资源简介

3　公式法
第1课时　利用平方差公式因式分解
@预习导航
1.平方差公式
公　　式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）。
特　　征：左边是平方差形式，并且两项的位置不能颠倒；右边是两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；公式中a和b可以是单项式，也可以是多项式，还可以是具体的数字。
2.因式分解的一般步骤
步　　骤：（1）对于一个多项式，首先观察能否提公因式，再看能否利用公式法分解；（2）因式分解必须分解到每个多项式都不能再分解为止。
@归类探究
类型之一　平方差公式
　把下列各式因式分解：
（1）4x2－9；
（2）（x＋p）2－（x＋q）2；
（3）x4－y4。
类型之二　提公因式与平方差公式的综合
　把下列各式因式分解：
（1）3x2－27；
（2）a3b－4ab；
（3）m3n－16mn；
（4）－2xy2＋8x；
（5）4ax2－ay2；
（6）16m3－mn2。
@当堂测评
1.下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解的是（　　）
A.－x2＋y2 B.4a2－（a＋b）2
C.a2－8b2 D.x2y2－1
2.把下列各式因式分解：
（1）x2－4＝　　；
（2）x2－4y2＝　　；
（3）4－4m2＝　　；
（4）4a2－9＝　　。
@分层训练
1.[2025·大连期末]将9a2－4b2分解因式的结果是（　　）
A.（3a－2b）2
B.（9a－4b）2
C.（9a＋4b）（9a－4b）
D.（3a＋2b）（3a－2b）
2.[2025·辽阳期末]若M（5x－y2）＝y4－25x2，则代数式M应为（　　）
A.－5x＋y2 B.－y2－5x
C.5x＋y2 D.5x2－y2
3.因式分解：
（1）[2024·甘肃]2x2－8＝　　；
（2）[2024·北京]x3－25x＝　　；
（3）[2024·绥化]2mx2－8my2＝　　；
（4）[2024·齐齐哈尔]2a3－8ab2＝　　。
4.[2025·本溪期中]已知4x2－9y2＝10，2x＋3y＝2，则2x－3y的值为　　。
5.计算：
（1）49.62－50.42＝　　；
（2）13.32－11.72＝　　。
6.把下列各式因式分解：
（1）8y4－2y2；
（2）4（2p＋3q）2－（3p－q）2；
（3）－（m－n）2＋1；
（4）36m2（a＋b）2－25m2（a－b）2。
7.[2025·辽宁期末]若58－1可以被20到30之间的某两个整数整除，则这两个整数是（　　）
A.24，26 B.25，27
C.26，28 D.27，29
8.如图，在边长为acm的正方形木板上开出边长为bcm的四个正方形小孔。
（1）试用a，b表示剩余部分的面积；
（2）若a＝14.5，b＝2.75，则剩余部分的面积是多少？
9.[2025·辽阳期末]如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”。例如，4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“友好数”。
（1）28和2028这两个数是“友好数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2n＋2和2n（其中n取非负整数），由这两个连续偶数构成的“友好数”是4的倍数吗？为什么？
参考答案
【归类探究】
【例1】 （1）（2x＋3）（2x－3）
（2）（2x＋p＋q）（p－q）
（3）（x2＋y2）（x＋y）（x－y）
【例2】 （1）3（x＋3）（x－3）
（2）ab（a＋2）（a－2）
（3）mn（m＋4）（m－4）
（4）－2x（y＋2）（y－2）
（5）a（2x＋y）（2x－y）
（6）m（4m＋n）（4m－n）
【当堂测评】
1.C
2.（1）（x＋2）（x－2）　（2）（x＋2y）（x－2y）　（3）4（1＋m）（1－m）　（4）（2a＋3）（2a－3）
【分层训练】
1.D　2.B
3.（1）2（x＋2）（x－2）　（2）x（x＋5）（x－5）　（3）2m（x＋2y）·（x－2y）　（4）2a·（a＋2b）（a－2b）
4.5　5.（1）－80　（2）40
6.（1）2y2（2y－1）（2y＋1）
（2）（7p＋5q）（p＋7q）
（3）（1＋m－n）（1－m＋n）
（4）m2（11a＋b）（a＋11b）
7.A
8.（1）剩余部分的面积为（a2－4b2）cm2。
（2）剩余部分的面积是180cm2。
9.（1）28，2028都是“友好数”。
（2）由2n＋2和2n构成的“友好数”是4的倍数。理由略。第2课时　利用完全平方公式因式分解
@预习导航
1.完全平方式
定　　义：形如　　或　　的式子称为完全平方式。
特　　征：两式都是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍。
2.完全平方公式
