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第3课时　中心对称
@预习导航
1.中心对称的概念
定　　义：如果把一个图形绕着某一点旋转　　，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或　　，这个点叫作它们的。
对称点：这两个图形中的对应点叫作关于中心的对称点。
2.中心对称的性质
性　　质：在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过　　，且被对称中心　　。
规　　律：成中心对称的两个图形　　。
3.中心对称图形
定　　义：把一个图形绕某个点旋转　　，如果旋转后的图形能与原来的图形　　，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心。
@归类探究
类型之一　中心对称图形
　[2024·辽宁]纹样是我国古代艺术中的瑰宝。下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
类型之二　中心对称的性质
　如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称。下列结论成立的有。　　（填序号）
①OC＝OC'；②AB∥A'B'；③BC＝B'C'；④∠ABC＝∠A'C'B'。
类型之三　中心对称图形的画法
　如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'和四边形ABCD关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）。
@当堂测评
1.下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（　　）
A
B
C
D
2.[2025·辽宁]数学中有许多优美的曲线，下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
@分层训练
1.[2025春·沈阳月考]剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
2.[2024·沈阳期末]如图，△ABC和△A'B'C'关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到△ABC和线段BC的对应线段B'C'，请你帮该同学找到对称中心O，且补全△A'B'C'。
3.如图，△ABO与△CDO关于点O成中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE。
求证：DF＝BE。
4.[2025·锦州模拟]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为（－1，1），（－5，1），（－2，5）。
（1）以y轴为对称轴，将△ABC作对称变换得△A1B1C1，再以x轴为对称轴，将△A1B1C1作对称变换得△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（2）直接写出△ABC和△A2B2C2的对称中心坐标：；
（3）在所给的网格图中确定一个格点D，使得射线BD平分∠ABC，直接写出点D的坐标。
5.（模型观念、推理能力）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF。
（1）求证：BE＋CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明。
参考答案
【预习导航】
1.180°　中心对称　对称中心　2.对称中心　平分　全等　3.180°　重合
【归类探究】
【例1】 B
【例2】 ①②③
【例3】 略
【当堂测评】
1.D　2.B
【分层训练】
1.D　2.略　3.略
4.（1）略　（2）（0，0）
（3）点D的坐标为（－3，2）或（－1，3）或（1，4）或（3，5）或（5，6）。
5.（1）略　（2）BE2＋CF2＝EF2。证明略。第2课时　旋转作图与简单的旋转分析
@预习导航
1.旋转作图的一般步骤
步　　骤：（1）确定旋转中心、旋转方向及旋转角；
（2）找出表示图形的关键点，一般是图形的“拐点”，对于三角形来说，就是它的三个顶点；
（3）将图形的关键点与旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角，得到关键点的对应点；
（4）按原图形顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形。
2.确定图形旋转后的位置所需的条件
条　　件：作平面图形旋转后的图形，除知道图形原来的位置以外，还需要知道　　和　　。
@归类探究
类型之一　旋转作图
　作图：
（1）如图1，以点O为中心，把点P按顺时针方向旋转45°。
图1
（2）如图2，以点O为中心，把线段AB按逆时针方向旋转90°。
图2
（3）如图3，以点O为中心，把△ABC按顺时针方向旋转120°。
图3
（4）如图4，以点B为中心，把△ABC旋转180°。
图4
类型之二　在坐标系中作旋转图形
　如图，在平面直角坐标系中，已知A（－2，－4），B（0，－4），C（1，－1）三点。
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1。
（2）将（1）中所得△A1B1C1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2。
（3）若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转得来，则旋转中心的坐标为　　。
@当堂测评
1.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（　　）
