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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第三章 变量与函数
3.1 位置的确定与变量之间的关系
平 面 直 角 坐 标 系 中 点 的 坐标特征 1．各象限内点的坐标特征 （1）第一象限(＋，＋) x＞0，y＞0. （2）第二象限(－，＋) x＜0，y＞0. （3）第三象限(－，－) x＜0，y＜0. （4）第四象限(＋，－) x＞0，y＜0.
2．坐标轴上点的坐标特征 (1)点P(x，y)在x轴上 y ＝0. (2)点P(x，y)在y轴上 x ＝0. (3)原点O的坐标为③ (0,0) ． 注意：坐标轴上的点不属于任何象限．
3．各象限角平分线上点的坐标特征 (1)第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等． (2)第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数．
4．平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 (1)与x轴平行的直线上的点的 纵 坐标相等． (2)与y轴平行的直线上的点的 横 坐标相等．
5．对称点的坐标特征 (1)点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y). (2)点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标为 (﹣x，y) . (3)点P(x，y)关于原点对称的点的坐标为 (﹣x，－y) . (4)点P(x，y)关于直线y＝x对称的点的坐标为 (y，x) . (5)点P(x，y)关于直线y＝－x对称的点的坐标为 (﹣y，－x) .
6．点平移的坐标特征 (1)点P(x，y)向右平移a个单位长度后的坐标为 (x+a，y) . (2)点P(x，y)向左平移a个单位长度后的坐标为(x-a，y) . (3)点P(x，y)向上平移a个单位长度后的坐标为 (x，y+a) . (4)点P(x，y)向下平移a个单位长度后的坐标为 (x，y-a) . 口诀：右加左减，上加下减．
7．点到坐标轴、原点的距离 (1)点P(x，y)到x轴的距离为． (2)点P(x，y)到y轴的距离为． (3)点P(x，y)到原点的距离为. 注意：利用图象和勾股定理解距离．
两点间的距离 在x轴或平行于x轴的直线上的两点P1(x1，y)，P2(x2，y)间的距离是|x1－x2|. (2)在y轴或平行于y轴的直线上的两点P1(x，y1)，P2(x，y2)间的距离是|y1－y2|.
函数自变量的取值范围 注意：自变量的取值范围要使实际问题有意义．
函数及其图象 1．函数的相关概念： 常量与变量：在一个变化过程中，数量发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．
2．函数的三种表示方法 (1)列表法；(2)解析式法；(3)图象法．
3．画函数图象的一般步骤 (1)列表；(2)描点；(3)连线．
4．实际问题中函数图象的分析与判断 (1)观察事物图(一般为规则对象)，根据题设找相关量之间的关系； (2)根据所给函数图象，分析判断此函数图象所对应的量与量之间的实际状态变化． 注意：请注意观察特殊点(起点，拐点，交点，终点)处的量．
■考点一 平面直角坐标系中点的坐标特征
◇典例1：在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴点在第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据在平面直角坐标系中，四个象限的坐标符号特征分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，由此即可得到答案.
◆变式训练
1.若点在x轴上，则点，在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴，
∴，
∴点在第三象限，
故选C．
【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征以及象限的判断方法，核心是利用x轴上点的纵坐标为0求出n的值。因为点A在x轴上，而x轴上所有点的纵坐标都为0，所以可列出方程，解得；将代入点B的坐标表达式，可得，，即点B的坐标为；根据象限的划分规则，第三象限的点横、纵坐标均为负数，因此点B在第三象限，答案为C。
2.平面直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是4，则的值为（ ）
A． B．4 C．1 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵点在第三象限，
∴且，
∵点P到y轴的距离是4，
∴，
∴，
解得．
故选：A．
【分析】本题考查了点的坐标，根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答即可．
■考点二 实际问题中用坐标表示位置
◇典例1：“歼-20”是我国自主研制的第五代战斗机.如图，小静将一张“歼-20”的图片放入网格中，若图片上点B的坐标为（-1，-1），点C的坐标为（2，0），则点A的坐标为（　　）
A．（-3，4） B．（-4，3） C．（-4，4） D．（-3，5）
【答案】B
【解析】【解答】
解：由题意，建立如图所示的平面直角坐标系：
由图可知：点A的坐标为(-4， 3).
故答案为：B
【分析】根据点的坐标，确定原点的位置，建立平面直角坐标系，写出点A的坐标，解答即可.
◆变式训练
1. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行。如图是某飞行梯队的队形，若在同一平面直角坐标系内，A，B两架飞机的坐标分别为A （-2， 1） 和B（-2，-3）， 则飞机C的坐标为（　　）
A．（1，-3） B．（-1，3） C．（1，-2） D．（2，-1）
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，根据 A （-2， 1） 和B（-2，-3）， 确定坐标系的x轴的位置，y轴的位置，则点C的坐标为（2，-1）
故答案为：D
【分析】由已知点确定坐标系的位置，建立坐标系确定点C的坐标为（2，-1）
2.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为（2，2），文化馆的坐标为（-1，3）.
