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第四章　因式分解
1　因式分解
@预习导航
1.因式分解的概念
因式分解：把一个多项式化成　　的形式，这种变形叫作因式分解。
注　　意：（1）因式分解的对象必须是一个多项式；
（2）因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式。
2.因式分解与整式乘法的关系
归　　纳：多项式整式乘积
说　　明：因式分解是多项式的一种恒等变形，也是多项式乘法的逆变形，因此可以用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。
@归类探究
类型之一　因式分解的概念
　下列等式由左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些是整式乘法？
（1）m3n2－n3m2＝m2n2（m－n）；
（2）（a＋b）（m＋n）＝am＋an＋bm＋bn；
（3）x2－x－6＝（x＋2）（x－3）；
（4）x（2x－y）＝2x2－xy；
（5）9a2－b2＝（3a＋b）（3a－b）；
（6）3a2（a－b＋c）－6a3＝3a2（c－b－a）。
类型之二　利用因式分解简便运算
　用简便方法计算：
（1）736×95＋736×5；
（2）－2.67×132＋25×2.67＋7×2.67。
　20242＋2025能被2024整除吗？
@当堂测评
1.[2024春·沈阳于洪区期中]下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A.6a2b2＝3ab·2ab
B.a2－b2＋1＝（a－b）（a＋b）＋1
C.a（a＋1）（a－1）＝a3－a
D.3a＋3b＝3（a＋b）
2.已知（x－2）（x－1）＝x2－3x＋2，则多项式x2－3x＋2因式分解为　　。
3.计算2.89×29－2.89×17＋2.89×88的结果是　　。
4.根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　　。
@分层训练
1.[2024春·沈阳浑南区期中]下列由左边到右边的变形是因式分解的是（　　）
A.2a2－b2＝（a＋b）（a－b）＋a2
B.2a（b＋c）＝2ab＋2ac
C.x3－2x2＋x＝x（x－1）2
D.x2＋x＝x2
2.计算（1）～（3）题，根据计算的结果填写（4）～（6）题。
（1）（x＋5）（x－3）＝　　；
（2）（2m＋n）（m－n）＝　　；
（3）（x＋2y）2＝　　；
（4）x2＋2x－15＝　　；
（5）2m2－mn－n2＝　　；
（6）x2＋4xy＋4y2＝　　。
3.连一连。
x2＋4x＋4　　　　　（x＋2）（x－2）
x2－2x＋1 （x－1）（x＋1）
4x2－1 （x－1）2
x2－1 （x＋2）2
x2－4 （2x－1）（2x＋1）
4.把多项式x2＋ax＋b因式分解，得（x＋1）（x－3），则a，b的值分别是（　　）
A.a＝2，b＝3 B.a＝－2，b＝－3
C.a＝－2，b＝3 D.a＝2，b＝－3
5.如果多项式ax＋k可分解为a（x－y），那么k等于　　。
6.多项式x2－kx＋6因式分解后有一个因式为x－2，则k的值为　　。
7.1012－9×1010能被91整除吗？请说明理由。
8.（模型观念、推理能力）[2024春·锦州期末]下面是一位同学的解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务。若（x－2）是多项式x3＋3x2－8x＋k的一个因式，求k的值。
解：∵（x－2）是多项式x3＋3x2－8x＋k的一个因式，
∴设x3＋3x2－8x＋k＝A（x－2）（A为整式）。
令x－2＝0，即当x＝2时，
得8＋12－16＋k＝0，
解得k＝－4。
学习任务：
（1）若（x＋1）是多项式3x3＋ax2＋2的一个因式，请求出多项式中二次项的系数a的值；
（2）若（x－1）和（x＋3）是多项式x4＋mx3＋nx－81的两个因式，请求出多项式中三次项和一次项的系数m，n的值。
参考答案
【预习导航】
1.几个整式乘积
【归类探究】
【例1】 （1）（3）（5）（6）是因式分解；（2）（4）是整式乘法。
【例2】 （1）73600　（2）－267
【例3】 20242＋2025不能被2024整除。
【当堂测评】
1.D　2.（x－2）（x－1）　3.289
4.x2＋2x＋4x＋8＝（x＋4）（x＋2）
【分层训练】
1.C　2.（1）x2＋2x－15　（2）2m2－mn－n2　（3）x2＋4xy＋4y2　（4）（x＋5）（x－3）　（5）（2m＋n）（m－n）　（6）（x＋2y）2
3.略　4.B　5.－ay　6.5
7.1012－9×1010能被91整除。理由略。
8.（1）a＝1　（2）m＝－10，n＝90

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