资源简介

第2课时　公因式为多项式的因式分解
@预习导航
1.公因式为多项式的因式分解
规　　律：当公因式为多项式时，只需运用　　思想将公因式视为一个字母，即可运用提公因式法进行因式分解。
2.互为相反数的幂的关系
规　　律：（1）（x－y）2n＝　　（y－x）2n（n为正整数）；
（2）（x－y）2n＋1＝　　（y－x）2n＋1（n为正整数）。
@归类探究
类型之一　公因式为多项式的因式分解
　把下列各式因式分解：
（1）5（x－y）3＋10（y－x）2；
（2）（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）·（8b－7a）；
（3）x（x－y）（a－b）－y（y－x）（b－a）。
【点悟】 （1）提取公因式后，若括号里合并同类项后的项有公因式应再次提取；（2）注意符号的变换：y－x＝－（x－y）。
类型之二　先因式分解再求值
　先因式分解，再求值：
（1）（a＋b）（a－b）－（a－b）2，其中a＝1，b＝－；
（2）a（a－b）＋c（b－a），其中a＝－2，b＝8，c＝－12。
@当堂测评
1.把2（x－3）＋x（3－x）提取公因式x－3后，另一个因式是（　　）
A.x－2 B.x＋2
C.2－x D.－2－x
2.把多项式m2（a－2）＋m（2－a）因式分解的结果是（　　）
A.（a－2）（m2＋m） B.（a－2）（m2－m）
C.m（a－2）（m－1） D.m（a－2）（m＋1）
3.在下列各横线上填上“＋”或“－”，使等式成立。
（1）3＋a＝　　（a＋3）；
（2）1－x＝　　（x－1）；
（3）－m2＋2n2＝　　（m2－2n2）；
（4）（x－y）2＝　　（y－x）2；
（5）（x－y）3＝　　（y－x）3。
@分层训练
1.把多项式a（x－y）＋b（y－x）因式分解的结果是（　　）
A.（a－b）（x－y） B.（a＋b）（x－y）
C.（a＋b）（y－x） D.（a－b）（y－x）
2.因式分解：x（y－1）＋4（1－y）＝　　。
3.把下列各式因式分解：
（1）2（a－b）－a（b－a）；
（2）x（x－y）5＋xy（y－x）4－x3（y－x）3；
（3）2y（x－2y）（3x－2y）－3x（2y－3x）（2y－x）。
4.[2025·本溪期中]先因式分解，再求值：4a（b－2）＋3a（2－b）2，其中a＝，b＝6。
5.若（19x－31）（13x－17）－（17－13x）·（11x－23）可因式分解成（ax＋b）（30x＋c），其中a，b，c均为整数，求a＋b＋c的值。
6.（1）因式分解：（x－y）（3x－y）＋2x（3x－y）。
（2）设y＝kx，是否存在实数k，使得上式的化简结果为x2？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由。
7.（模型观念、推理能力）（1）因式分解多项式1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋x（1＋x）3，你发现了什么规律？
（2）利用你发现的规律直接写出因式分解多项式1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋…＋x（1＋x）2024的结果。
参考答案
【预习导航】
1.整体　2.＋　－
【归类探究】
【例1】 （1）5（x－y）2（x－y＋2）
（2）8（7a－8b）（b－a）　（3）（x－y）2（a－b）
【例2】 （1）－　（2）－100
【当堂测评】
1.C　2.C　3.（1）＋　（2）－　（3）－　（4）＋　（5）－
【分层训练】
1.A　2.（y－1）（x－4）
3.（1）（a－b）（2＋a）　（2）x2（x－y）3（2x－y）
（3）－（x－2y）（3x－2y）2
4.原式a（2－3b）（2－b）。当a＝，b＝6时，原式＝96。
5.a＋b＋c＝－58
6.（1）（3x－y）2　（2）k＝4或2
7.（1）原式＝（1＋x）4。
规律：1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋x（1＋x）3＋…＋x（1＋x）n＝（1＋x）n＋1。
（2）原式＝（1＋x）2025。2　提公因式法
第1课时　公因式为单项式的因式分解
@预习导航
1.公因式的概念
公因式：我们把多项式各项都含有　　的因式，叫作这个多项式各项的公因式。
注　　意：公因式可以是式子，也可以是数。
2.确定公因式的方法
归　　纳：确定一个多项式各项的公因式时，要对系数和字母分别进行考虑。