（1）请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系；
（2）直接写出体育场，市场，超市的坐标；
（3）已知游乐场A与图书馆B相距3个单位长度，AB∥y轴，B（1，1），请在图中标出A，B的位置，并写出A点坐标.
【答案】（1）解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示：
（2）解：体育场（-2，5）；市场（6，5）；超市（4，-1）；
（3）解：如图所示，点A，B即为所求.
A（1，4）或（1，-2）
【解析】【分析】（1）根据点的坐标建立直角坐标系即可求出答案.
（2）根据体育场，市场，超市的位置求出其坐标即可.
（3）根据两点间距离及平行于y轴的直线上点的坐标即可求出答案.
■考点三 坐标系中点的坐标规律探究
◇典例1：如图， 在平面直角坐标系中，，，，，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2022秒瓢虫在（　　）处．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，，
∴长方形的周长，
∵，
∴第2022秒瓢虫在的中点处，
∴第2022秒瓢虫在处，
故答案为：A．
【分析】
本题考查了坐标规律探索，熟知坐标的规律是解题关键.
根据平面直角坐标系中两点间的距离公式可得：，，即长方形的周长为，根据瓢虫的速度是2个单位长度 / 秒，所以爬行一圈所需时间为14÷2=7秒，即周期为7秒，再结合，即经过288个完整周期后，又爬行了6秒，根据时间顺序分析每秒的位置可得：第2022秒瓢虫在处，由此可得出答案．
◆变式训练
1. 如图，在平面直角坐标系中，从点，，依此扩展下去，则的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得：
2024÷4=506
∴点在第一象限
∵，，
∴第一象限的点的横纵坐标相等且为下标的
∴
故答案为：A
【分析】根据象限的特征可得点在第一象限，再根据第一象限内点的坐标特征，总结规律即可求出答案.
2.如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点第2025次运动到点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：点可以看作周期运动，运动周期为4，
，
∴动点第2025次运动到点，
故选：A．
【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解题的关键是注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的所在象限及符号．
观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2025除以4，然后根据商的情况确定运动后点的坐标即可．
■考点四 求坐标系中图形的面积
◇典例1：在平面直角坐标系中，用线段依次连接点（-3，0），（0，3），（3，0），（-3，0），得到的图形的面积是 （　　）
A． B．9 C．9 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，得到的图形是三角形，该三角形的面积为
故选B.
【分析】描出各点，依次连接得到三角形，利用三角形的面积公式解答即可.
◆变式训练
1.如图，三角形ABC沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴负方向平移1个单位长度得到三角形EFG．
（1）写出三角形EFG的三个顶点坐标；
（2）求三角形EFG的面积．
【答案】解：（1）如图：
E（4，1），F（0，﹣2），G（5，﹣3）．
（2）S△EFG＝4×5﹣3×41×54×120﹣6﹣2.5﹣2＝9.5．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的对应点位置，然后再连接即可；
（2）利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可．
2.如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'．
（1）画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标；
（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【答案】解：（1）如图所示：
∴点C（5，﹣2）；
（2）∵△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，
∴点P'（a+4，b﹣3）；
（3）S△ABC＝5×53×52×35×2＝25﹣7.5﹣3﹣5＝9.5．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的对应点位置，然后再连接即可；
（2）由平移的性质可求解；
（3）利用面积的和差关系可求解．
■考点五 与图形面积有关的存在性问题
◇典例1：在平面直角坐标系中，有，，三点．
(1)当点在轴上时，则的值为______；
(2)当轴时，求，两点间的距离；
(3)在（1）、（2）的条件下，若点是轴上一点，且，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵点在轴上，且，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）∵轴，且，，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
即，两点间的距离为；
（3）设点，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴或，
解得或，
∴点的坐标为或．
【分析】（1）利用轴上点的坐标特征得到，即可求出的值；
（2）先根据与轴平行的直线上点的坐标特征得到，求出的值后得到点、的坐标，即可求出点、之间的距离；
（3）由面积关系可列等式，即可求解．
◆变式训练
1.在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B (b，0)，a、b满足方程组，C为y轴正半轴上一点，且．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）是否存在点D（t，-t）使？若存在，请求出D点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）已知E(-2，-4)，若坐标轴上存在一点P，使，请求出P的坐标．
【答案】解：（1）方程组，解得：，∴A（-3，0），B（1，0），
∵c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6，
∴AB×OC=6，解得OC=3，
∴C（0，3）；
（2）∵D（t，-t），且S△PAB=S△ABC，
∴×4×|t|＝×6，解得t=±1，
∴D（1，-1）或（-1， 1）；
（3）如图，∵，E（-2，-4），设点P坐标为（m，0），
当点P在x轴上时，
，
解得m=±3，
∴点P的坐标为（3，0）或（-3，0）；
当点P在y轴上时，
，
解得m=±6，
∴点P的坐标为（0，6）或（0，-6）；
综上：坐标轴上存在点P，坐标为（3，0）或（-3，0）或（0，6）或（0，-6）；
【解析】【分析】（1）根据题意，求得方程组的解，得到a和b的值，得到A，B的坐标，利用S△ABC=6，列出算式，即可求出点C的坐标；
（2）利用，得到×4×|t|＝×6，求得t的值，进而得到点D的坐标；
（3）由，设点P（m，0），分点P在x轴上和在y轴上，两种情况讨论，结合点E坐标和△ABC的面积，列出方程，分别求出点P坐标，即可得到答案.
