资源简介

第二十一章 四边形
21.3 特殊性的平行四边形
21.3.3 正方形
第1课时 正方形的性质
教学设计
课题 第1课时 正方形的性质 授课人
教学目标 1.理解正方形的概念； 2.能运用正方形的性质进行简单的计算和证明，提高逻辑推理能力； 3.通过观察、猜想、操作、验证等活动，体会数学知识之间的内在联系，培养学生的探索精神和创新意识
教学重点 正方形的定义和性质
教学难点 理解正方形性质的综合应用
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
情景导入 正方形是日常生活中常见的图形，你有注意到吗？ 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？ 问题2:菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？ 小结 正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 正方形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？ 小结 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 正方形的性质： 1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 证一证 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,AB=BC=CD=AD. 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. （链接例1、例2） 通过问题探究和讨论，帮助学生理解正方形的性质.通过观察和讨论，帮助学生发现正方形的性质，并掌握其应用.
典例精析 【例1】求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O. 求证: △ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形. 【解】∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC=BD,AC⊥BD, ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，AO=BO=CO=DO. ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 【方法总结】×××××××××××××××××××××××××××× 【变式训练】×适当跟变式训练××××××××××××××××××××××××× 【例2（教材P7例题）】如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形.求证：∠EAD＝∠EDA＝15°. 证明：∵ΔBEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE=∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°， ∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°. 通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力.
随堂检测 1.已知正方形ABCD的对角线长为 ，则这个正方形的面积为( A ) A.1 B. C.2 D.2 2.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE，则∠CBE 的 度数是( C ) A.55 B.60 C.75 D.80 3．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC平分∠BCD， ∠BCD＝∠DCE＝90°． ∴∠ACB＝45°． ∵CE＝AC， ∠CAE＋∠E＝∠ACB， ∴∠E＝22.5°， ∴∠AFC＝∠DCE＋∠E＝90°＋22.5°＝112.5°． 4．如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长． 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE， ∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF. ∴FC＝BE. 在Rt△ABC中， ∴FC＝AC－AF＝(－1)cm， ∴BE＝(－1)cm． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计
教学反思(共17张PPT)
21.3.3.1 正方形的性质
1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
正方形是日常生活中常见的图形，你有注意到吗？
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
问题2:菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
正方形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？
菱形
矩形
轴对称图形
正方形
对称轴是两条对角线所在的直线
对称轴是过对边中点的两条直线
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
正方形的性质：
1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形的性质
边
对角线
对边平行
四个角都是直角
角
四边相等
相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
A
B
D
C
O
对称性
轴对称图形，有四条对称轴
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB=BC=CD=AD.
证一证
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
求证: △ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,
∴ ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，
AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
例2 如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形.
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE=∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，
∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.
1.已知正方形的对角线长为 ，则这个正方形的面积为( )
A
A.1 B. C.2 D.
2.如图，在正方形 的外侧，作等边三角形，则 的
度数是( )
A. B. C. D.
C
3．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD， ∠BCD＝∠DCE＝90°．
∴∠ACB＝45°．
∵CE＝AC， ∠CAE＋∠E＝∠ACB，
∴∠E＝22.5°，
∴∠AFC＝∠DCE＋∠E＝90°＋22.5°＝112.5°．
A
B
D
C
E
F
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.
∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，
∴FC＝AC－AF＝(－1)cm，
∴BE＝(－1)cm．
4．如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
正方形的性质
边：对边平行，四边相等
角：四个角都是直角
对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
对称性：轴对称图形，有四条对称轴

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