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第一章　三角形的证明
1　三角形内角和定理
第1课时　三角形内角和定理
@预习导航
1.三角形内角和定理
定　　理：三角形三个内角的和等于　　。
2.全等三角形的判定定理
定　　理：　　定理，　　定理，　　定理，　　定理。
3.全等三角形的性质
性　　质：全等三角形的　　相等、相等　　。
@归类探究
类型之一　三角形内角和定理
　证明：三角形三个内角的和等于180°。
已知：如图，△ABC。
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°。
【点悟】 将证明“三角形内角和等于180°”，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法。
类型之二　运用三角形的内角和定理
　如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C＝2∠A，BD是∠ABC的平分线，求∠A和∠ADB的度数。
类型之三　全等三角形的“角角边”判定法
　证明：有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等。
要求：①请画出图形；②写出已知、求证和证明过程。
@当堂测评
1.[2025·铁岭模拟]如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（　　）
A.50° B.60°
C.70° D.80°
2.[2025秋·福州校级月考]一个三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是（　　）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
3.[2025·盘锦校级开学]如图，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（　　）
A.30° B.40°
C.50° D.60°
4.如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（　　）
A.AB＝DE B.∠A＝∠D
C.AC＝DF D.AC∥FD
@分层训练
1.[2025春·长春期末]一个三角形的三个内角可能（　　）
A.全是锐角
B.全是直角
C.全是钝角
D.锐角、直角、钝角各有一个
2.[2025·铁岭模拟]如图，AB∥CD，∠HGF＝89°，∠GHF＝33°，则∠AEM的度数为（　　）
A.56° B.58°
C.66° D.68°
3.[2024秋·富锦市期末]如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，则∠ADE的度数是（　　）
A.40° B.45°
C.50° D.54°
4.[2025春·海淀区校级期末]如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠A＝∠ABD，若∠BCD＝36°，则∠A的度数为（　　）
A.36° B.44°
C.27° D.54°
5.[2025春·沈北新区期中]如图，在△ABC中，∠B＜∠C，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，
（1）当∠B＝30°，∠C＝50°时，求∠DAE的度数；
（2）猜想：∠DAE与∠B，∠C有什么关系，并说明理由。
6.（推理能力）如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点，则∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠M＋∠N的度数是（　　）
A.180° B.360° C.540° D.720°
参考答案
【预习导航】
1.180°　2.SSS　SAS　ASA　AAS
3.对应边　对应角
【归类探究】
【例1】 略
【例2】 ∠A＝36°，∠ADB＝108°
【例3】 略
【当堂测评】
1.C　2.B　3.A　4.C
【分层训练】
1.A　2.B　3.A　4.C
5.（1）∠DAE＝10°。
（2）∠DAE＝（∠C－∠B）。理由略。
6.B第2课时　三角形的外角的性质
@预习导航
1.三角形外角的定义
定　　义：三角形内角的一条边与另一条边的　　组成的角，称为三角形的外角。
2.三角形内角和定理的推论
推论1：三角形的一个外角等于和它　　的两个内角的　　。
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
@归类探究
类型之一　三角形外角的性质的证明
　证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角。
求证：∠ACD＝∠A＋∠B。
类型之二　三角形外角的性质的运用
　一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BDC＝142°，就判定这个零件不合格，请你说出其中的道理。
　如图，P为△ABC内一点，∠P＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数。
@当堂测评
1.[2024秋·大洼区期末]如图，在△ABC中，∠ACD＝80°，∠B＝35°，则∠A的度数为（　　）
A.25° B.35° C.45° D.55°
2.[2025春·铁西区期中]如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE交于点F。若∠A＝25°，∠B＝35°，∠C＝70°，则∠AFE的度数为（　　）
A.45° B.50° C.55° D.60°
3.[2024秋·齐齐哈尔月考]如图，把图中∠1，∠2，∠3按由小到大的顺序排列为。
4.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝40°，∠1＝60°，则∠2的度数为 。
@分层训练
1.[2025春·北京期中]如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　）
A.120° B.105° C.60° D.45°
2.已知三角形三个内角的比为1∶3∶5，则这个三角形三个外角的比为（　　）
A.1∶3∶4 B.4∶3∶2
C.7∶6∶5 D.5∶3∶1
3.如图，在△ABC中，∠A＝30°，点D是AB延长线上一点，过点D作EF∥BC。若∠ADE＝70°，则∠C的度数为°。
4.[2024秋·铁东区期中]如图，在△ABC中，∠ACB＝85°，∠B＝70°，∠ACD＝35°，求∠BDC的度数。
5.[2025·香坊区校级开学]如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB并交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E。若∠ABO＋∠ACO＝65°，则∠E＝ 。
6.[2024秋·西城区校级月考]如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E。
（1）若∠B＝42°，∠E＝26°，求∠BAC的度数；
（2）直接写出∠BAC，∠B，∠E三个角之间存在的等量关系。
7.（推理能力）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC＋∠ABD＝90°；④∠ADB＝45°－∠CDB。其中正确的结论有 。（填序号）
参考答案
【预习导航】
1.反向延长线　2.不相邻　和
【归类探究】
【例1】 略
【例2】 略
【例3】 ∠A＝100°
【当堂测评】
1.C　2.B　3.∠1＜∠2＜∠3　4.100°
【分层训练】
1.B　2.B　3.40　4.∠BDC＝60°　5.25°
6.（1）∠BAC＝94°　（2）∠BAC＝∠B＋2∠E。证明略。
7.①③④

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