（1）对于系数，如果是整数系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；如果是分数系数，可提取一个合适的分数系数，将各项的系数化为整数，再进一步因式分解；
（2）对于字母，取各项相同的字母，并且指数取最低次。
3.提公因式法
定　　义：如果一个多项式的各项含有　　，那么就可以把这个　　提出来，从而将多项式化成　　乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法。
@归类探究
　　类型之一　找多项式的公因式
　写出下列各项的公因式：
（1）4a－16，　　；
（2）3x2＋6x，　　；
（3）a3x2－a2y2，　　；
（4）－24m2x3＋16n2x2，　　；
（5）－3ma3＋6ma2－12ma，　　。
【点悟】 当一个多项式的首项系数是负数时，公因式的系数也为负数。
类型之二　运用提公因式法因式分解
　把下列各式因式分解：
（1）8x2y＋2xy；
（2）12abc－9a2b2；
（3）－8a3b2＋12ab3c＋4ab2。
　已知ab＝7，a＋b＝6，求多项式a2b3＋a3b2＋4a2b2的值。
@当堂测评
1.把4x3y2z－6xy2z3＋12xy3z2分解因式时，应提取的公因式是（　　）
A.4x2y2z B.2xy2z
C.6xy D.2
2.把多项式mx2－2mx因式分解，结果正确的是（　　）
A.m（x2－2x） B.m2（x－2）
C.mx（x－2） D.mx（x＋2）
3.把下列各式因式分解：
（1）[2024·遂宁]ab＋4a＝　　；
（2）[2024·内江]m2－5m＝　　；
（3）[2024·陕西]a2－ab＝　　；
（4）[2024·江西]a2＋2a＝　　；
（5）[2024·枣庄]x2y＋2xy＝　　；
（6）[2024·福建]x2＋x＝　　。
@分层训练
1.多项式8a3b2＋12a3bc－4a2b中，各项的公因式是（　　）
A.a2b B.－4a2b2
C.4a2b D.－a2b
2.下列多项式：①11a2b－7b2；②5a2c－10b2c；③x3－x＋1；④m2－n2。其中可以用提公因式法因式分解的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.若代数式x2＋ax可以因式分解，则常数a的值不能为（　　）
A.－1 B.0 C.1 D.2
4.把下列各式因式分解：
（1）7x3y2－42x2y3；
（2）－15m2n3＋5mn－10m3n2；
（3）10a2b－20a3b2；
（4）49aby－14ab2x＋7ab。
5.[2025·沈阳期末]如图，某串联电路中电流I（单位：A）、电阻R1、R2、R3（单位：Ω）、时间t（单位：s）与热量Q（单位：J）有下列关系：Q＝I2R1t＋I2R2t＋I2R3t。当I＝0.6，R1＝32.7，R2＝42.4，R3＝24.9，t＝3时，求电流流经电阻所产生的热量Q。
6.－22025＋（－2）2026等于（　　）
A.－22025 B.－22026
C.22025 D.－2
7.长为a，宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，则a2b＋ab2的值为（　　）
A.25 B.50 C.75 D.100
8.[2025·阜新期中]在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠C＝90°，c＝，△ABC的面积为1，则a3b＋ab3＝　　。
9.计算：5×34＋24×33＋63×32。
10.（运算能力）若实数x满足x2－2x－1＝0，则2x3－7x2＋4x－2024的值为（　　）
A.2026 B.－2026
C.2027 D.－2027
11.（推理能力）若n为整数，请问n2＋n能被2整除吗？请说明理由。
参考答案
【预习导航】
1.相同　3.公因式　公因式　两个因式
【归类探究】
【例1】 （1）4　（2）3x　（3）a2　（4）－8x2　（5）－3ma
【例2】 （1）2xy（4x＋1）　（2）3ab（4c－3ab）
（3）－4ab2（2a2－3bc－1）
【例3】 490
【当堂测评】
1.B　2.C　3.（1）a（b＋4）　（2）m（m－5）
（3）a（a－b）　（4）a（a＋2）　（5）xy（x＋2）
（6）x（x＋1）
【分层训练】
1.C　2.B　3.B
4.（1）7x2y2（x－6y）
（2）－5mn（3mn2－1＋2m2n）
（3）10a2b（1－2ab）　（4）7ab（7y－2bx＋1）
5.电流流经电阻所产生的热量Q为108J。
6.C　7.A　8.10　9.1620　10.D
11.n2＋n能被2整除。理由略。

展开更多......

收起↑