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3　一元一次不等式与一次函数
第1课时　一元一次不等式与一次函数的关系
@预习导航
一元一次不等式（方程）与一次函数的关系
归　　纳：（1）
（2）一次函数y＝ax＋b的图象在x轴上方的部分，表示y＞0，即ax＋b＞0；一次函数y＝ax＋b的图象与x轴的交点（x，0），表示y＝0，即ax＋b＝0；一次函数y＝ax＋b的图象在x轴下方的部分，表示y＜0，即ax＋b＜0。
说　　明：既可以运用函数图象解不等式（方程），也可以运用不等式（方程）帮助我们研究函数问题，两者互相渗透、互相作用。
@归类探究
类型之一　一元一次不等式与一次函数
　利用函数图象回答下列问题：
（1）函数y1与函数y2的交点坐标为　　。
（2）函数值y1＞y2的解集为　　。
（3）函数值0＜y1＜y2的解集为　　。
类型之二　一次函数的应用
　某校开展了“阳光体育、强身健体”系列活动，小明同学积极参与，在他与哥哥的一次赛跑活动中，已知他们所跑的路程y（单位：m）与时间x（单位：s）之间的函数关系如图所示，哥哥让小明先跑12m，然后自己才开始跑。
（1）反映小明所跑路程与时间之间关系的是　　（填“l1”或“l2”）。
（2）何时哥哥超过小明？
（3）何时两人相距6m？
@当堂测评
1.[2025春·鞍山期末]已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象如图所示，点A（－1，2）在该函数图象上，则关于x的不等式kx＋b＜2的解集是（　　）
A.x＞－1 B.x＜－1
C.x＞2 D.x＜2
2.[2025·沈阳模拟]如图，直线y＝－2x＋2与直线y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）相交于点A（m，4），则关于x的不等式－2x＋2＜kx＋b的解集为　　。
@分层训练
1.直线y＝kx＋3经过点A（2，1），则不等式kx＋3≥0的解集是（　　）
A.x≤3 B.x≥3
C.x≥－3 D.x≤0
2.如图，直线y＝kx＋b（k＜0）经过点P（1，1）。当kx＋b≥x时，则x的取值范围为　　。
3.[2024·北京]在平面直角坐标系中，函数y＝kx＋b（k≠0）与y＝－kx＋3的图象交于点（2，1）。
（1）求k，b的值；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx＋b的值，也大于函数y＝－kx＋3的值，直接写出m的取值范围。
4.一次越野赛跑训练中，小明、小刚从同一地点同向先后出发，小明跑了1600m时，小刚恰好跑了1450m，此后两人开始匀速赛跑，直到终点，小明速度为1.5m/s。小明、小刚跑步的路程y（单位：m）与匀速跑步的时间x（单位：s）的图象如图所示。
（1）求此次赛跑的全程；
（2）求小刚追上小明时相遇地点离终点的距离。
5.（模型观念）甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车离A地的距离s（单位：km）与行驶时间t（单位：h）的函数关系。
（1）分别写出表示l1，l2的函数表达式；
（2）求出图中l1和l2的交点P的坐标，当甲车离A地的距离大于乙车离A地的距离时，求t的取值范围。
参考答案
【归类探究】
【例1】 （1）（1，2）　（2）x＞1　（3）0＜x＜1
【例2】 （1）l1　（2）4s后哥哥在小明的前面。
（3）当2s或6s时，两人相距6m。
【当堂测评】
1.A　2.x＞－1
【分层训练】
1.A　2.x≤1
3.（1）k＝1，b＝－1　（2）m的取值范围是m≥1。
4.（1）此次赛跑全程是2050m。
（2）他们相遇时离终点的距离为300m。
5.（1）l1的表达式为s1＝t。l2的表达式为s2＝－40t＋20。　（2）t的取值范围为t＞。第2课时　方案选择
@预习导航
分类讨论确定“谁更优惠”
方　　法：先建立各种方案的函数关系式，然后根据要求建立各函数关系式的不等式，分别讨论自变量x的不同取值范围，作出不同的判断和选择。@归类探究
类型之一　信息费
　某通信公司推出了两种上网流量的收费方式供用户选择：
方案一：套餐费＋流量费；
方案二：仅收流量费，无套餐费。
下图中的射线l1，射线l2分别表示通信公司每月按方案一、方案二分别收取的费用y1（单位：元）和y2（单位：元）与当月用户使用流量x（单位：G）的函数关系。
（1）分别求出y1，y2与x的函数表达式；
（2）若某用户今年2月份已使用流量少于10G，但其2月份的流量费超过40元，那么该用户采用了哪种方案支付上网流量？
类型之二　方案选择
　某中学要添置某种教学仪器。
方案一：到商店购买，每件需要8元；
方案二：学校自己制作，每件需要4元，但另外需要制作工具的租用费120元。