2.如图，在平面直角坐标系中，点，，．
（1）求；
（2）求；
（3）在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请求点P坐标．
【答案】（1）解：如图1，过点B作于点D，
图1
∵，，，
∴，，，，，
∴，
∴；
（2）解：如图2，连接，
图2
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，过作轴于，过作轴，交于，过作于，则
图3
设，则，
∴，
解得，，
∴点P坐标为；
如图4，过作轴于，则，
图4
设，
∴，
解得，，
∴点P坐标为；
综上，存在，点P坐标为或．
【解析】【分析】（1）过点B作于点D，利用割补法，结合，进行计算，即可得到答案；
（2）连接，利用割补法，结合，进行计算，即可得到答案；
（3）过作轴于，过作轴，交于，过作于，得到设，根据，进行计算，即可求及诶；再过作轴于，设，根据，进行计算，即可得到答案.
■考点六 函数的相关概念辨析
◇典例1：下列函数中y不是x的函数的是（　　）
A． B．y＝x C．y＝﹣x D．y2＝x
【答案】D
【解析】【解答】A、y＝中，y是x的函数，故此选项不合题意；
B、y＝x中，y是x的函数，故此选项不合题意；
C、y＝﹣x中，y是x的函数，故此选项不合题意；
D、y2＝x中，y不是x的函数，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题考查函数的定义理解，函数的关键特征是对于自变量x的每一个确定值，因变量y都有唯一确定的值与之对应。解题时需逐一分析选项，A、B、C三个选项中，给定任意一个x值，都能通过对应的表达式计算出唯一的y值，满足函数定义；而D选项y2=x中，当x为正数时，会有两个互为相反数的y值与之对应，不满足y值的唯一性，因此y不是x的函数。
◆变式训练
1.下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：选项A，B和D的图都是对于x的确定的值y有多个值与之对应，所以选项A，B和D不是函数，
选项C满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以选项C符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据函数的概念对每个选项逐一判断求解即可.
2.函数的定义核心：每一个x值都有且对应唯一的一个y值.下列选项中y不是x的函数的是（　　）
A．
x 0 5 10 15
y 3 3.5 4 4.5
B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、选项中表格每个x的值都对应唯一一个y的值，符合函数的定义，则该选项不符合题意；
B、作垂直于x轴的直线，与图象只有一个交点，即每一个x的值都对应唯一一个y的值，符合函数的定义，则该选项不符合题意；
C、作垂直于x轴的直线，与图象只有一个交点，即每一个x的值都对应唯一一个y的值，符合函数的定义，则该选项不符合题意；
D、作垂直于x轴的直线，与椭圆有两个交点，即每一个x的值都对应两个y的值，不符合函数的定义，则该选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，据此即可求解.
■考点七 求函数自变量的取值范围
◇典例1：在函数中，自变量x的取值可能是（　　）
A．0 B．-2 C．-4 D．-8
【答案】A
【解析】【解答】解：在函数中，
则
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，据此得到进而得到自变量x的取值范围，进而即可求解.
◆变式训练
1.（2025九上·宝安开学考）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得：且解得：且
故答案为：C
【分析】根据分式、二次根式有意义的条件得且，解出即可.
2.在函数中，自变量x的取值范围是　 　 ．
【答案】x＞2
【解析】【解答】解：x-2＞0，
∴x＞2.
故答案为：x＞2.
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，即可得出x-2＞0，解不等式，即可得出 自变量x的取值范围 。
■考点八 实际问题中函数图象
◇典例1：如图是我们生活中常用的水杯，往水杯内加水，每秒加水量一定，杯内水的高度h（cm）随时间t（s）的变化而变化，则h与t之间的关系可以大致表示为（　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】解：往空水杯内加水，水杯内水的高度h（cm）随时间t（s）的增大而增大，增大幅度先快后慢．
故答案为：D．
【分析】根据图象先分析可得水杯内水的高度h（cm）随时间t（s）的增大而增大，增大幅度先快后慢，再求解即可.
◆变式训练
1.一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一车站，乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶.下面能近似刻画汽车速度变化情况的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：
公共汽车经历：加速-匀速-减速到站-加速-匀速
加速：速度增加
匀速：速度保持不变
减速：速度下降
到站：速度为0
∴符合题意的为
故答案为：D
【分析】根据速度的变换情况进行判断即可求出答案.
