资源简介

2　三角形的中位线
@预习导航
1.三角形的中位线的定义
定　　义：连接三角形　　的线段叫作三角形的中位线。
2.三角形的中位线的性质
定　　理：三角形的中位线　　，且　　。
说　　明：此定理表明三角形中位线与第三边的位置和数量关系。
@归类探究
类型之一　三角形中位线定理
　下面是两种证明三角形中位线定理的方法，请按所给思路，完成证明。
已知：在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE。
求证：DE∥BC，且DE＝BC。
方法一：如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF。
方法二：如图2，取BC的中点G，连接GE并延长到点F，使EF＝GE，连接AF。
图1图2
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
类型之二　中点四边形
　如图，在四边形ABCD中，AC和BD是对角线，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，连接EF，FG，GH，EH。若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的周长为（　　　　）
A.10 B.14 C.24 D.28
类型之三　利用“角平分线＋垂直”构造三角形的中位线
　已知点M为△ABC的边BC的中点，AB＝12，AC＝18，BD⊥AD于点D，连接DM。
（1）如图1，若AD为∠BAC的平分线，求MD的长。
图1
　　
　　
　　
　　
（2）如图2，若AD为△ABC的外角平分线，求MD的长。
图2
　　
　　
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，且∠DAC＝∠BAC，E为BD的中点，若∠ABC＝60°，求∠ACE的度数。
图3
　　
@当堂测评
1.[2025·辽宁模拟预测]如图，在 ABCD中，BM平分∠ABC交AD于点M，AM＝2DM，连接CM，E，F分别是BM，CM的中点，若AB＝6，则EF的长为（　　　　）
A. B.5 C. D.6
2.如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E。若OA＝1，△AOE的周长为5，则 ABCD的周长为　　。
@分层训练
1.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，则四边形ADEF的周长为　　。
2.连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫作四边形的中位线。如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，AC＝3，那么梯形ABCD的中位线长为　　。
　　
3.如图，△ABC的周长为20，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M。若BC＝8，则MN的长为　　。
4.如图，在四边形ABCD中，E是边AB的中点，DB与CE相交于点F，DF＝FB，AF∥DC。求证：四边形AFCD为平行四边形。
　　
　　
　　
　　
　　
5.（模型观念）（1）如图1，在四边形ABCD中，F，E分别是BC，AD的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N。若∠BME＝∠CNE，求证：AB＝CD。（提示：连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH）
图1
　　
　　
（2）如图2，在△ABC中，O是边BC的中点，D是边AC上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G。若AB＝DC＝5，∠OEC＝60°，求OE的长度。
图2
　　
参考答案
【预习导航】
1.两边中点　2.平行于第三边　等于第三边的一半
【归类探究】
【例1】 略
【例2】 B
【例3】 （1）MD＝3　（2）MD＝15
（3）∠ACE＝30°
【当堂测评】
1.A　2.16
【分层训练】
1.9　2.　3.2　4.略　5.（1）略　（2）OE＝

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