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第二十一章 四边形
21.3 特殊性的平行四边形
21.3.3 正方形
第2课时 正方形的判定
教学设计
课题 第2课时 正方形的判定 授课人
教学目标 1.理解正方形的概念，掌握正方形与矩形、菱形的关系，能从边、角、对角线等方面归纳正方形的性质和判定方法； 2.能运用正方形的性质和判定进行简单的计算和证明，提高逻辑推理能力； 3.感受正方形在生活中的广泛应用，体会数学的实用价值，提升学生学习数学的兴趣
教学重点 正方形的定义、性质和判定；正方形与矩形、菱形的关系
教学难点 理解正方形性质与判定的综合应用，以及正方形与矩形、菱形之间的区别与联系
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 思考：满足什么条件的矩形是正方形？ 有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形． 证一证： 如图，在矩形ABCD中，AB＝AD．求证：矩形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．AB＝CD，AD＝BC， 又AB＝AD， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴矩形ABCD是正方形． 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直． 求证：矩形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，OA＝OC， 又AC⊥BD． ∴∠AOD＝∠AOB＝90°， 在△AOB和△AOD中，OB＝OD，∠AOB＝∠AOD，OA＝OA， ∴△AOB≌△AOD，∴AB＝AD． ∴矩形ABCD是正方形． 思考 满足什么条件的菱形是正方形？ 有一个角是直角的菱形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形． 请证明你的结论，并与同伴交流． 证一证： 如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°．求证：菱形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，∠B＝∠D． 又∠A＝90°，∴∠C＝90°． ∵∠A＋∠B＝180°，∴∠B＝90°． ∴菱形ABCD是正方形． 如图，在菱形ABCD中，AC＝BD．求证：菱形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， 在△ABD和△BAC中，AB＝BA，AD＝BC，BD＝AC， ∴△ABD≌△BAC，∴∠DAB＝∠CBA． ∵∠DAB＋∠CBA＝180°， ∴∠DAB＝∠CBA＝90°． ∴菱形ABCD是正方形． 小结 定理 有一组邻边相等的矩形是正方形． 定理 对角线互相垂直的矩形是正方形． 定理 有一个角是直角的菱形是正方形． 定理 对角线相等的菱形是正方形． 正方形判定的几条途径： （链接例1、例2） 通过问题探究和讨论，帮助学生理解正方形的判定.通过观察和讨论，帮助学生发现正方形的判定，并掌握其应用.
典例精析 【例1】直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥BC．求证：四边形CEDF是正方形． 【证明】∵ DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC＝90°，∠DFC＝90°． 又∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF为矩形． ∵CD平分∠ACB， ∴DF＝DE， ∴四边形CEDF是正方形． 【例2】如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形. 【解析】要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出. 【解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA. 又AE=BF=CG=DH, ∴EB=FC=GD=HA. ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. ∴HE=EF=FG=GH. ∴四边形EFGH是菱形. ∵△AEH≌△BFE, ∴∠2=∠3. 又∠1+∠2=90°, ∴∠1+∠3=90°. ∴∠HEF=180°-(∠1+∠3)=90°. ∴四边形EFGH是正方形. 通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力.