2.一天，小明吃完晚饭出去散步，从家出发沿直线匀速走了20分钟到达离家900米的书店，看了10分钟的书后，原路原速返回家，则表示小明离家距离与时间之间关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，从第20分钟到30分钟在书店里看书，离家距离没有变化，是一条平行于x轴的线段，而A、B选项没有，故不符合题意；而D选项是从第20分钟到40分钟，离家距离没有变化，是一条平行于x轴的线段，与题意不相符，故D选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】小明从家出发沿直线匀速走了20分钟到达离家900米的书店，这个阶段，随着时间的增加，小明离家的距离也在均匀增加；从时间0开始，到20分钟时，距离从0米增加到900米，在图象上表现为从原点(0，0)到点(20，900)的一条上升的直线；
小明在书店看了10分钟的书，这个阶段，小明离家的距离保持不变，一直是900米，即从20分钟到30分钟，距离始终是900米，在图象上表现为一条水平的线段， 从点(20，900)到点(30，900)；小明原路原速返回家，这个阶段，小明离家的距离随着时间的增加而均匀减少，从30分钟开始，到50分钟时， 距离从900米减少到0米，在图象上表现为从点(30，900)到点(50，0)的一条下降的直线.
■考点九 从函数图象上获取信息
◇典例1：如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（　　）
A．A地与B地之间的距离是180千米
B．前3小时汽车行驶的速度是40千米/时
C．汽车中途共休息了5小时
D．汽车返回途中的速度是60千米/时
【分析】根据图象上特殊点的实际意义即可求出答案．
【解答】解：A、由图象得知A地与B地之间的距离是180千米，故A不符合题意；
B、前3小时汽车行驶的速度是40千米/时，故B不符合题意；
C、由于不知道第6小时出发时的速度，所以求不出汽车中途共休息时间，故C符合题意；
D、汽车返回途中的速度是60千米/时．故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是根据题干了解行驶过程，结合图象获取相关数据．
◆变式训练
1. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．乙用11分钟追上甲
B．乙追上甲后，再走1440米才到达终点
C．甲乙两人之间的最远距离是300米
D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了7分钟
【答案】B
【解析】【解答】解：（分），即乙用12分钟追上甲，故A选项错误；
甲的速度为（米/分），乙追上甲时，二人离起点的距离为（米），乙追上甲后，再走1440米才到达终点，故B选项正确；
乙的速度为（米/分），乙到达终点所用的时间为（分），当乙到达终点时甲走的路程为（米），当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为（米），故C选项错误；
当乙到达终点时甲走的路程为2040米，甲还需要（分）到达终点，甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故D选项错误；
故答案为：B
【分析】A选项，结合图中信息和条件可知，在甲步行16分钟的时候，乙追上甲，而“ 甲先出发4分钟 ”，因此作差计算即可；
B选项，可以以甲为标准，计算出16分钟的时候甲和乙的路程，然后用总路程作差计算即可；
C选项，计算出乙的速度，然后求出以到达终点的用时；然后求出此时甲走的路程，作差计算即可；
D选项，确定“当乙到达终点时甲走的路程为2040米”，然后计算得出甲还需6分钟到达终点，即可判断。
2. 如图1，2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办.某研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲、乙、丙三个测试点.该机器人从甲处以1.5m/s的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以2m/s的速度匀速跑到丙处，停留15s后，从丙处匀速返回甲处.该机器人离测试点甲的距离y(m)与离开测试点甲的时间x(s)之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（　　）
A．该机器人从测试点甲到测试点乙用了20s
B．该机器人在测试点乙处停留了10s
C．测试点乙与测试点丙之间的距离为60m
D．该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为2.7m/s
【答案】D
【解析】【解答】解：A、甲到乙速度，距离，时间，A正确.
B、乙处停留时间，B正确.
C、乙到丙时间，速度，距离，C正确.
D、甲到丙总距离，返回时间，速度，D错误.
故答案为：D .
【分析】结合函数图象，分段分析机器人运动状态（运动、停留 ），用“路程 = 速度×时间”计算各阶段路程、时间、速度，逐一验证选项.
■考点十 动点运动问题的函数图象
◇典例3：如图，周长为的菱形中，，点为边中点，点为对角线上一动点，沿的路径行进，长度为，，的长度之和为，设函数图象最低点的坐标为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由菱形得性质知，C、A关于BD对称，
∴PA=PC，即y=PC+PQ=PA+PQ，
由图2可知，n即为y的最小值，即是PA+ PQ的最小值，
由两点之间线段最短可得当A，P，Q，三点共线时PA+PQ最小值n=AQ
∵菱形的周长为，
∴AB=BC=2，
∵，AB=BC
∴是等边三角形
∵点为边中点，
∴BQ=1，AQBC
∴AQ==
∴PA+PQ最小值n=
故答案为：B.