设需要仪器x件，方案一的费用为y1元，方案二的费用为y2元。
（1）问y1，y2关于x的关系式分别是什么？（直接写结论，不用写出自变量的取值范围）
（2）当添置仪器多少件时，两种方案所需的费用相同？
（3）若学校计划添置仪器60件，则采用哪种方案更便宜？
@当堂测评
1.某教育网站对下载资源规定如下：若注册VIP用户，则下载每份资源收0.2元，另外每年收500元的VIP会员费；若注册普通用户，则下载每份资源收0.4元，不收其他费用。
（1）分别写出注册VIP用户的收费y1（元）和注册普通用户的费用y2（元）与下载数量x（份）之间的函数关系式。
（2）如果某学校每年要下载1500份资源，那么注册哪种用户比较合算？
（3）一年内下载多少份资源时两种用户收费一样？
@分层训练
1.[2025·烟台]2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统。已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元。
（1）求甲、乙两种路灯的单价；
（2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少。
2.[2025·和平区模拟]为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐。这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下：
（1）若要从这两种食品中摄入7100kJ热量和110g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中蛋白质含量不低于92g，则最多能选用几包A种食品？
3.五一期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游。
如图，设租车时间为x（0＜x≤24）小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出y1，y2关于x的函数表达式；
（2）请你帮助小明计算选择哪个出游方案合算。
4.（模型观念）【背景信息】
信息一：某科技公司生产和销售A，B两类套装电子产品，销售的种类、数量及总售价如下表。
销售种类及数量（套） 总售价（万元）
A类 B类
3 2 24
2 3 26
信息二：该公司生产一套A类产品的成本是2.5万元。
信息三：销售部将生产B类产品的套数与相应的成本进行了统计，并在平面直角坐标系中绘制了反映m（成本）和x（套数）之间关系的部分图象，根据点的分布情况，发现m与x之间满足一次函数关系（x取正整数）。
【问题解决】
（1）该公司每套A类和B类产品的售价分别是多少万元？
（2）该公司准备根据市场情况，计划只安排生产A，B两类中的一类电子产品，且投入生产销售的电子产品x套。
①求公司销售x套A类产品的利润y1和销售x套B类产品的利润y2的表达式；
②为使公司总利润最高，你将建议公司怎样安排生产？
参考答案
【归类探究】
【例1】 （1）y1＝3x＋10，y2＝6x。
（2）该用户采用了方案二支付上网流量。
【例2】 （1）y1＝8x，y2＝4x＋120。
（2）当需要的仪器为30件时，两种方案所需的费用相同。
（3）当需要的仪器为60件时，选择第2种方案费用更便宜。
【当堂测评】
（1）VIP用户：y1＝0.2x＋500。
普通用户：y2＝0.4x。
（2）当x＝1500时，注册普通用户比较合算。
（3）当下载量为2500份时，注册两种用户的收费相等。
【分层训练】
1.（1）甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是80元。
（2）当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少。
2.（1）应选用A种食品5包，B种食品4包。
（2）最多能选用A种食品2包。
3.（1）y1＝14x＋80（0＜x≤24）。y2＝30x（0＜x≤24）。
（2）当租车时间为5小时，选择甲、乙公司一样；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算。
4.（1）每套A类产品的售价为4万元，每套B类产品的售价为6万元。
（2）①公司销售x套A类产品的利润y1的表达式为y1＝1.5x，销售x套B类产品的利润y2的表达式为y2＝2x－4。
②当x＜8时，只安排生产A类电子产品总利润最高；当x＝8时，生产A类电子产品和生产B类电子产品总利润相等，任选一类生产即可；当x＞8时，只安排生产B类电子产品总利润最高。

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