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第三章　图形的平移与旋转
1　图形的平移
第1课时　平移的概念与性质
@预习导航
1.平移的概念
定　　义：在平面内，将一个图形沿某个　　移动一定的　　，这样的图形运动称为　　。
注　　意：平移不改变图形的　　和　　。
2.平移的基本性质
性　　质：一个图形和它经过平移所得的图形中，　　所连的线段　　且　　；对应线段　　且　　，对应角　　。
@归类探究
类型之一　平移的性质
　如图，将△ABC水平向右平移得到△DEF，A，D两点的距离为1，CE＝2，∠A＝70°。
根据题意完成下列各题：
（1）AC和DF的数量关系为；AC和DF的位置关系为　　。
（2）∠1的度数为　　。
（3）BF的长为　　。
类型之二　平移作图
　作出已知图形经平移所得的图形。
（1）把△ABC沿AB方向平移，平移的距离为线段a的长。
（2）把△ABC沿AC方向平移，平移的距离为线段a的长。
@当堂测评
1.下列现象中，不属于平移的是（　　）
A.滑雪运动员在平坦的雪地上滑行
B.钟摆的摆动
C.正在上升的电梯
D.火车在笔直的铁轨上飞驰而过
2.[2025春·葫芦岛期末]篆体，为汉字古代书体之一，也叫篆书。下列用篆体书写的汉字中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
3.[2025春·铁东区校级月考]如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF（点E在线段BC上），如果BC＝10cm，EC＝6cm，那么平移的距离为（　　）
A.4cm B.6cm
C.10cm D.16cm
@分层训练
1.如图是表示直线a平移得到直线b的两种画法，下列关于三角尺平移的方向和移动的距离说法正确的是（　　）
A.方向相同，距离相同
B.方向不同，距离不同
C.方向相同，距离不同
D.方向不同，距离相同
2.如图，在△ABC中，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（　　）
A.BE＝4 B.∠F＝30°
C.AB∥DE D.DF＝5
3.在如图所示4×4方格中，请用无刻度的直尺按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上）。
（1）在图1中，将△ABC先向右平移2格，再向上平移1格得到△A'B'C'，请画出△A'B'C'；
图1
（2）在图2中，线段AB与CD相交于点O，且∠AOC＝α，请画一个△CDE，使得△CDE中的一个角等于α。
图2
4.[2025·辽阳模拟]如图，将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A'B'C'D'，此时阴影部分的面积为　　。
5.[2025春·康平县月考]如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移至△DEF的位置。若∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距离为4，则阴影部分的面积为　　。
6.（模型观念）木匠有长32m的木材，想要在花圃周围做边界，以下四种设计方案中，设计不合理的是（　　）
参考答案
【预习导航】
1.方向　距离　平移　形状　大小　2.对应点　平行（或在一条直线上）　相等　平行（或在一条直线上）　相等　相等
【归类探究】
【例1】 （1）AC＝DF　AC∥DF　（2）110°　（3）4
【例2】 略
【当堂测评】
1.B　2.B　3.A
【分层训练】
1.B　2.D　3.略　4.6cm2　5.26　6.A第二课时 坐标系中的平移规律
1.用坐标表示点的平移
规　　律：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）[或（x－a，y）]；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）[或（x，y－b）]。
简　　记：左右平移，横变纵不变，右加左减；上下平移，纵变横不变，上加下减。
2.用坐标表示图形的平移
规　　律：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。
@归类探究
类型之一　坐标系中点的平移
　将点P（－4，3）先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点P'，则点P'的坐标为（　　）
A.（－2，5） B.（－6，1）
C.（－6，5） D.（－2，1）
类型之二　坐标系中图形的平移
　如图所示的“鱼”是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）的点用线段依次连接而成的，将这条“鱼”向右平移5个单位长度。
（1）画出平移后的新“鱼”。
（2）在图中尽量多选取几组对应点，并将它们的坐标填入表中：
原来的“鱼” …
向右平移5个单位 长度后的新“鱼” …
（3）你发现对应点的坐标之间有什么关系？如果将原来的“鱼”向左平移4个单位长度呢？请你先想一想，然后再画一画。
（4）若纵坐标保持不变，横坐标分别加3，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比，有什么变化？
（5）若横坐标保持不变，纵坐标分别减2呢？
@当堂测评
1.[2025春·兴城市期中]在平面直角坐标系中，若将点A（3，2）向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到对应点A1，则点A1的坐标为（　　）
A.（0，4） B.（5，3）
C.（6，0） D.（6，4）
2.[2025·辽宁]在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（2，－2），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标为（3，5），则点B的对应点D的坐标为（　　）
A.（7，－2） B.（2，3）
C.（2，－7） D.（－3，－2）
@分层训练
1.如图，已知A，B两点的坐标分别为A（－4，2），B（2，－1），将线段AB平移得到线段DC。若点A的对应点是D（－1，4），则点B的对应点C的坐标是（　　）
A.（5，2） B.（5，1）
C.（4，1） D.（4，2）
2.[2024·江西]在平面直角坐标系中，将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为　　。
