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第2课时　不等式的解集
@预习导航
1.不等式的解（集）及其相关概念
不等式的解：在一个含有未知数的不等式中，能使不等式　　的未知数的值，叫作不等式的解。
显然，一个不等式的解通常有无数个。
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的　　，组成这个不等式的解集。
解不等式：求不等式解集的过程叫作解不等式。
注　　意：不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值的集合。
2.用数轴表示不等式的解集
步　　骤：（1）画数轴；（2）定边界点；（3）定方向。
说　　明：（1）边界点表示的值属于不等式解集的用实心圆点，不属于不等式解集的用空心圆圈；
（2）确定方向时，相对于边界点而言，大于向右，小于向左。
@归类探究
类型之一　不等式的解与不等式的解集
　下列说法正确的是（　　）
A.x＝2是不等式3x＞5的一个解
B.x＝2是不等式3x＞5的解集
C.x＝2是不等式3x＞5的唯一解
D.x＝2不是不等式3x＞5的解
类型之二　将不等式的解集表示在数轴上
　在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）x≥－1；
（2）x＞2；
（3）x≤－1.5；
（4）x＜－2。
类型之三　求不等式的整数解
　求下列不等式的整数解：
（1）不等式x≥－3的所有负整数解是　　；
（2）不等式x≤5的所有正整数解是　　；
（3）不等式x＞－的非正整数解是　　；
（4）不等式x＜的所有非负整数解是　　；
（5）不等式x＜的最大整数解是　　；
（6）不等式x≥－8的最小整数解是　　。
@当堂测评
1.[2024·河北]下列数中，能使不等式5x－1＜6成立的x的值为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.[2024·贵州]不等式x＜1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
3.[2025春·沈北新区期末]已知某个不等式的解集是x＜－2，下列说法正确的是（　　）
A.0是这个不等式的解
B.－3不是这个不等式的解
C.小于－3的数都是这个不等式的解
D.小于－1的数都是这个不等式的解
4.满足x≤3的最大整数x是。
@分层训练
1.下列说法错误的是（　　）
A.不等式x＜5的整数解有无数多个
B.不等式x＞－5的负整数解为有限个
C.不等式－2x＜8的解集是x＝－4
D.－40是不等式2x＜－8的一个解
2.[2025春·本溪期末]下列各数中，能使不等式x＋2≥4成立的是（　　）
A.－1 B.0 C.1 D.2
3.[2025春·于洪区期末]用不等式表示图中的解集，下列正确的是（　　）
A.x＞－1 B.x≥－1
C.x＜－1 D.x≤－1
4.将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1）x＜－1；
（2）x≥－2；
（3）x＞4；
（4）x≤6。
5.求下列不等式的正整数解：
（1）x≤；　　　　
（2）x＜。
6.（推理能力）小明花整数元购买了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格。甲说：“至少15元。”乙说：“至多13元。”丙说：“至多10元。”小明说：“你们都猜错了。”则这本书的价格为（　　）
A.12元 B.13元
C.14元 D.无法确定
参考答案
【预习导航】
1.成立　所有解
【归类探究】
【例1】 A
【例2】 略
【例3】 （1）－3，－2，－1　（2）1，2，3，4，5　（3）－3，－2，－1，0　（4）0，1，2　（5）2　（6）－8
【当堂测评】
1.A　2.C　3.C　4.3
【分层训练】
1.C　2.D　3.B　4.略
5.（1）不等式x≤的正整数解为1，2，3，4，5。
（2）不等式x＜的正整数解为1。
6.C第3课时　不等式的基本性质
@预习导航
不等式的基本性质
性质1：不等式的两边都加（或减）同一个　　，不等号的方向　　。
性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向　　。
性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向　　。
注　　意：运用不等式的基本性质1和基本性质2变形时，不等号的方向不变，而运用不等式的基本性质3时，不等号的方向要改变。
@归类探究