A
B
C
D
2.[2024·湖北]在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A'的坐标为（　　）
A.（4，6） B.（6，4）
C.（－4，－6） D.（－6，－4）
@分层训练
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接BD。
（1）根据题意，补全图形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）求∠DBC的度数。
2.[2025春·阜新期末]如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）。
（1）将△ABC绕点C旋转180°，点A的对应点为A1，直接在图中画出旋转后的△A1B1C；
（2）平移△ABC，点A的对应点A2的坐标为（1，－2），点B的对应点为B2，直接在图中画出平移后的△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为　　（直接填空）。
3.（推理能力）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在BC的延长线上，且BD＝AB。过点B作BE⊥AC于点F，且与BD的垂线DE交于点E。
（1）求证：△ABC≌△BDE；
（2）△BDE可由△ABC旋转得到，利用尺规作出旋转中心点O（保留作图痕迹，不写作法）。
参考答案
【预习导航】
2.旋转中心　旋转角
【归类探究】
【例1】 略
【例2】 （1）略　（2）略　（3）（－3，－1）
【当堂测评】
1.C　2.B
【分层训练】
1.（1）略　（2）∠DBC＝10°
2.（1）略　（2）略　（3）（2，0）　3.略2　图形的旋转
第1课时　旋转的概念与性质
@预习导航
1.旋转的概念
概　　念：在平面内，将一个图形绕一个　　，这样的图形运动称为旋转，这个　　称为旋转中心，　　称为旋转角。
注　　意：旋转不改变图形的　　和　　。
2.旋转的性质
性　　质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离　　，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于　　；对应线段　　，对应角　　。
@归类探究
　　类型之一　旋转的性质
　如图，△AOB旋转到△A'OB'的位置。若∠AOA'＝90°，则旋转中心是点　　，旋转角是　　，点A的对应点是　　，线段AB的对应线段是　　，∠B的对应角是　　，∠BOB'的度数为　　。
类型之二　旋转的几何综合
　如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠ACB＝35°，AB＝4cm，将△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且C恰好为AD的中点。
（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数；
（2）求出∠BAE的度数和AE的长。
@当堂测评
1.下列运动只属于旋转的是（　　）
A.火箭升空的运动
B.足球在草地上滚动
C.大风车运动的过程
D.传输带运输的东西
2.[2025春·沈阳月考]如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B的度数为（　　）
A.30° B.35° C.40° D.45°
@分层训练
1.[2024·天津]如图，在△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（　　）
A.∠ACB＝∠ACD 　B.AC∥DE
C.AB＝EF 　D.BF⊥CE
2.[2025春·皇姑区校级期中]如图所示4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（　　）
A.点A B.点B C.点C D.点D
3.[2024春·开原市月考]如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（　　）
A. B.4 C.2 D.5
4.如图，若∠AOD＝∠BOC＝60°，A，O，C三点在同一条线上，△AOB按顺时针方向旋转得到△DOC。
（1）指出旋转中心，并求出旋转角度数。
（2）图中经过旋转后能重合的三角形共有几对？若A，O，C三点不共线，结论还成立吗？为什么？
（3）当△BOC为等腰直角三角形时，求旋转角度。
5.（推理能力）[2024春·沈阳期中]如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE（旋转角小于180°），点A和点D是对应点，AC和DE所在直线相交于点F。
图1
（1）求证：EF＝CF；
（2）如图2，当∠CFE＝60°时，若AC＝2，求线段DF的长。
图2
参考答案
【预习导航】
1.定点按某个方向转动一个角度　定点　转动的角　形状　大小　2.相等　旋转角　相等　相等
【归类探究】
【例1】 O　∠A'OA　A'　A'B'　∠B'　90°
【例2】 （1）旋转中心是点A。旋转角度是125°。
（2）∠BAE＝110°，AE＝2cm
【当堂测评】
1.C　2.B
【分层训练】
1.D　2.B　3.A
4.（1）旋转中心是点O。旋转角度数是60°。
（2）经过旋转后能重合的三角形有△AOB与△DOC，△AOE与△DOF，△BOE与△COF共三对。若A，O，C三点不共线，△AOE与△DOF，△BOE与△COF不一定重合，结论不一定成立。理由略。
（3）旋转角度为90°。
5.（1）略　（2）DF＝4

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