【分析】由菱形得性质知，C、A关于BD对称，即可将y=PC+PQ转化为PA+PQ，再根据两点之间线段最短可得当A，P，Q，三点共线时PA+PQ最小值n=AQ；由，AB=BC可判断是等边三角形，由点为边中点可得AQBC，再用勾股定理即可计算最小值AQ的长，
◆变式训练
1.如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至A点停止，动点以的速度自A点出发沿折线运动至点停止，若点P、Q同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（　　）．
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，则，，，
，
当时，有最大值，
即，
解得，
，
当点Q在上时，
如图，，
当时，，
故答案为：B．
【分析】设正方形的边长为，当点Q在上时，求得．当时，有最大值，配合图象可得方程，即可求得；当点Q在上时，可求得，把代入即可得到答案．
2.如图，将两个等腰直角三角形如图摆放，D为AB边的中点，E、F分别在腰AC、BC上（异于端点），当△MND绕着D点旋转时，设DE+DF=x，AB=10，△CEF的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致为（　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，D为AB边的中点，
∴∠ECD=∠B=45°，CD=AD=BD，∠CDB=90°，
∵∠MDN=90°，
∴∠CDF+∠EDC=∠CDF+∠FDB=90°
∴∠EDC=∠FDB，
在△CED和△BFD中，，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DE=DF，S△CED=S△BFD，
∵四边形CEDF的面积=S△CED+S△CFD，
∴四边形CEDF的面积=S△BFD+S△CFD=S△CDB
∴四边形CEDF的面积=S△ACB=S△CDB=×BD2=×52=，
∵DE=DF，DE+DF=x，
∴S△EDF=×（x）2=x2，
∴△CEF的面积y=四边形CEDF的面积-S△EDF=-x2(5)，
图象是一段开口向下的抛物线，观察四个选项，只有选项D符合题意，
故答案为：D．
【分析】连接CD，易证△CED≌△BFD，则四边形CEDF的面积=×S△ACB，DE=DF，S△EDF=×（x）2，于是△CEF的面积y=四边形CEDF的面积-S△EDF，根据函数关系式即可作出判断．
1．（2025·顺德模拟）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，点在第四象限．
故选：D.
【分析】本题考查了平面直角坐标系每一个象限点的坐标特征，其中第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，据此解答，即可求解．
2．（2025·雷州模拟）下列说法不正确的是（　　）
A．点一定在第四象限
B．点到轴的距离为6
C．若中，则点在轴上
D．若，则点一定在第一，第三象限的角平分线上
【答案】C
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴点一定在第四象限，
故本选项不符合题意；
B．点到轴的距离为6，
故本选项不符合题意；
C．若中，则或，
即点在轴或轴上，本说法错误，
故本选项符合题意；
D．若，则，
则点一定在第一，第三象限的角平分线上，
故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】 根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025·福田模拟）如图，是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】【解答】解：由图可知，最靠近原点的壶属于红队，故红队为本局胜方，由平面直角坐标系可知，胜方最靠近原点的壶所在位置位于第二象限．
故选：B．
【分析】本题主要对平面直角坐标系中的象限，用坐标表示地理位置进行考查．
4．（2025·中山模拟）在一次1000米长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程y（米）随所用时间x（秒）变化的图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　）
A．乙比甲先到达终点
B．两人相遇前，甲的速度小于乙的速度
C．甲的速度随着时间的增加而变快
D．出发后120秒，两人行程均为500米
【答案】D
【解析】【解答】解：根据图象可得甲比乙先到达终点，故A错误；
根据图象可得甲的速度一直是米/秒，故C错误；
两人相遇前，乙的速度先是米/秒，后变为米/秒，故两人相遇前，甲的速度不一定小于乙的速度，故B错误；
出发后120秒，甲的行程为米，乙的行程为米，故D正确．
故答案为：D．
【分析】观察函数图象，可对A作出判断；甲走1000米用了240秒，可求出甲的速度，可对C作出判断；再分别求出两人相遇前、后乙速度，可对B作出判断；然后求出出发后120秒后甲的行程和乙的行程，可对D作出判断.
5．（2025·江门模拟）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：结合图象，得到当时，，
当点P运动到点B时，，
根据菱形的性质，得，
故，
当点P运动到中点时，的长为，
故选C．
【分析】当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，即可求出答案.