类型　不等式的基本性质及应用
　用不等号填空。
（1）如果a＞b，那么a＋c　　b＋c，a－c　　b－c；
（2）如果a＞b，且c＞0，那么ac　　bc，b－c；
（3）如果a＞b，且c＜0，那么ac　　bc，；
（4）如果a＜b，且c＜0，那么ac　　bc，。
　将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式。
（1）x－7＞26；　　
（2）3x＜2x＋1；
（3）x＞50；
（4）－4x＞3。
@当堂测评
1.[2024·上海]如果x＞y，那么下列正确的是（　　）
A.x＋5≤y＋5 B.x－5＜y－5
C.5x＞5y D.－5x＞－5y
2.[2025·盘锦校级开学]若a＞b，则下列不等式正确的是（　　）
A.3a＜3b
B.ma＞mb
C.a－1＞b－1
D.－a＋1＞－b＋1
3.[2024春·西安期中]根据不等式的基本性质，下列变形正确的是（　　）
A.由－5x≥20，得x≥－4
B.由ac2＞bc2，得a＞b
C.由－a＞b，得a＜2b
D.由a＋1＞b，得a＞b＋1
4.用“＞”或“＜”填空：
（1）已知－x＜－y，则x　　y；
（2）已知a－c＞b－c，则a　　b；
（3）已知2x＋1＞2y＋1，则x　　y。
@分层训练
1.[2024·苏州]若a＞b－1，则下列结论一定正确的是（　　）
A.a＋1＜b B.a－1＜b
C.a＞b D.a＋1＞b
2.[2025春·锦州期末]下列说法正确的是（　　）
A.若a2＞b2，则a＞b
B.若an2＞bn2，则a＞b
C.若ac＞bc，则a＞b
D.若＞，则a＞b
3.[2024·长春]不等关系在生活中广泛存在。如图，a，b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度。图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A.若a＞b，则a＋c＞b＋c
B.若a＞b，b＞c，则a＞c
C.若a＞b，c＞0，则ac＞bc
D.若a＞b，c＞0，则＞
4.用“＞”或“＜”填空：
（1）如果x－2＜3，那么x　　5；
（2）如果－x＜－1，那么x　　；
（3）如果ax＞b，ac2＜0，那么x　　。
5.根据不等式的基本性质，把下列不等式表示成x＞a或x＜a的形式：
（1）5x＜4x＋3；
（2）－3x＜6；
（3）6x－2＞4；
（4）－2x＋3＜3x－1。
6.（1）若x＜y，且（a－3）x＞（a－3）y，求a的取值范围；
（2）已知关于x的不等式（m－1）x＞6，两边同时除以m－1，整理，得x＜，试化简：｜m－1｜－｜2－m｜。
7.（推理能力）[2024春·和平区校级月考]阅读下列材料：
已知x－y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x＋y的取值范围。
解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2。
∵x＞1，∴y＋2＞1，∴y＞－1。
∵y＜0，∴－1＜y＜0，①
即1＜x＜2。②
①＋②，得－1＋1＜x＋y＜0＋2，
∴x＋y的取值范围是0＜x＋y＜2。
请按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知x－y＝3，且x＞－1，y＜0，则x的取值范围是　　；x＋y的取值范围是　　。
（2）已知x－y＝a，且x＜－b，y＞2b，若根据以上做法得到－5＜3x－y＜5，求a，b的值。
参考答案
【预习导航】
代数式　不变　不变　改变
【归类探究】
【例1】 （1）＞　＞　（2）＞　＞　（3）＜　＜　（4）＞　＞
【例2】 （1）x＞33　（2）x＜1　（3）x＞75
（4）x＜－
【当堂测评】
1.C　2.C　3.B　4.（1）＞　（2）＞　（3）＞
【分层训练】
1.D　2.B　3.A　4.（1）＜　（2）＞　（3）＜
5.（1）x＜3　（2）x＞－2　（3）x＞1　（4）x＞
6.（1）a的取值范围是a＜3。　（2）－1
7.（1）－1＜x＜3　－5＜x＋y＜3
（2）a＝1，b＝－2第二章　不等式与不等式组
1　不等式及其性质
第1课时　不等关系
@预习导航
1.不等式的概念
不等式：一般地，用符号“＜”（或“　　”），“＞”（或“　　”）连接的式子叫作不等式。
2.列不等式
说　　明：根据文字列不等式的关键是理解“不大于”“不小于”“非负数”“非正数”“至多”“至少”等词语的含义。
@归类探究
类型之一　不等式的概念
　判断下列各式哪些是不等式？
①a＋b；②－x2≥0；③5＝2x－3；④8x＜7；⑤20242。
类型之二　列不等式