3.将下列各点用线段依次连接起来，观察是什么图形？
（0，0），（－4，－2），（－3，0），（－5，－1），（－5，1），（－3，0），（－4，2），（0，0）。
（1）纵坐标保持不变，横坐标分别加3，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？若横坐标不变，纵坐标分别加3呢？若将3换成字母a呢？
（2）现将各点分别平移至点（3，3），（－1，1），（0，3），（－2，2），（－2，4），（0，3），（－1，5），（3，3），将各点用线段依次连接起来，观察和原图案的相互关系。
参考答案
【归类探究】
【例1】 B
【例2】 （1）略　（2）（0，0）　（3，0）　（4，－2）　（5，0）　（8，0）　（9，－2）
（3）发现对应点的坐标之间关系为原来的“鱼”的横坐标加上5，纵坐标没变。将原来的“鱼”向左平移4个单位长度，如答图所示，发现对应点的坐标之间关系为原来的“鱼”的横坐标减去4，纵坐标没变。
（4）所得的图案是原图案向右平移3个单位长度。
（5）若横坐标保持不变，纵坐标分别减2，所得的图案是原图案向下平移2个单位长度。
【当堂测评】
1.D　2.B
【分层训练】
1.B　2.（3，4）
3.（1）纵坐标保持不变，横坐标分别加3，所得的图案是原来的图案向右平移3个单位长度；横坐标不变，纵坐标分别加3，所得的图案是原来的图案向上平移3个单位长度；若将3换成字母a，若a＞0，则图形向右平移a个单位长度，向上平移a个单位长度，若a＜0，则图形向左平移｜a｜个单位长度，向下平移｜a｜个单位长度。
（2）所得图案是原图案先向右平移了3个单位长度，再向上平移3个单位长度。
4.B第3课时　坐标系中的平移作图
@预习导航
1.图形的平移
一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过　　得到的。
2.作平移图形的步骤（1）找出关键点。
（2）作出这些关键点平移后的对应点。
（3）将所作的对应点按原来的方式连接。
@归类探究
类型　坐标系中的图形平移作图
　如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，4），B（－2，2），C（－1，1）均在正方形网格的格点上。
（1）画出△ABC向右平移2个单位长度的图形△A1B1C1，并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
（2）已知D1为平面直角坐标系中一点，若A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，请直接写出点D1的坐标。
　已知点A（－5，3），B（1，3），C（－1，－3）。
（1）在如图所示的平面直角坐标系中标出A，B，C三点的位置。
（2）线段AB的长为　　，△ABC的面积为　　。
（3）△ABC经过平移得到△A'B'C'，△ABC中任意一点P（x1，y1）平移后的对应点为P'（x1＋3，y1＋2），请写出A'，B'，C'三点的坐标，并在图中画出△A'B'C'。
@当堂测评
1.观察图1与图2中的两个三角形，可把图1中的三角形的三个顶点怎样变化得到图2中的三角形的三个顶点？（　　）
图1　图2
A.横坐标加上2 　　B.纵坐标加上2
C.横坐标减去2 　　D.纵坐标减去2
2.下列平移作图错误的是（　　）
@分层训练
1.在平面直角坐标系中，△ABC内部有一点M（m，n），若将△ABC先向右平移，再向下平移，平移后点M对应点M'的坐标是（m＋2，n－3），已知点A的坐标是（－3，2），则平移后点A'的坐标是（　　）
A.（－3，2） B.（－2，－3）
C.（－1，－1） D.（－5，－2）
2.如图，将Rt△ABC沿着直角边CA所在的直线向右平移得到Rt△DEF，已知BC＝a，CA＝b，FA＝b，则四边形DEBA的面积等于　　。
3.[2024春·大连期末]如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，4），B（2，1），C（4，1），将△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别是点A1，B1，C1。
（1）画出△A1B1C1。
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标：　　。
（3）直接写出△A1B1C1的面积为　　。
4.如图，已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC方向平移，得到△A'B'C'，使点B'和点C重合，连接AC'，AC'交A'C于点D。
（1）求证：A'D＝CD；
（2）求△C'DC的面积。
5.（模型观念）[2024春·沈阳和平区月考]在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax＋y，x＋ay），则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0）。例如，点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1＋4，1＋2×4），即点Q（6，9）。
（1）若点P的坐标为（－1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为　　；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为（－9，3），求点P的坐标　　；
（3）若点P（c＋1，2c－1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1，点P1的“－4阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标。
参考答案
【预习导航】
1.一次平移
【归类探究】
【例1】 （1）画图略。点A1（2，4），B1（0，2），C1（1，1）。
（2）满足条件的点D1的坐标为（1，5）或（3，3）。
【例2】 （1）略　（2）6　18
（3）画图略。A'（－2，5），B'（4，5），C'（2，－1）。
【当堂测评】
1.B　2.C
【分层训练】
1.C　2.ab
3.（1）画图略。　（2）A1（－2，2），B1（－1，－1），C1（1，－1）　（3）3
4.（1）略　（2）18
5.（1）（2，14）　（2）点P的坐标为（－2，1）。
（3）点P2的坐标为（0，－15）或。

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