6．（2025·东莞模拟）若点在x轴上，则　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵点在x轴上，
∴，
解得．
故答案为2．
【分析】根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
7．（2025·珠海模拟）在平面直角坐标系中，点A（2a＋4，6﹣2a）在第四象限，则a的取值范围是　 　．
【答案】a＞3
【解析】【解答】解：∵点A（2a＋4，6﹣2a）在第四象限，
∴，
解得a＞3，
故答案为：a＞3．
【分析】根据点A的位置可得横坐标大于零，纵坐标小于零，解不等式组求出a的取值范围即可．
8．（2025·白云模拟）描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．请用该方法探究函数的图象变化规律．
…
…
…
…
（1）求函数自变量的取值范围；
（2）请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知点是函数图象上的点，若，求的取值范围．
【答案】（1）解：求函数自变量的取值范围为；
（2）解：列表：
0 1 2
3 2 1 0
描点，连线，图象如下，
（3）解：由函数图象可知，在自变量的取值范围内，函数值随着的增大而减小．
当时，，即当时，．
答：若时，的取值范围是．
【解析】【分析】
（1）根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”即可求解；
（2）根据函数图象作图的步骤"列表、描点、连线"即可；
（3）根据函数的性质结合图形和n的范围即可求解．
1．（2025·南宁模拟）公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了，两个关键点：若点在第四象限，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】【解答】解：点在第四象限，
，，
，
点在第三象限．
故选：C．
【分析】
先由第四象限内点的坐标特征确定出a、b的符号，则点B的大体位置可以确定．
2．（2025·柳州模拟）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，2），“马”的坐标为（1，2），则棋子“炮”的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣2，2）
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：
棋子“炮”的坐标为（3，1）．
故选：B．
【分析】本题主要考查点的坐标，根据“车”和“马”的坐标，得到坐标系的原点，建立平面直角坐标系，直接写出棋子“炮”的坐标，得到答案.
3．（2025·白银模拟）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的边长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时，
∴，
当时，此时点与点重合，即，连接，交于点，
则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的边长为；
故答案为：A．
【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，结合勾股定理即可求出答案.
4．（2025·深圳模拟）如图，字树机器人小P在三角形地块上进行走路测试，它从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设小P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，当小P运动到点C时，小P到线段的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图过点作于点，过点C作于点，
当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，
由题意得，，，，
在中，由勾股定理得，，
，
．
故答案为：A．
【分析】过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，在Rt△ABQ中，用勾股定理求得的值．然后用等面积法可得关于CG的方程，解方程即可求解．
5．（2025·东莞模拟）若点在轴上，则点M的坐标是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵点在轴上，∴a-2=0，解得a=2，
故a+3=2+3=5，
故点的坐标为，
故答案为：．
【分析】本题考查了y轴上点的坐标的特点，根据y轴上点的横坐标为0，得出方程a-2=0，求得a的值，进而得到点M的坐标，得到答案.
6．（2025·潮南模拟）使函数有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，则函数的定义域为　 　．
【答案】且
【解析】【解答】解：由二次根式的性质和分式的性质得，
解得，
故答案为：且．
【分析】
二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不能为零．
7．（2025·潮阳模拟）若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵点关于轴的对称点在第二象限，
∴点，
∴且，
解得，，
故答案为：．
【分析】根据第二象限点的坐标特征建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
8．（2025·荔湾模拟）受台风“摩羯”外围环流影响，珠江口某大型水库水位持续上升，防汛部门监测到近小时内水位将保持上涨趋势．下表记录了台风影响初期3小时内5个时间点的水位数据，其中表示时间（单位：小时），表示水位高度（单位：米）请根据表中数据，写出关于的函数解析式　 　，用于合理预估台风影响下的水位变化规律（不写自变量取值范围）．
（小时） 0 1 3
（米）
【答案】
【解析】【解答】解：由表格可知，x每增加，y就增加，
，
故答案为：．
【分析】根据表格提供的x与y之间的变化关系可得：x每增加0.5，y就增加0.2，从而根据最终水位等于原来水位加上增加的水位，即可写出y关于x的函数关系式.
9．（2025·肇庆模拟）公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在点A和点B之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设中转站的坐标为，
根据题意可知，中转站为的中点，
∴，
∴中转站的坐标为．
故答案为：．
【分析】设中转站的坐标为，根据中点坐标公式进行求解即可．
10．（2025·连州模拟）如图，一个点从原点出发，经过一次运动后到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，第八次运动到，依此规律，则点的坐标为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，，，，，，，，
∴点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化，
∴点的横坐标为，
，
∴点的纵坐标为，
的坐标为，
故答案为：．
【分析】得到规律点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化，解答即可．
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第三章 变量与函数
3.1 位置的确定与变量之间的关系
平 面 直 角 坐 标 系 中 点 的 坐标特征 1．各象限内点的坐标特征 （1）第一象限(＋，＋) x＞0，y＞0. （2）第二象限(－，＋) x＜0，y＞0. （3）第三象限(－，－) x＜0，y＜0. （4）第四象限(＋，－) x＞0，y＜0.