　用适当的符号表示下列关系：
（1）m的2倍与2的和小于零；
（2）x的与x的3倍的和是非负数；
（3）y除以2的商加上2至多为5；
（4）a与b两数和的平方不可能小于4。
类型之三　确定实际生活中的不等关系
　一辆匀速行驶的汽车在11：20距离甲地50km，要在12：00之前驶过甲地，车速x（单位：km/h）应满足什么条件？
【点悟】 （1）可从两个不同角度表示车速应满足的条件；（2）用“＜”或“＞”能表示现实生活中的数量关系。
@当堂测评
1.[2025春·和平区校级期中]下列6个式子：①－2＜0；②2x－1＞0；③2x－1＝0；④2x－1＜0；⑤m－2；⑥－2≤2ab。其中不等式有（　　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.某市某天最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市该天气温t（单位：℃）的变化范围是（　　）
A.t＞33 B.t≤24
C.24＜t＜33 D.24≤t≤33
3.一个数x的与4的差不小于这个数的2倍，则可列不等式是（　　）
A.x－4＞2x B.x－4＜2x
C.x－4≥2x D.x－4≤2x
@分层训练
1.下列叙述：①若a是非负数，则a≥0；②“a2减去10不大于2”可表示为a2－10＜2；③“x的倒数超过10”可表示为＞10；④“a，b两数的平方和为正数”可表示为a2＋b2＞0。其中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.某校要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现有经费850元，已知羽毛球拍150元/套，羽毛球30元/盒。若该校购买了4套羽毛球拍，x盒羽毛球，则可列不等式（　　）
A.150x＋30×4≤850
B.150x＋30×4＜850
C.150×4＋30x＜850
D.150×4＋30x≤850
3.一罐饮料净重500g，罐上标注脂肪含量≤0.5％，则这罐饮料中脂肪含量最多为　　g。
4.根据下面的数量关系列不等式：
（1）x的与x的2倍的和是非负数；
（2）c与4的和的30％不大于－2；
（3）x除以3的商加上2至少为4；
（4）a，b两数和的平方不可能大于3；
（5）老师的年龄x比你的年龄y的2倍还大。
5.某种品牌的八宝粥，外包装标明：净含量为330g±10g，表明了这罐八宝粥的净含量为xg，其中x的范围用不等式表示为　　。
6.恩格尔系数表示家庭日常生活饮食开支占家庭经济收入的比例，它反映了居民家庭的实际生活水平，各种家庭的恩格尔系数如下表：
家庭 类型 贫困 家庭 温饱 家庭 小康 家庭 发达国 家家庭 最富裕 国家家庭
恩格尔 系数n 75％ 以上 50％～ 75％ 40％～ 49％ 20％～ 39％ 不到20％
用含n的不等式表示小康家庭的恩格尔系数为　　。
7.（模型观念）用甲、乙两种原料配制成某种果汁，已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表：
甲种原料 乙种原料
维生素C含量（单位/kg） 800 200
原料价格（元/kg） 18 14
（1）现制作这种果汁200kg，要求至少含有52000单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x（kg）应满足的不等式。
（2）如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过1800元，那么请你写出所需甲种原料的质量x（kg）应满足的另一个不等式。
参考答案
【预习导航】
1.≤　≥
【归类探究】
【例1】 ②④是不等式。
【例2】 （1）2m＋2＜0。　（2）x＋3x≥0。
（3）＋2≤5。　（4）（a＋b）2≥4。
【例3】 （方法一）从时间上看，汽车要在12：00之前驶过甲地，则以这个速度行驶50km所用的时间不到h，即＜。
（方法二）从路程上看，汽车要在12：00之前驶过甲地，则以这个速度行驶h的路程要超过50km，即x＞50。
【当堂测评】
1.B　2.D　3.C
【分层训练】
1.C　2.D　3.2.5
4.（1）x＋2x≥0。　（2）30％（c＋4）≤－2。
（3）＋2≥4。　（4）（a＋b）2≤3。
（5）x＞2y。
5.320≤x≤340　6.40％≤n≤49％
7.（1）800x＋200（200－x）≥52000
（2）18x＋14（200－x）≤1800。

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