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第3课时　等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质
@预习导航
1.等边三角形的判定
定　　理：（1）三个角都　　的三角形是等边三角形。
（2）有一个角等于　　的　　三角形是等边三角形；
2.含30°角的直角三角形的性质
定　　理：在直角三角形中，如果，那么。
@归类探究
类型之一　等边三角形的性质定理和判定定理
　如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在边BC，AB，CA的延长线上，且BE＝AF＝CD。求证：△DEF是等边三角形。
类型之二　含30°角的直角三角形的性质的运用
　已知“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，下面是两种证明这个定理的方法，请你选择一种进行证明。
已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°。
求证：BC＝AB。
方法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC＝BD，连接CD。
图1
方法二：如图2，延长BC到点D，使得BC＝CD，连接AD。
图2
　如图，早上8：00，一艘轮船以20海里/小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上；上午10：00，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上。已知小岛P周围18海里内有暗礁，若轮船继续向北航行，有无触礁的危险？
@当堂测评
1.下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）
A.有两个内角是60°的三角形
B.三边都相等的三角形
C.有一个角是60°的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
2.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图。其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，若∠ABC＝150°，BC的长是40m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　）
A.20m B.m
C.m D.20m
3.[2025·辽阳模拟]如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，DE⊥BC于点E。若CE＝3，则AB的长为（　　）
A.12 B.9 C.8 D.6
@分层训练
1.[2025春·铁西区期中]下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是（　　）
A.AB＝AC，∠B＝60°
B.AB＝AC，∠A＝∠B
C.∠A＝∠B＝60°
D.∠A＋∠B＝2∠C
2.[2025春·沈阳校级月考]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN。
（1）求证：AB＝BC；
（2）若∠CAB＝30°，求证：△AMN是等边三角形。
3.[2024·沈阳期末]在等边三角形ABC中，点E是AB上的动点，且点E与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，EC＝ED。
（1）如图1，若E是AB的中点，求证：BD＝AE。
图1
（2）如图2，若E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE的数量关系；若成立，请给予证明。
图2
4.（模型观念、推理能力）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，分别在边AB，BC上匀速移动，它们的速度分别为vP＝2cm/s，vQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动。设点P的运动时间为ts。
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
参考答案
【预习导航】
1.相等　60°　等腰　2.一个锐角等于30°　它所对的直角边等于斜边的一半
【归类探究】
【例1】 略
【例2】 略
【例3】 轮船继续向前航行，无触礁的危险。
【当堂测评】
1.D　2.A　3.A
【分层训练】
1.D　2.略
3.（1）略　（2）AE＝DB。证明略。
4.（1）当t＝时，△PBQ为等边三角形。
（2）当t＝1或t＝时，△PBQ为直角三角形。2　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质
@预习导航
1.等腰三角形的概念
定义：有　　相等的三角形叫作等腰三角形。相等的两条边叫作等腰三角形的　　，另一条边叫作　　；两腰所夹的角叫作等腰三角形的，底边与腰的夹角叫作　　。
2.等腰三角形的性质
性质：（1）等腰三角形的　　相等，简述为等边对等角。
（2）等腰三角形顶角的　　、　　及　　互相重合。（三线合一）
（3）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线（顶角的平分线、底边上的高线）所在的直线。
说　　明：当已知三角形是等腰三角形时，则可以得到两底角相等（边角转化）、三线合一等结论，并进而推演下去，或引出辅助线获得思路。
3.等边三角形的性质
性质：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具备等腰三角形的所有性质。
（2）等边三角形的三个内角都　　，并且每个角都等于　　。
@归类探究
类型之一　等腰三角形的“等边对等角”
　如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD是∠ABC的平分线，点E在边BC上，且BD＝BE，求∠DEC的度数。
类型之二　等腰三角形的“三线合一”
　如图，在△ABC中，AB＝AC，过点C作CN∥AB且CN＝CA，连接AN交BC于点M。求证：BM＝CM。
类型之三　等边三角形的性质
　如图，点P，Q分别是等边三角形ABC边AB，BC上的动点（端点除外），点P，Q以相同的速度，分别从点A，B同时出发。
（1）如图1，连接AQ，CP，求证：△ABQ≌△CAP。
（2）如图1，当点P，Q分别在AB，BC上运动时，AQ，CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数。
图1
（3）如图2，当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，直线AQ，CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数。
图2
@当堂测评
1.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动。若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　）
A.60° B.65° C.75° D.80°
2.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（　　）
A.30° B.45° C.60° D.75°
