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第2课时　平行四边形的性质定理3
@预习导航
1.平行四边形的性质定理3
性　　质：平行四边形的对角线　　　　。
注　　意：对角线间的关系是平行四边形中线段间很重要的关系，解决涉及两线段平分的问题时，通常可借助平行四边形的这个性质解决。
方法技巧：（1）利用对角线互相平分可以解决有关中点或线段相等的问题；
（2）综合运用这些性质可以解决线段和差、倍分的关系问题。常与平行线、三角形、面积等有关知识综合在一起进行论证和计算，解决有关问题。
2.梯形的定义和有关概念
定　　义：一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形。
有关概念：　　的两边称为梯形的底，较短的底通常称为　　，较长的底通常称为　　。不平行的两边称为梯形的　　，两腰相等的梯形称为　　。
@归类探究
类型之一　平行四边形的对角线互相平分
　【知识呈现】平行四边形的对角线互相平分，我们可以用演绎推理证明这个结论。
（1）如图1， ABCD的对角线AC和BD相交于点O。求证：OA＝OC，OB＝OD。
图1
　　
　　
　　
　　
　　
　　
【性质应用】（2）如图2，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与边AD，BC分别相交于点E，F。求证：OE＝OF。
图2
　　
　　
　　
　　
　　
　　
【拓展提升】（3）在（2）的条件下，连接AF，若EF⊥AC，△ABF的周长是13，则 ABCD的周长是　　。
类型之二　梯形的性质
　在数学活动课上，小明做了一个梯形纸板，测得其一底边长为40cm，高为8cm，两腰长分别为10cm和17cm，那么该梯形纸板的面积不可能是（　　　　）
A.404cm2 B.358cm2
C.284cm2 D.236cm2
类型之三　平行四边形性质的综合运用
　如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝2，BC＝。
（1）求平行四边形ABCD的面积；
　　
　　
　　
（2）求对角线BD的长。
　　
　　
　　
　　@当堂测评
1.[2024·贵州]如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　　　）
A.AB＝BC B.AD＝BC
C.OA＝OB D.AC⊥BD
2.如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论正确的是（　　　　）
A.S ABCD＝4S△AOB
B.AC＝BD
C.AC⊥BD
D. ABCD是轴对称图形
3.如图，在 ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，△AOD的周长是　　；△DBC的周长比△ABC的周长长　　。
4.如图，在 ABCD中，AC＝10，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是　　。
5.青青把梯形ABCD按照下图的方法转化成 EBHG，且面积保持不变。已知梯形ABCD的面积是40cm2，高是8cm，则 EBHG中BH的长是　　。
@分层训练
1.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线分别交BC，AD于F，E。若AD＝6cm，AB＝4cm，OE＝2cm，则梯形EFCD的周长是（　　　　）
A.16cm B.15cm
C.14cm D.12cm
2.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE。若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（　　　　）
A.28 B.24 C.21 D.14
3.如图，点O是 ABCD的对角线BD的中点，过点O的直线EF分别与AD，BC交于点E，F。若 ABCD的周长为24，OE＝2，则四边形ABFE的周长为　　。
4.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E。若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则图中阴影部分的面积是　　。
5.如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO∶BO＝2∶3。
（1）求AC的长；
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
（2）求 ABCD的面积。
　　
　　
　　
6.[2024春·甘井子区月考]如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线分别交CB，AD的延长线于点E，F。BE与DF相等吗？为什么？
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
7.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF。求证：AE＝CF。
　　
　　
　　
　　
　　
8.（推理能力）[2025·鞍山阶段练习]如图所示， ABCD和 CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC＝AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG。
（1）判断△AFC的形状，并证明；
　　
　　
　　
　　
（2）若AE＝2，CD＝4，求△BCF的周长；
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
（3）求证：BC＝AG＋EG。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
参考答案
【预习导航】
1.互相平分　2.平行　上底　下底　腰　等腰梯形
【归类探究】
【例1】 （1）略　（2）略　（3）26
【例2】 B
【例3】 （1）S ABCD＝6　（2）BD＝5
【当堂测评】
1.B　2.A　3.21　6　4.2＜a＜8　5.10cm
【分层训练】
1.C　2.D　3.16　4.3
5.（1）AC＝　（2）S ABCD＝
6.BE＝DF。理由略。　7.略
8.（1）△AFC是等腰直角三角形。证明略。
（2）C△BCF＝2＋2＋2　（3）略第4课时　平行四边形的判定定理3
@预习导航
平行四边形的判定定理
定理3：对角线　　的四边形是平行四边形。
@归类探究
　　类型之一　用对角线互相平分证明平行四边形
