt△BOC ,Rt△COD, Rt△DOA. 全等三角形有：Rt△AOB≌Rt△BOC≌Rt△COD≌Rt△DOA. △ABD≌△CBD ,△ABC≌△ADC. 小结 菱形的性质 数学语言： 小结 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 菱形的特殊性质 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 平行四边形的性质 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分. 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积呢 能．过点A作AE⊥BC于点E， 则S菱形ABCD＝底×高＝BC·AE． 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，试用对角线表示出菱形ABCD的面积． 解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∴S菱形ABCD＝S△ABC＋S△ADC ＝AC·BO＋AC·DO＝AC(BO＋DO)＝AC·BD． 小结 菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半． （链接例1、例2） 通过问题探究和讨论，帮助学生理解菱形的性质.通过观察和讨论，帮助学生发现菱形的性质，并掌握其应用.
典例精析 【例1】已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：EF⊥AD． 【解】∵DE∥AC，DF∥AB， ∴∠2＝∠3，四边形AEDF是平行四边形， ∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AE＝DE， ∴四边形AEDF是菱形， ∴EF⊥AD． 【例2】如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）. 【解】设AC，BD相于点O. ∵花坛ABCD的形状是菱形， ∴AC⊥BD,∠ABO=∠ABC=×60°=30°. 在Rt△ABO中， AO=AB=×20=10， BO===10. ∴花坛的两条小路长AC=2AO=20（m），BD=2BO=20≈34.64(m). 花坛的面积 S菱形ABCD=4×S△ABO=4×AO BO=200≈346.4(m2). 【方法总结】菱形的面积计算有如下方法： （1）一边长与两对边的距离（即菱形的高）的积； （2）四个小直角三角形的面积之和（或一个小直角三角形面积的4倍）； （3）两条对角线长度乘积的一半． 通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力.
随堂检测 1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD边的中点，当OE的长为2时，菱形ABCD的周长等于（　C　） A．32 B．24 C．16 D．18 2．如图，已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　B　） A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm 3．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为多少 解：∵ E，F分别是AD，BD的中点， ∴ EF是△ABD的中位线， ∴ AB＝2EF＝4． ∵四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC＝CD＝AD＝4， ∴菱形ABCD周长为16． 4．如图，已知菱形ABCD的周长为24，∠BAD＝60 ，求对角线BD的长度． 解：∵四边形ABCD是菱形，周长为24， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，AC⊥BD， ∵∠BAD＝60 ， ∴∠DAO＝30 ． ∵在Rt△AOD中，∠DAO＝30 ，AD＝6， ∴OD＝3， ∴BD＝6． 5．如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE． 又CE=CE， ∴△BCE≌△DCE（SAS）． ∴∠CBE=∠CDE． ∵在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠EDC. ∴∠AFD=∠CBE． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第1课时 菱形的性质
教学反思

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