2．坐标轴上点的坐标特征 (1)点P(x，y)在x轴上 ＝0. (2)点P(x，y)在y轴上 ＝0. (3)原点O的坐标为 ． 注意：坐标轴上的点不属于任何象限．
3．各象限角平分线上点的坐标特征 (1)第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标 ． (2)第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标 ．
4．平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 (1)与x轴平行的直线上的点的 坐标相等． (2)与y轴平行的直线上的点的 坐标相等．
5．对称点的坐标特征 (1)点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标为 ． (2)点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标为 ． (3)点P(x，y)关于原点对称的点的坐标为 ． (4)点P(x，y)关于直线y＝x对称的点的坐标为 ． (5)点P(x，y)关于直线y＝－x对称的点的坐标为 ．
6．点平移的坐标特征 (1)点P(x，y)向右平移a个单位长度后的坐标为 ． (2)点P(x，y)向左平移a个单位长度后的坐标为 ． (3)点P(x，y)向上平移a个单位长度后的坐标为 ． (4)点P(x，y)向下平移a个单位长度后的坐标为 ． 口诀：右加左减，上加下减．
7．点到坐标轴、原点的距离 (1)点P(x，y)到x轴的距离为 ． (2)点P(x，y)到y轴的距离为 ． (3)点P(x，y)到原点的距离为 ． . 注意：利用图象和勾股定理解距离．
两点间的距离 在x轴或平行于x轴的直线上的两点P1(x1，y)，P2(x2，y)间的距离是 ． . (2)在y轴或平行于y轴的直线上的两点P1(x，y1)，P2(x，y2)间的距离是 ．
函数自变量的取值范围 注意：自变量的取值范围要使 有意义．
函数及其图象 1．函数的相关概念： 常量与变量：在一个变化过程中，数量 的量称为变量，数值 的量称为常量．
2．函数的三种表示方法 (1)列表法；(2) ；(3)图象法．
3．画函数图象的一般步骤 (1)列表；(2)描点；(3) ．
4．实际问题中函数图象的分析与判断 (1)观察事物图(一般为规则对象)，根据题设找相关量之间的关系； (2)根据所给函数图象，分析判断此函数图象所对应的量与量之间的实际状态变化． 注意：请注意观察特殊点(起点，拐点，交点，终点)处的量．
■考点一 平面直角坐标系中点的坐标特征
◇典例1：在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
◆变式训练
1.若点在x轴上，则点，在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.平面直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是4，则的值为（ ）
A． B．4 C．1 D．
■考点二 实际问题中用坐标表示位置
◇典例1：“歼-20”是我国自主研制的第五代战斗机.如图，小静将一张“歼-20”的图片放入网格中，若图片上点B的坐标为（-1，-1），点C的坐标为（2，0），则点A的坐标为（　　）
A．（-3，4） B．（-4，3） C．（-4，4） D．（-3，5）
◆变式训练
1. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行。如图是某飞行梯队的队形，若在同一平面直角坐标系内，A，B两架飞机的坐标分别为A （-2， 1） 和B（-2，-3）， 则飞机C的坐标为（　　）
A．（1，-3） B．（-1，3） C．（1，-2） D．（2，-1）
2.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为（2，2），文化馆的坐标为（-1，3）.
（1）请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系；
（2）直接写出体育场，市场，超市的坐标；
（3）已知游乐场A与图书馆B相距3个单位长度，AB∥y轴，B（1，1），请在图中标出A，B的位置，并写出A点坐标.
■考点三 坐标系中点的坐标规律探究
◇典例1：如图， 在平面直角坐标系中，，，，，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2022秒瓢虫在（　　）处．
A． B． C． D．
◆变式训练
1. 如图，在平面直角坐标系中，从点，，依此扩展下去，则的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
2.如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点第2025次运动到点（ ）
B． C． D．
■考点四 求坐标系中图形的面积
◇典例1：在平面直角坐标系中，用线段依次连接点（-3，0），（0，3），（3，0），（-3，0），得到的图形的面积是 （　　）
A． B．9 C．9 D．
◆变式训练
1.如图，三角形ABC沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴负方向平移1个单位长度得到三角形EFG．
（1）写出三角形EFG的三个顶点坐标；
（2）求三角形EFG的面积．
2.如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'．
（1）画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标；
（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
■考点五 与图形面积有关的存在性问题
◇典例1：在平面直角坐标系中，有，，三点．
(1)当点在轴上时，则的值为______；
(2)当轴时，求，两点间的距离；
(3)在（1）、（2）的条件下，若点是轴上一点，且，求点的坐标．
◆变式训练
1.在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B (b，0)，a、b满足方程组，C为y轴正半轴上一点，且．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）是否存在点D（t，-t）使？若存在，请求出D点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）已知E(-2，-4)，若坐标轴上存在一点P，使，请求出P的坐标．
2.如图，在平面直角坐标系中，点，，．
（1）求；
（2）求；
（3）在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请求点P坐标．
■考点六 函数的相关概念辨析
◇典例1：下列函数中y不是x的函数的是（　　）
A． B．y＝x C．y＝﹣x D．y2＝x
◆变式训练
1.下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2.函数的定义核心：每一个x值都有且对应唯一的一个y值.下列选项中y不是x的函数的是（　　）
A．
x 0 5 10 15
y 3 3.5 4 4.5
B．
C． D．
■考点七 求函数自变量的取值范围
◇典例1：在函数中，自变量x的取值可能是（　　）
A．0 B．-2 C．-4 D．-8
◆变式训练
1.（2025九上·宝安开学考）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1
2.在函数中，自变量x的取值范围是　 　 ．
■考点八 实际问题中函数图象
◇典例1：如图是我们生活中常用的水杯，往水杯内加水，每秒加水量一定，杯内水的高度h（cm）随时间t（s）的变化而变化，则h与t之间的关系可以大致表示为（　　）
