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第2课时　三角形的三条角平分线
三角形的三条角平分线的性质
性　　质：三角形的三条角平分线相交于　　，并且这一点到三条边的距离　　。
注　　意：（1）到三角形三边距离相等的点是这个三角形三条角平分线的交点；
（2）三角形的三条角平分线的交点必在这个三角形的内部。
@归类探究
类型之一　三角形的三条角平分线
　小明做数学作业时遇到一道证明题：求证三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
小明首先根据题意画出图形如图1。
图1
然后他将原命题转化为：
已知：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点I，求证：AI是　　　　。
（1）请帮小明补全命题的结论：AI是　　　　；
（2）结合图2，补全下面证明过程（括号中填写定理内容）：
图2
作IP⊥BC于点P，IQ⊥AC于点Q，IR⊥AB于点R。
∵BI平分∠ABC，IP⊥BC，IR⊥AB，
∴IP＝IR（　　）。
同理：　　，
∴IQ＝IR＝IP，
即点I到△ABC三边的距离相等。
又∵IQ⊥AC，IR⊥AB，
∴（　　）。
类型之二　角平分线的性质定理的运用
　如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC。
（1）如图1，当∠C＝90°时，∠CAD的度数为　　。
图1
（2）如图2，在（1）的条件下，过点D作DE⊥AB于点E。若AB＝6，求△DBE的周长。
图2
（3）如图3，当∠C≠90°时，求证：AC＋CD＝AB。
图3
@当堂测评
1.如图，有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC的三条边的垂直平分线的交点
C.△ABC的三条角平分线的交点
D.△ABC的三条高所在直线的交点
2.如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：
甲：BD＝DE；
乙：∠CDE＝∠CAB；
丙：AB＋EC＝AC。
下列判断正确的是（　　）
A.只有甲对 B.只有乙对
C.只有丙对 D.三人说的都对
3.如图，△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝6，则△ABC的面积是　　。
4.如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m2，周长为12m，I为△ABC三条角平分线的交点，则点I到△ABC每条边的距离为　　m。
@分层训练
1.如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm。若BD平分∠ABC且△ABC的面积为28cm2，则点D到边BC的距离为cm。
2.如图，点A在∠EBF的边BE上，点C在边BF上，∠ACF和∠ABC的平分线相交于点D。若∠DBC＝25°，∠DCF＝60°，则∠1＝　　°。
3.[2025春·项城市期末]（1）如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°。当∠B＝90°时，根据角平分线的性质，我们可知DB与DC之间的数量关系为　　；
图1
（2）如图2，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°。当∠B＜90°时，试说明DB与DC之间的数量关系　　；
图2
（3）如图3，AD平分∠BAC，若∠B＝70°，DB＝DC，则∠ACD的度数为。
图3
4.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB，交BC于点F，交AC于点E，过点O作OD⊥BC于点D。
（1）求证：∠AOB＝90°＋∠C；
（2）求证：AE＋BF＝EF；
（3）若OD＝a，CE＋CF＝2b，请用含a，b的代数式表示△CEF的面积，S△CEF＝　　（直接写出结果）。
5.（推理能力）[2025春·青岛市期末]【探索新知】如图1，AD是△ABC的角平分线，与之间有怎样的关系呢？
如图1，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，过点A作AH⊥BC，垂足为H。
图1
∵AD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF。
∵S△ABD＝AB·DE＝BD·AH，S△ADC＝AC·DF＝DC·AH，
∴＝＝，即＝。
【新知应用】
（1）如图2，AD是△ABC的角平分线，若AB＝5，AC＝3，则＝　　；
图2
（2）如图2，AD是△ABC的角平分线，若＝，则＝　　；
图2
（3）如图3，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，若AB∶BC∶AC＝5∶6∶4，S△ABC＝m，求四边形AEFF的面积（用含m的式子表示）。
图3
参考答案
【预习导航】
一点　相等
【归类探究】
【例1】 （1）∠BAC的平分线，且点I到△ABC三边的距离相等　（2）角的平分线上的点，到角两边的距离相等　IP＝IQ　IA是∠BAC的平分线　在角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上
【例2】 （1）22.5°　（2）△DBE的周长为6。　（3）略
【当堂测评】
1.C　2.D　3.96　4.1
【分层训练】
1.4　2.55
3.（1）DB＝DC　（2）DB＝DC　（3）110°
4.（1）略　（2）略　（3）ab
5.（1）　（2）　（3）m5　角平分线
第1课时　角平分线的性质
@预习导航
1.角平分线的性质定理
定　　理：角平分线上的点到　　。
2.角平分线的性质定理的逆定理
定　　理：在一个角的内部，　　的点在这个角的平分线上。
3.角平分线的画法
实　　质：用尺规作角平分线的实质是构造包含两个相等的角的全等三角形。
说　　明：当问题中出现角的平分线时，常常可以作出或补出其上一点到角的两边的垂线，利用全等三角形解决问题。
@归类探究
类型之一　角平分线的性质定理
　如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点。求证：∠B＝∠C。
类型之二　角平分线的判定定理
　如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E为BC的中点，且AE平分∠BAD。求证：
（1）DE平分∠ADC。
（2）AB＋CD＝AD。
类型之三　利用角平分线的性质作图
　[2024春·沈阳月考]如图1，两条交叉马路OM，ON中间区域建有A，B两个温室花房。现要在两条马路OM，ON之间的空地处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM，ON的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等。如何确定交易中心P的位置？如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）。
图1图2
@当堂测评
1.如图，OC平分∠AOB，在OC上取一点P，过P作PQ⊥OB，若PQ＝7cm，则点P到OA的距离为（　　）
A.4cm B.5cm
C.6cm D.7cm
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为　　E。若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为。
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，再分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交BC于点M。已知∠B＝30°，CM＝1，则BM的长为　　。
@分层训练
1.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A.8 B.7.5
C.15 D.无法确定
2.[2024·天津]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为（　　）
A.60° B.65° C.70° D.75°
3.[2024秋·营口市校级期中]如图，在△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中错误的是（　　）
A.CP平分∠ACF
B.∠ABC＋2∠APC＝180°
C.∠ACB＝∠APB
D.S△PAC＝S△MAP＋S△NCP
4.[2025春·锦州期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D。过点D作DE⊥AB于点E，点F在AC上，且∠CFD＝∠B。
（1）求证：CF＝EB；
（2）若AF＝6，EB＝2，求AB的长。
5.如图，∠BCD和∠BAD的平分线交于点P。
（1）求证：∠PCB＋∠P＝∠PAB＋∠B；
（2）若∠B＝44°，∠D＝58°，求∠P的度数。
6.[2024春·沈阳浑南区期中]如图，AD是∠BAC的平分线，AC∥BD，过点B作BE⊥AC，与AD交于点F。
（1）求证：△ABD为等腰三角形；
（2）若AE＝2，BD＝3，BF＝，求△ABF中边AB上的高。
7.（模型观念、推理能力）[2024春·沈阳康平县月考]图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE。
图1
（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P。AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由。
图2
（2）在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长。
参考答案
【预习导航】
1.这个角的两边的距离相等　2.到角的两边距离相等
【归类探究】
【例1】 略
【例2】 略
【例3】 略
【当堂测评】
1.D　2.2.4　3.2
【分层训练】
1.B　2.B　3.C
4.（1）略　（2）AB＝10
5.（1）略　（2）∠P＝51°
6.（1）略　（2）△ABF中边AB上的高为。
7.（1）AP是∠BAC的平分线，理由略。
（2）AB＝11

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