　如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC。求证：四边形ABCD是平行四边形。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　如图，在四边形ABCD中，AD＝12，OD＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°。
（1）求线段OC的长；
　　
　　
　　
　　
（2）求证：四边形ABCD为平行四边形。
　　
　　
　　
　　
类型之二　平行四边形的性质与判定的综合
　[2025·沈阳期末]如图，AC为 ABCD的对角线，点E为线段AB的中点，连接CE与DA的延长线交于点F。
（1）求证：BF∥AC；
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
（2）若AC＝3，CD＝4，AD＝5，求EC的长。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　@当堂测评
1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　　　）
A.AB∥DC，AD∥BC
B.AB＝DC，AD＝BC
C.AB∥DC，AD＝BC
D.OA＝OC，OB＝OD
2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，再添上条件：　　，可使四边形ABCD是平行四边形。
@分层训练
1.[2024·河北]下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3。 ∵∠CAN＝∠ABC＋∠3， ∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2， ∴①　　　　。 又∵∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD≌△MCB（②　　　　）， ∴MD＝MB， ∴四边形ABCD是平行四边形。
若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　　　）
A.∠1＝∠3，AAS B.∠1＝∠3，ASA
C.∠2＝∠3，AAS D.∠2＝∠3，ASA
2.如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO。
（1）求证：△AOF≌△COE；
　　
　　
　　
　　
（2）连接AE，CF，则四边形AECF　　（填“是”或“不是”）平行四边形。
　　
3.[2023·广安]如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA。求证：四边形ABCD是平行四边形。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
4.（推理能力）[2025·鞍山期中]如图，在四边形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，∠B＝90°，CD∥AB，O是AC的中点，连接DO并延长，交AB于点E，连接CE。
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
　　
　　
　　
　　
　　
（2）将△BEC沿CE翻折，点B恰好落在AC上的点F处，求AD的长。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
参考答案
参考答案
【预习导航】
互相平分
【归类探究】
【例1】 略
【例2】 （1）OC＝13　（2）略
【例3】 （1）略　（2）CE＝
【当堂测评】
1.C　2.OB＝OD或AB∥CD或AD∥BC
【分层训练】
1.D　2.（1）略　（2）是　3.略
4.（1）略　（2）AD＝3cm第3课时　平行四边形的判定定理1和判定定理2
@预习导航
平行四边形的判定定理
定理1：两组对边　　的四边形是平行四边形。
定理2：一组对边　　的四边形是平行四边形。
@归类探究
类型之一　用两组对边分别平行证明平行四边形　　　如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2。求证：四边形ABCD是平行四边形。
　　
　　
　　
　　
　　
类型之二　用两组对边分别相等证明平行四边形
　如图，在 ABCD中，AF＝CH，DE＝BG。求证：四边形EFGH是平行四边形。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
类型之三　用一组对边平行且相等证明平行四边形
　如图，已知E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF，BE＝DF，BE∥DF。求证：四边形ABCD是平行四边形。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
类型之四　平行四边形判定定理的灵活运用
　如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB，请用三种方法证明四边形ABCD是平行四边形。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　@当堂测评
1.根据所标数据，下列一定为平行四边形的是（　　　　）
ABCD
2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，AC为一条对角线，∠BAC＝90°，E为BC的中点，且AE＝BE，连接AE。下列结论不正确的是（　　　　）
A.AC平分∠DAE B.AE∥DC
C.AB＝DC D.AE＝DC
3.如图，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE并延长，交BA的延长线于点F，已知AE＝DE，FE＝CE。
（1）求证：△AEF≌△DEC；
（2）若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形。
　　
　　
　　
　　@分层训练
1.[2025·大连期末]如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，以点B为圆心、AB的长为半径作弧交边BC于点E；分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线BP交边AD于点F，则四边形ECDF的周长为（　　　　）
A.10 B.12 C.14 D.16