3.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD的度数为。
4.如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝CE，F为BC的中点，连接AF，则∠BAE的度数为，AF与CE的位置关系为 。
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，若AD＝AE，求证：BD＝CE。
@分层训练
1.[2025·延庆区模拟]如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB。若∠1＝32°，则∠2的度数为（　　）
A.32° B.58° C.74° D.106°
2.[2025·丹东模拟]如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠ECD＝20°，则∠ABE的度数为（　　）
A.10° B.20° C.30° D.40°
3.[2025·沈阳模拟]如图，在△ABC中，AB＝AC，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交边AB于点M，交边AC于点N，以点N为圆心，以MN的长为半径作弧，与前面的弧交于点P，点P与点M在AC两侧，作射线AP与射线BC交于点D，若∠ADB＝39°，则∠BAC＝ °。
4.[2024·锦州期中]定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”。若在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ 。
5.如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE。
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数。
6.[2025春·法库县期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADC，交AC于点E，EF⊥AB于点F且交AD于点G。若AG＝2，BC＝12，求AF的长。
7.（模型观念）[2025春·沈阳月考]【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形”。
【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来的三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫作这个三角形的“均等分割线”。
【概念理解】
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△BCD和△ACD（填“是”或者“不是”）均等三角形。
图1
（2）如图2，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，∠A＝75°，∠B＝35°，试说明CD为△ABC的“均等分割线”。
图2
【应用拓展】
（3）在△ABC中，∠A＝47°，CD是△ABC的“均等分割线”。若△ACD是等腰三角形，求∠ACB的度数。
参考答案
【预习导航】
1.两边　腰　底边　顶角　底角　2.两底角　平分线　底边上的中线　底边上的高线　3.相等　60°
【归类探究】
【例1】 100°
【例2】 略
【例3】 （1）略
（2）点P，Q分别在AB，BC上运动时，∠QMC的大小不变。∠QMC＝60°。
（3）点P，Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC的大小不变。∠QMC的度数为120°。
【当堂测评】
1.D　2.C　3.18°　4.90°　AF∥CE　5.略
【分层训练】
1.C　2.D　3.34　4.或
5.（1）略　（2）∠EBC＝35°
6.AF＝
7.（1）是　（2）略　（3）∠ACB的度数为94°或113.5°，第2课时　等腰三角形的判定
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1.等腰三角形的判定定理
定　　理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为　　　　。
作　　用：证明同一个三角形中的两边相等。
2.反证法
定　　义：先假设命题的结论　　，然后推导出与　　、　　、　　或　　相矛盾的结果，从而证明命题的结论　　，这种证明方法称为反证法。
@归类探究
类型之一　等腰三角形的判定
　数学课上，老师在黑板上画出的图形如下，并写下了四个等式：①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠CDE。要求从这四个等式中选出两个作为条件，推导出△AED是等腰三角形，并说明理由。（写出一种方法即可）
类型之二　反证法的运用
　用反证法证明：等腰三角形的底角必为锐角。
类型之三　尺规作图：作等腰三角形
　如图，已知∠α及线段a，求作等腰三角形，使它的一腰为a，顶角为∠α。
@当堂测评
1.下列条件不能说明三角形是等腰三角形的是（　　）
A.有两个内角分别是70°，40°的三角形
B.有一个角为45°的直角三角形
C.有外角是130°，与它不相邻的一个内角为50°的三角形
D.有两个角分别为70°，50°的三角形
2.如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹。
步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①；
步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接BD，交AC的延长线于点E。
下列叙述正确的是（　　）
A.BC平分∠ABD B.AB＝BD
C.AE＝BD D.BE＝DE
@分层训练
1.如图，在△ABC中，已知点D在BA的延长线上，过AC的中点F作GE交∠DAC的平分线于点E，交BC于点G，AE∥BC。
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长。
2.如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F。求证：
（1）BA＝BC；
（2）△AFC为等腰三角形。
3.如图，点E在△ABC的边AC的延长线上，点D在边AB上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE。求证：△ABC是等腰三角形。
4.（模型观念、推理能力）【追本溯源】
（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，则△BDE的形状是　　。
图1
【方法应用】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G。
图2
①图中一定是等腰三角形的有　　。
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长。
参考答案
【预习导航】
1.等角对等边　2.不成立　定义　基本事实　已有定理　已知条件　一定成立
【归类探究】
【例1】 略
【例2】 略
【例3】 略
【当堂测评】
1.D　2.D
【分层训练】
1.（1）略　（2）32　2.略　3.略
4.（1）等腰三角形　（2）①B　②CF＝2

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