随堂检测 1.下列命题正确的是（ D ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　D　） A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件_AB=BC(答案不唯一)_，可得出该四边形是正方形． 4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是___②③或①④____（只填写序号）． 5．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD ，PN⊥CD，垂足分别为M ，N． （1）求证：∠ADB＝∠CDB． （2）若∠ADC＝90 ，求证：四边形PMDN是正方形． 证明：（1）∵AB＝BC，对角线BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵在△ABD和△CBD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD, ∴△ABD≌△CBD（SAS）, ∴∠ADB＝∠CDB． （2）∵∠ADC＝90 ，PM⊥AD，PN⊥CD, ∴∠ADC＝∠PMD＝∠PND＝90 ． ∴四边形PMDN是矩形． ∵∠ADB＝∠CDB＝×90°＝45 ， ∴∠MPD＝∠NPD＝45 ， ∴DM＝PM，DN＝PN， ∴四边形PMDN是正方形． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第2课时 正方形的判定 有一组邻边相等的矩形是正方形． 对角线互相垂直的矩形是正方形． 有一个角是直角的菱形是正方形． 对角线相等的菱形是正方形．
教学反思(共20张PPT)
21.3.3.2 正方形的判定
1．理解并掌握正方形的判定和推导过程．
2．能熟练运用正方形的判定进行计算和证明．
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
思考：满足什么条件的矩形是正方形？
有一组邻边相等的矩形是正方形；
矩 形
正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形．
如图，在矩形ABCD中，AB＝AD．求证：矩形ABCD是正方形．
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
AB＝CD，AD＝BC，
又AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
证一证
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直．
求证：矩形ABCD是正方形．
A
D
C
B
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
又AC⊥BD．
∴∠AOD＝∠AOB＝90°，
在△AOB和△AOD中，
OB＝OD，∠AOB＝∠AOD，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOD，∴AB＝AD．
∴矩形ABCD是正方形．
思考：满足什么条件的菱形是正方形？
请证明你的结论，并与同伴交流．
有一个角是直角的菱形是正方形；
菱 形
正方形
对角线相等的菱形是正方形．
如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°．求证：菱形ABCD是正方形．
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∠A＝∠C，∠B＝∠D．
又∠A＝90°，∴∠C＝90°．
∵∠A＋∠B＝180°，∴∠B＝90°．
∴菱形ABCD是正方形．
证一证
如图，在菱形ABCD中，AC＝BD．求证：菱形ABCD是正方形．
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
在△ABD和△BAC中，
AB＝BA，AD＝BC，BD＝AC，
∴△ABD≌△BAC，∴∠DAB＝∠CBA．
∵∠DAB＋∠CBA＝180°，
∴∠DAB＝∠CBA＝90°．
∴菱形ABCD是正方形．
定理 对角线相等的菱形是正方形．
定理 对角线互相垂直的矩形是正方形．
定理 有一组邻边相等的矩形是正方形．
定理 有一个角是直角的菱形是正方形．
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角，
一组邻边相等，
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
例1 直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥BC．
求证：四边形CEDF是正方形．
A
B
C
D
E
F
∴DF＝DE，
∵CD平分∠ACB，
∴四边形CEDF为矩形．
又∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝90°，∠DFC＝90°．
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形CEDF是正方形．
H
A
B
C
D
E
F
G
3
1
2
例2 如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形.
分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出.
H
A
B
C
D
E
F
G
3
1
2
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA.
又AE=BF=CG=DH,
∴EB=FC=GD=HA.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴HE=EF=FG=GH.
∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△BFE,
∴∠2=∠3.
又∠1+∠2=90°,
∴∠1+∠3=90°.
∴∠HEF=180°-(∠1+∠3)=90°.
∴四边形EFGH是正方形.
1.下列命题正确的是（ ）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
D
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
D
3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
A
B
C
D
O
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．
②③或①④
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD ，PN⊥CD，垂足分别为M ，N．
（1）求证：∠ADB＝∠CDB．
（2）若∠ADC＝90 ，求证：四边形PMDN是正方形．
C
A
B
D
M
N
P
证明：（1）∵AB＝BC，对角线BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∴△ABD≌△CBD（SAS）,
∴∠ADB＝∠CDB．
∵在△ABD和△CBD中，
AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD,
（2）∵∠ADC＝90 ，PM⊥AD，PN⊥CD,
∴∠ADC＝∠PMD＝∠PND＝90 ．
∴四边形PMDN是矩形．
∵∠ADB＝∠CDB＝90°＝45 ，
∴四边形PMDN是正方形．
∴∠MPD＝∠NPD＝45 ，
∴DM＝PM，DN＝PN，
C
A
B
D
M
N
P
正方形
判定1
判定2
判定3
判定4
对角线互相垂直的矩形是正方形
有一组邻边相等的矩形是正方形
对角线相等的菱形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形

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