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3　直角三角形
第1课时　命题与逆命题
@预习导航
1.直角三角形的有关定理
定　　理：直角三角形的两个锐角　　。有两个角　　的三角形是直角三角形。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于。
定　　理：如果三角形两边的平方和等于　　，那么这个三角形是直角三角形。
2.互逆命题
定　　义：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为　　，其中一个命题称为另一个命题的　　。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
@归类探究
类型之一　直角三角形的性质
　如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4，CD＝8。
（1）求∠ADC的度数；
（2）求四边形ABCD的面积。
类型之二　互逆命题
　下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？
（1）同旁内角互补，两直线平行。
（2）如果两个角是直角，那么这两个角相等。
类型之三　勾股定理的应用
　甲、乙两船同时离开港口，各自沿固定方向航行，甲船每小时航行16海里，乙船每小时航行12海里，航行1.5小时后两船相距30海里。如果知道甲船沿东北方向航行，请你用足够的理由说明乙船沿哪个方向航行。
@当堂测评
1.下列命题的逆命题成立的是（　　）
A.全等三角形的对应角相等
B.若三角形的三边满足a2＋b2＝c2，则该三角形是直角三角形
C.对顶角相等
D.同位角互补，两直线平行
2.[2025秋·铁西区校级月考]在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（　　）
A.（a＋b）（a－b）＝c2
B.∠A＝90°－∠B
C.a∶b∶c＝1∶2∶3
D.6∠A＝2∠B＝3∠C
3.[2025·海淀区校级模拟]如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝　　（点A，B，P是网格线交点）。
@分层训练
1.下列命题：①若＞1，则a＞b；②若a＋b＝0，则｜a｜＝｜b｜；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等。其中原命题与逆命题均为真命题的有（　　）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.[2025春·东城区期中]如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A.3cm2 B.4cm2
C.6cm2 D.12cm2
3.如图，圆柱形玻璃杯高为5cm，底面周长为12cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离是　　。（杯壁厚度不计）
4.[2025春·朝阳区校级期中]如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点。
（1）直接写出下列线段的长度：AB＝　　，AD＝　　；
（2）连接BD，判断△ABD形状，并证明你的结论。
5.[2025秋·和平区校级月考]如图，在△ABC中，AC＝13cm，AB＝12cm，BC＝5cm，D是BC延长线上的点，连接AD，若AD＝15cm。
（1）求CD的长；
（2）过点C作CE⊥AD交AD于点E，求CE的长。
6.（推理能力）[2025秋·皇姑区校级月考]我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差。如图1，在△ABC中，AD为BC边上高，边BC的“边高差”等于BC－AD，记为h（BC）。
图1
（1）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝5，BD＝3，则h（BC）＝　　；
图2
（2）若在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝15，求h（AC）的值；
（3）若在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD为12，求h（BC）的值。
参考答案
【预习导航】
1.互余　互余　斜边的平方　第三边的平方　2.互逆命题　逆命题
【归类探究】
【例1】 （1）∠ADC＝150°
（2）S四边形ABCD＝4＋16
【例2】 （1）“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”，成立。
（2）“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，不成立。
【例3】 乙船沿西北方向航行。
【当堂测评】
1.B　2.C　3.45°
【分层训练】
1.A　2.C　3.6cm
4.（1）5　5　（2）△ABD是直角三角形。理由略。
5.（1）CD的长为4cm。　（2）CE＝cm。
6.（1）1　（2）h（AC）＝
（3）h（BC）的值为2或－8。第2课时　斜边、直角边判定法
@预习导航
直角三角形全等的判定定理
定　　理：　　和　　分别相等的两个直角三角形全等。
说　　明：（1）此定理可以简述成“斜边、直角边”或“HL”；
（2）此定理是直角三角形所独有的，对一般三角形不成立；
（3）斜边对应斜边，直角边对应直角边。
作　　用：判定两个直角三角形全等。
@归类探究
类型之一　证明“HL”定理
　如图1，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，若AB＝A'B'，AC＝A'C'，∠C＝∠C'＝90°，则Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等。
图1
（1）请你用“如果……，那么……”的形式叙述上述命题。
（2）如图2，将△ABC和△A'B'C'拼在一起（即点A与点B'重合，点B与点A'重合），BC和B'C'相交于点O，请用此图证明上述命题。
图2
类型之二　“HL”定理的运用
　求证：一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等。
要求：根据给出的Rt△ABC和Rt△A'B'C'（∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD，A'D'分别为BC，B'C'边上的中线），写出已知、求证和证明过程。
图1图2
@当堂测评
1.下列说法正确的有（　　）
①一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；②一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④有两条边对应相等的两个直角三角形全等；⑤有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.如图，AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）
A.AB＝AC B.∠BAC＝90°
C.BD＝AC D.∠B＝45°
3.[2025春·东港市期末]如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AC上一点，连接BE交AD于点F。若BF＝AC，FD＝CD，AB＝3，则AD的长为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.6
@分层训练
1.如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加的一个条件是（　　）
A.AB＝DC B.∠A＝∠D
C.∠B＝∠C D.AE＝BF
2.[2024春·沈阳期中]如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC。判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（　　）
A.AAS B.SAS C.ASA D.HL
3.[2024秋·和平区期中]如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O。如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE相交于点F。试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性。
5.（推理能力）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E。
（1）若点B，C在直线DE的同侧（如图1），且AD＝CE，求证：AB⊥AC。
图1
（2）若点B，C在直线DE的两侧（如图2），其他条件不变，AB与AC仍然垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由。
图2
参考答案
【预习导航】
斜边　一条直角边
【归类探究】
【例1】 （1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。　（2）略
【例2】 略
【当堂测评】
1.C　2.A　3.B
【分层训练】
1.A　2.D　3.C
4.猜想：BF⊥AE。理由略。
5.（1）略　（2）AB⊥AC。证明略。

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