2.已知A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，D是该平面内任意一点，若点A，B，C，D恰能构成一个平行四边形，则在该平面内符合条件的点D有（　　　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.[2024·武汉]如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE。
（1）求证：△ABE≌△CDF；
　　
　　
　　
　　
　　
　　
（2）连接EF，请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形。
　　
　　
　　
　　
　　
4.[2025·阜新阶段练习]如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接CE，EF。求证：
（1）△ADB≌△AEC；
　　
　　
　　
　　
（2）四边形BCEF是平行四边形。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
5.[2024·达州]如图，线段AC与BD相交于点O，且AB∥CD，AE⊥BD于点E。
（1）尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F，连接AF，CE。（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
　　
　　（2）若AB＝CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由。（若前问未完成，可画草图完成此问）
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
6.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF。求证：
（1）AC＝EF；
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
（2）四边形ADFE是平行四边形。
　　
　　
　　
　　
　　
7.（推理能力）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，到D点即停止；点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为ts。
（1）AP＝　　；DP＝　　；BQ＝　　；CQ＝　　。（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
　　
　　
　　
　　
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
参考答案
【预习导航】
分别相等　平行且相等
【归类探究】
【例1】 略
【例2】 略
【例3】 略
【例4】 略
【当堂测评】
1.D　2.C　3.略
【分层训练】
1.B　2.C
3.（1）略　（2）添加BE＝CE，理由略。
4.略
5.（1）略　（2）四边形AECF是平行四边形。理由略。
6.略
7.（1）t　12－t　15－2t　2t
（2）当t＝5s时，四边形APQB是平行四边形。
（3）当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形。第六章　平行四边形
1　平行四边形的性质及判定
第1课时　平行四边形的性质定理1和性质定理2
@预习导航
1。平行四边形的定义及表示
定　　义：两组对边分别　　的四边形叫作平行四边形。
表示方法：如图，平行四边形ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”。
易错点：不能误认为一组对边平行的四边形是平行四边形。
对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫作它的对角线。
2.平行四边形的中心对称性
对称性：平行四边形是　　图形，两条　　是它的对称中心。
3.平行四边形的性质
定理1：平行四边形的对边相等。
定理2：平行四边形的对角相等。
方法技巧：（1）利用对边平行可以证明线段平行的问题；
（2）利用对边相等可以证明线段相等的问题；
（3）利用对角相等可以证明角相等的问题。
@归类探究
类型之一　平行四边形性质的证明
　如图，已知四边形ABCD是平行四边形。
求证： ABCD的对边分别相等，对角分别相等。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
类型之二　平行四边形性质的运用
　如图，已知 ABCD。
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作∠A的平分线交CD于点E。
（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
　　
　　
（2）在（1）的条件下，求证：△ADE是等腰三角形。
　　
　　
　　
　　
　　@当堂测评
1.已知在 ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C的度数为（　　　　）
A.18° B.36° C.72° D.144°
2.如图，在 ABCD中，已知AC＝4cm。若△ACD的周长为13cm，则 ABCD的周长为（　　　　）
A.26cm B.24cm
C.20cm D.18cm
3.[2025·鞍山开学考试]如图，在 ABCD中，AB＝4，AD＝12，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，则EF的长为　　。
@分层训练
1.如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥AB，交BA的延长线于点E。若∠EAD＝40°，则∠BCE的度数为　　。
2.[2025·丹东期末]如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥AC交AD于点E。若∠DEC＝80°，则∠ACB的度数为　　。
3.[2024·吉林]如图，在 ABCD中，O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E。求证：AE＝BC。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
4.如图，在 ABCD中，BE⊥CA于点E，DF⊥AC于点F。
（1）求证：△ABE≌△CDF；
　　
　　
　　
　　
　　
（2）若AB＝13，BC＝20，CF＝5，求AC的长。
　　
　　
　　