A．B．C．D．
◆变式训练
1.一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一车站，乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶.下面能近似刻画汽车速度变化情况的是（　　）
A． B．
C． D．
2.一天，小明吃完晚饭出去散步，从家出发沿直线匀速走了20分钟到达离家900米的书店，看了10分钟的书后，原路原速返回家，则表示小明离家距离与时间之间关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
■考点九 从函数图象上获取信息
◇典例1：如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（　　）
A．A地与B地之间的距离是180千米
B．前3小时汽车行驶的速度是40千米/时
C．汽车中途共休息了5小时
D．汽车返回途中的速度是60千米/时
◆变式训练
1. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．乙用11分钟追上甲
B．乙追上甲后，再走1440米才到达终点
C．甲乙两人之间的最远距离是300米
D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了7分钟
2. 如图1，2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办.某研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲、乙、丙三个测试点.该机器人从甲处以1.5m/s的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以2m/s的速度匀速跑到丙处，停留15s后，从丙处匀速返回甲处.该机器人离测试点甲的距离y(m)与离开测试点甲的时间x(s)之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（　　）
A．该机器人从测试点甲到测试点乙用了20s
B．该机器人在测试点乙处停留了10s
C．测试点乙与测试点丙之间的距离为60m
D．该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为2.7m/s
■考点十 动点运动问题的函数图象
◇典例3：如图，周长为的菱形中，，点为边中点，点为对角线上一动点，沿的路径行进，长度为，，的长度之和为，设函数图象最低点的坐标为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至A点停止，动点以的速度自A点出发沿折线运动至点停止，若点P、Q同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（　　）．
A．1 B． C． D．2
2.如图，将两个等腰直角三角形如图摆放，D为AB边的中点，E、F分别在腰AC、BC上（异于端点），当△MND绕着D点旋转时，设DE+DF=x，AB=10，△CEF的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致为（　　）
A．B．C．D．
1．（2025·顺德模拟）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025·雷州模拟）下列说法不正确的是（　　）
A．点一定在第四象限
B．点到轴的距离为6
C．若中，则点在轴上
D．若，则点一定在第一，第三象限的角平分线上
3．（2025·福田模拟）如图，是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025·中山模拟）在一次1000米长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程y（米）随所用时间x（秒）变化的图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　）
A．乙比甲先到达终点
B．两人相遇前，甲的速度小于乙的速度
C．甲的速度随着时间的增加而变快
D．出发后120秒，两人行程均为500米
5．（2025·江门模拟）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
6．（2025·东莞模拟）若点在x轴上，则　 　．
7．（2025·珠海模拟）在平面直角坐标系中，点A（2a＋4，6﹣2a）在第四象限，则a的取值范围是　 　．
8．（2025·白云模拟）描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．请用该方法探究函数的图象变化规律．
…
…
…
…
（1）求函数自变量的取值范围；
（2）请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知点是函数图象上的点，若，求的取值范围．
1．（2025·南宁模拟）公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了，两个关键点：若点在第四象限，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025·柳州模拟）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，2），“马”的坐标为（1，2），则棋子“炮”的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣2，2）
3．（2025·白银模拟）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的边长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
4．（2025·深圳模拟）如图，字树机器人小P在三角形地块上进行走路测试，它从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设小P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，当小P运动到点C时，小P到线段的距离为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·东莞模拟）若点在轴上，则点M的坐标是　 　．
6．（2025·潮南模拟）使函数有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，则函数的定义域为　 　．
7．（2025·潮阳模拟）若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 　 　．
8．（2025·荔湾模拟）受台风“摩羯”外围环流影响，珠江口某大型水库水位持续上升，防汛部门监测到近小时内水位将保持上涨趋势．下表记录了台风影响初期3小时内5个时间点的水位数据，其中表示时间（单位：小时），表示水位高度（单位：米）请根据表中数据，写出关于的函数解析式　 　，用于合理预估台风影响下的水位变化规律（不写自变量取值范围）．
（小时） 0 1 3
（米）
9．（2025·肇庆模拟）公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在点A和点B之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为　 　．
10．（2025·连州模拟）如图，一个点从原点出发，经过一次运动后到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，第八次运动到，依此规律，则点的坐标为　 　．
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