公　　式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2；
a2－2ab＋b2＝（a－b）2。
文字叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
3.公式法
定　　义：利用乘法公式，把某些多项式　　，这种因式分解的方法叫作　　。
@归类探究
类型之一　完全平方式
　（1）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝　　；
（2）若x2－18xy＋m是完全平方式，则m＝　　；
（3）若x2－14x＋m2是完全平方式，则m＝　　；
（4）若9x2＋6xy＋m是完全平方式，则m＝　　。
类型之二　利用完全平方公式因式分解
　把下列各式因式分解：
（1）x2－12xy＋36y2；
（2）16a4＋24a2b2＋9b4；
（3）－2xy－x2－y2；
（4）4－12（x－y）＋9（x－y）2。
类型之三　先提公因式再运用完全平方公式因式分解
　把下列各式因式分解：
（1）－4x3＋40x2y－100xy2；
（2）ab4－4ab3＋4ab2；
（3）x－x2＋x3。
@当
堂测评
1.下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A.x2＋1 B.x2＋2x＋4
C.x2－2x＋1 D.x2＋x＋1
2.因式分解：
（1）x2＋2x＋1＝　　；
（2）2x2－4x＋2＝　　；
（3）3x2－18x＋27＝　　；
（4）（m＋n）2－6（m＋n）＋9＝　　。
@分层训练
1.多项式2x3－4x2＋2x因式分解为（　　）
A.2x（x－1）2 B.2x（x＋1）2
C.x（2x－1）2 D.x（2x＋1）2
2.若ab＝2，＋＝，则多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值为（　　）
A.18 B.16 C.12 D.6
3.把下列各式因式分解：
（1）－a3＋2a2－a＝　　；
（2）（x＋2）（x＋4）＋1＝　　；
（3）＋ax＋a＝　　。
4.把下列各式因式分解：
（1）a2＋8a＋16；
（2）m2－m＋；
（3）25m2＋30mn＋9n2；
（4）4x2－12xy＋9y2。
5.若a＝2024x＋2024，b＝2024x＋2025，c＝2024x＋2026，则a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为　　。
6.把下列各式因式分解：
（1）（p＋q）2－2r（p＋q）＋r2；
（2）9（2x－y）2－6（2x－y）＋1；
（3）（x＋2y）2－10（x＋2y）＋25；
（4）（x＋a）2－6（x＋a）（x－b）＋9（x－b）2。
7.[2024·阜新期末]已知a，b，c是△ABC三边的长，且满足a2＋c2－2b（a－b＋c）＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由。
8.（模型观念、推理能力）下面的材料是利用“热门定理”对x4＋4因式分解的解释。
x4＋4这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？19世纪的法国数学家苏菲·热门注意到该式只有两项，而且属于平方和（x2）2＋22的形式，要使用完全平方公式就必须添加一项4x2，随即将4x2再减去，即可得x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝（x2＋2）2－4x2＝（x2＋2）2－（2x）2＝（x2＋2x＋2）（x2－2x＋2）。人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫作“热门定理”。
请你依照苏菲·热门的解法，将下列各式因式分解：
（1）x4＋4y4；
（2）x2－2ax－b2－2ab。
参考答案
【预习导航】
1.a2＋2ab＋b2　a2－2ab＋b2
3.因式分解　公式法
【归类探究】
【例1】 （1）±4　（2）81y2　（3）±7　（4）y2
【例2】 （1）（x－6y）2　（2）（4a2＋3b2）2
（3）－（x＋y）2　（4）（2－3x＋3y）2
【例3】 （1）－4x（x－5y）2　（2）ab2（b－2）2
（3）x（2－x）2
【当堂测评】
1.C　2.（1）（x＋1）2　（2）2（x－1）2　（3）3（x－3）2　（4）（m＋n－3）2
【分层训练】
1.A　2.A　3.（1）－a（a－1）2　（2）（x＋3）2　（3）（x＋2）2
4.（1）（a＋4）2　（2）　（3）（5m＋3n）2
（4）（2x－3y）2
5.3
6.（1）（p＋q－r）2　（2）（6x－3y－1）2
（3）（x＋2y－5）2　（4）（a＋3b－2x）2
7.△ABC是等边三角形。理由略。
8.（1）（x2＋2y2＋2xy）（x2＋2y2－2xy）
（2）（x＋b）（x－2a－b）

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