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4　线段的垂直平分线
第1课时　线段的垂直平分线
@预习导航
1.线段垂直平分线的性质
定　　理：线段垂直平分线上的点到这条线段　　的距离相等。
作　　用：证明两条线段相等。
2.线段垂直平分线的判定
定　　理：到一条线段两个端点距离　　的点，在这条线段的垂直平分线上。
作　　用：证明点在线段的垂直平分线上。
@归类探究
类型之一　线段的垂直平分线定理
　如图，在△ABC中，DE是线段AC的垂直平分线。
（1）若AC＝6，△ABD的周长是13，求△ABC的周长。
（2）若在△ABC中，∠B＝62°，∠C＝36°，求∠BAD的度数。
类型之二　线段的垂直平分线定理的逆定理
　如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD＝DE，已知AB＋BD＝DC。求证：点E在线段AC的垂直平分线上。
1.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB。若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　）
A.25° B.30° C.35° D.40°
2.如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，连接OA，OC，AC，若∠ABC＝40°，则∠OAC的度数为　　。
3.[2024秋·江阴市期中]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点E，D，连接CE，则△BCE的面积为　　。
@分层训练
1.下列条件中，不能判定直线MN是线段AB（M，N不在AB上）的垂直平分线的是（　　）
A.MA＝MB，NA＝NB
B.MA＝MB，MN⊥AB
C.MA＝NA，MB＝NB
D.MA＝MB，MN平分AB
2.如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝7，尺规作图：①分别以AB的端点A，B为圆心、大于AB的长为半径画弧，使两弧相交于点M，N；②作直线MN交BC于点P。则△APC的周长是（　　）
A.10 B.11 C.15 D.18
3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF。求证：AD垂直平分EF。
4.[2024·沈阳模拟]如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，分别交边AB，AC于点D，E，连接BE，点F在边AC上，AB＝AF，连接BF。
（1）求证：∠BEC＝2∠A；
（2）当∠BFC＝108°时，求∠A的度数。
5.（推理能力）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE。
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长。
参考答案
【预习导航】
1.两个端点　2.相等
【归类探究】
【例1】 （1）19　（2）∠BAD＝46°
【例2】 略
【当堂测评】
1.B　2.50°　3.
【分层训练】
1.C　2.B　3.略
4.（1）略　（2）∠A的度数为36°。
5.（1）DE⊥DP。理由略。
（2）线段DE的长为4.75。第2课时　三角形三条边的垂直平分线
@预习导航
三角形三条边的垂直平分线的性质
性　　质：三角形三条边的垂直平分线相交于　　，并且　　。
注　　意：对于三角形三条边的垂直平分线的交点，锐角三角形在三角形内，直角三角形在三角形的斜边上，钝角三角形在三角形外。
@归类探究
类型之一　尺规作图：线段的垂直平分线或直线的垂线
　如图，已知线段a，b，求作等腰三角形，使腰长为b，底边上的高为a（a＜b）。（不写作法，保留作图痕迹）
类型之二　三角形三条边的垂直平分线
　【教材P32例2变式】证明：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
已知：如图，在△ABC中，分别作边AB，边BC的垂直平分线，垂足分别为E，F，两线相交于点P。
求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，并且点P到点A，B，C的距离相等。
@当堂测评
1.[2025春·法库县月考]如图，某市的三个城镇中心A，B，C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A，B，C的距离相等，则P点应设计在（　　）
A.三角形三个角的角平分线的交点
B.三角形三条高的交点
C.三角形三边垂直平分线的交点
D.三角形三条中线的交点
2.[2024·眉山]如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，连接EF作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（　　）
A.7 B.8
C.10 D.12
3.已知点O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为6cm，则OA＋OB＋OC＝　　。
@分层训练
1.[2024·广西]如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC。
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）在（1）所作的图中，连接BE，若AB＝8，求BE的长。
2.如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E。
（1）若BC＝8，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝110°，求∠DAE的度数。
3.如图，在△ABC中，点E是边BC上的一点，连接AE，BD，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE。\
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长；
（2）若∠ABC＝29°，∠C＝47°，求∠CAE度数。
4.（推理能力）在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC，OE＝OF。
（1）如图1，当O是边BC的中点时，试说明AB＝AC。
图1
（2）如图2，当点O在△ABC的内部，且OB＝OC时，试说明AB与AC的关系。
图2
（3）当点O在△ABC外部，且OB＝OC时，试判断AB与AC的关系（画出图形，写出结果即可，无须说明理由）。
参考答案
【预习导航】
一点　这一点到三个顶点的距离相等
【归类探究】
【例1】 略
【例2】 略
【当堂测评】
1.C　2.C　3.18cm
【分层训练】
1.（1）略　（2）BE＝4　2.（1）8　（2）40°
3.（1）AB＝6　（2）∠CAE＝28.5°
4.（1）略　（2）AB＝AC
（3）当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时，AB＝AC。②当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时，AB≠AC。（图形不唯一，符合题意，画图规范即可）

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