　　
　　
5.（推理能力）[2025·鞍山阶段练习]如图，在 ABCD中，E为边BC上一点，且AB＝AE，连接AC，DE。求证：
（1）∠AEB＝∠ADC；
　　
　　
　　
（2）AC＝DE。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
参考答案
【预习导航】
平行　中心对称　对角线的交点
【归类探究】
【例1】 略
【例2】 略
【当堂测评】
1.B　2.D　3.4
【分层训练】
1.50°　2.40°　3.略
4.（1）略　（2）AC＝11　5.略第5课时　平行线间的距离
@预习导航
平行线间的距离
定　　义：如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离都　　，这个距离称为平行线之间的　　。
理　　解：平行线间的距离处处相等。
@归类探究
　　类型之一　平行线间的距离
　如图，直线m∥n，A，B为直线n上两点，C，P为直线m上两点。
（1）如果固定A，B，C三点，点P在直线m上移动，那么不论点P移动到何处，总有　　与△ABC的面积相等，理由是　　。
（2）如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：①　　的面积与　　的面积相等；②　　的面积与　　的面积相等。
【点悟】 （1）平行线间的距离处处相等；（2）同底等高的三角形面积相等。
类型之二　画平行四边形
　如图，在4×4的方格图中，△ABC的三个顶点都在格点上。
（1）画出 ABEC，其中E是格点；
　　
　　
（2）请用平行四边形的判定方法说明画图的合理性。
　　
　　
　　
　　
类型之三　平行四边形的性质与判定
　如图，已知 ABCD，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接AF，CE。求证：
（1）BM＝DN；
　　
　　
　　
　　
　　
（2）四边形AECF为平行四边形。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　@当堂测评
1.在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（　　　　）
A.1cm B.3cm
C.5cm或3cm D.1cm或3cm
2.如图，l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l1，FG⊥l2，C，G为垂足。下列说法错误的是（　　　　）
A.CD＞CE
B.A，B两点间的距离就是线段AB的长
C.CE＝FG
D.l1，l2间的距离就是线段CD的长
@分层训练
1.在同一平面内的三条直线a，b和c，如果a∥b，a与b的距离是2cm，并且b上的点P到直线c的距离也是2cm，那么b与c的位置关系是（　　　　）
A.平行 B.相交
C.垂直 D.不确定
2.已知在平面直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　　。
3.如图，在 ABCD中，对角线BD＝8，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3，BC＝4，则AD与BC之间的距离为　　。
4.[2024春·铁西区期末]如图，在 ABCD中，过点B作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过点D作DN⊥AC于点F，交AB于点N。
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
　　
　　
　　
　　
（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
5.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。
（1）若AC＝12，BD＝14，求AD的取值范围。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
（2）点E在CA的延长线上，点F在AC的延长线上，且AE＝CF，点G，H均在线段BD上，且BG＝DH，连接EG，EH，FH，FG。求证：四边形EGFH是平行四边形。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
6.[2024·和平区模拟]如图1是著名的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形围成，即Rt△DHA≌Rt△CGD≌Rt△BFC≌Rt△AEB，其中四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是正方形。如图2，将图1中的线段EA和线段GC分别延长到点M和点N，使AM＝AE，CN＝CG，连接MB，BN，ND，DM，得到四边形MBND。
图1
（1）求证：四边形MBND是平行四边形；
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
（2）若AH＝4，DH＝5，求四边形MBND的面积。
图2
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
7.（模型观念、推理能力）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧，点P从点A出发，沿射线AD方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动。在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为ts。
（1）是否存在t的值，使得以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
　　
　　
　　
　　
（2）若PE⊥BC，求BQ的长。
　　
　　
　　
参考答案
【预习导航】
相等　距离
【归类探究】
【例1】 （1）△ABP　同底等高的两个三角形面积相等　（2）△PAC　△PBC　△OAC　△OBP
【例2】 略
【例3】 略
【当堂测评】
1.C　2.D
【分层训练】
1.D　2.4或－2　3.6
4.（1）略　（2）AN＝13
5.（1）1＜AD＜13　（2）略
6.（1）略　（2）四边形MBND的面积是86。
7.（1）存在t的值，使得以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，即当t＝4或12时满足条件。
（2）BQ＝

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