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第4课时　分式的混合运算
@预习导航
分式的混合运算
运算顺序：（1）在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先　　，再　　，最后　　；
（2）有括号要按先算　　括号，再算　　括号，最后算　　括号的顺序，混合运算后的结果的分子、分母要进行约分。
@归类探究
类型之一　分式的混合运算　　　计算：
（1）[2024·沈阳铁西区期末]·；
　　
　　
　　
（2）[2024·重庆]÷；
　　
　　
　　
（3）[2024·河南]÷。
　　
　　
　　
类型之二　分式的化简求值
　[2024·苏州]先化简，再求值：÷，其中x＝－3。
　　
　　
　　
　　@当堂测评
1.一块麦田有mm2，甲收完这块麦田需要nh，乙比甲少用0.5h就能收割完这块麦地，两人一起收割完这块麦地需要（　　　　）
A.h B.h
C.h D.h
2.计算：
（1）÷＝　　；
（2）÷＝　　；
（3）÷＝　　。
@分层训练
1.计算÷的结果是（　　　　）
A.－ B. C.－ D.
2.计算÷（a＋1－）的结果是（　　　　）
A. B.
C. D.
3.如果m＋n＝1，那么代数式·（m2－n2）的值为（　　　　）
A.－3 B.－1 C.1 D.3
4.[2025·铁岭阶段练习]计算：
（1）·－÷；
　　
　　
　　
　　
（2）÷。
　　
　　
　　
　　
5.[2024·盐城]先化简，再求值：1－÷，其中a＝4。
　　
　　
　　
6.甲、乙两人骑自行车从相距s千米的两地同时出发，若同向而行，经过a小时甲追上乙；若相向而行，经过b小时甲、乙相遇。设甲的速度为v1千米/时，乙的速度为v2千米/时，则等于（　　　　）
A. B.
C. D.
7.若x＋＝，且0＜x＜1，则x2－＝　　。
8.[2024·遂宁]先化简：÷，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值。
　　
　　
　　
　　
　　
9.[2024·烟台]利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：。若m是其显示结果的平方根，先化简：÷，再求值。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
10.（模型观念）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师给出的一道代数式求值问题：
已知实数a，b同时满足a2＋2a＝b＋2，b2＋2b＝a＋2，求代数式＋的值。
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当a＝b时，a的值是　　；
（2）当a≠b时，代数式＋的值是　　。
参考答案
【预习导航】
乘方　乘除　加减　小　中　大
【归类探究】
【例1】 （1）m＋1　（2）　（3）a＋2
【例2】 原式＝，当x＝－3时，原式＝。
【当堂测评】
1.A　2.（1）　（2）　（3）1
【分层训练】
1.A　2.A　3.D
4.（1）　（2）
5.原式＝，当a＝4时，原式＝。
6.B　7.－
8.原式＝x－1。
∵x－1≠0，x－2≠0，∴x≠1，x≠2，
当x＝3时，原式＝2。
9.原式＝。
根据计算器可得m＝±＝±＝±2。
∵4－2m≠0，∴m≠2，
当m＝－2时，原式＝－。
10.（1）－2或1　（2）7第3课时　异分母分式的加减法
@预习导航
1.分式的通分
通　　分：根据分式的　　，把异分母的分式化为同分母的分式的过程称为分式的通分。
注　　意：化异分母分式为同分母分式时，通常选取各分母中所有不同因式的最高次幂的积作为公分母，即最简公分母，最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数。
2.异分母的分式加减法法则
文字叙述：异分母分式相加减，先　　，化为　　的分式，然后再按　　分式的加减法法则进行计算。　　字母表示：±＝±＝。
@归类探究
类型之一　分式的通分
　将下列各分式通分：
（1），，；
　　
（2），。
　　
类型之二　异分母分式的加减法
　计算：
（1）－；
　　
　　
（2）x＋2y＋＋。
　　
　　
　　
　　
类型之三　分式的加减在实际生活中的应用
　甲、乙两位采购员去同一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次购买的价格不同，两位采购员的购买方式也不同，其中，甲每次购买1000kg，乙每次购买800元的饲料。
（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？
　　
　　
（2）谁的购买方式更合算？
　　
　　
　　@当堂测评
1.＋的运算结果正确的是（　　　　）
A. B. C. D.a＋b
2.节约用水，人人有责。某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可以使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（　　　　）
A.吨 B.吨
C.吨 D.吨
3.计算：－＝　　。
@分层训练
1.计算＋a－2的结果是（　　　　）
A.1 B. C. D.
2.如图，若x是非负整数，则表示－的值的对应点落在该数轴上的区域（　　　　）
A.① B.②
C.③ D.①或②
3.[2025·丹东阶段练习]先化简：÷，再从－1，0，1中取一个合适的数作为x的值代入求值。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
4.若＝＋（A，B为有理数），则AB＝　　。
5.[2024·连云港]下面是某同学计算－的解题过程：
解：－＝－……①
＝（m＋1）－2……②
＝m－1。……③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程。
　　
　　
6.已知下列等式：
1×＝1－；×＝－；
×＝－；×＝－；…。
（1）将你发现的规律用含正整数n的等式表示：　　；
（2）验证你写出的等式是否成立；
　　
（3）利用等式计算：＋＋＋。
　　
　　
7.（运用能力）[2024·鞍山月考]若a1＝1＋＋，a2＝1＋＋，a3＝1＋＋，…，an＝1＋＋，其中n为正整数，则＋＋＋…＋＝　　。
参考答案
【预习导航】
1.基本性质　2.通分　同分母　同分母
【归类探究】
【例1】 （1）＝，＝，
＝。
（2）＝，
＝。
【例2】 （1）　（2）
【例3】 （1）甲两次购买饲料的平均单价为元/kg，乙两次购买饲料的平均单价为元/kg。
（2）乙的购买方式更合算。
【当堂测评】
1.C　2.C　3.
【分层训练】
1.B　2.B
3.原式＝，由分式有意义的条件，得x＋1≠0且x－1≠0，即x≠－1且x≠1。从－1，0，1中取合适的x＝0代入，得原式＝－1。
4.
5.解：从第②步开始出现错误，正确的解题过程略。
6.（1）＝－
（2）原式成立。　（3）
7.2024第2课时　同分母分式的加减法
@预习导航
同分母的分式加减法法则
文字叙述：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
字母表示：±＝。
@归类探究　　
类型之一　同分母分式的加减法
　计算：
（1）＋－；
　　
（2）＋；
　　
（3）＋。
　　
类型之二　同分母分式加减的应用
　如图，一个正确的运算过程被墨水污染了一部分，则被污染的部分是（　　）
A. B.a
C. D.1
@当堂测评
1.计算－的结果为（　　）
A.1 B.－1 C. D.
2.[2024·甘肃]计算－的结果为（　　）
A.2 B.2a－b
C. D.
3.计算：
（1）[2024·湖北]＋＝　　；
（2）[2024·南充]－＝　　；
（3）[2024·自贡]－＝　　；
（4）[2024·威海]＋＝　　。
@分层训练
1.计算－＋的结果为（　　）
A. B.－
C.－ D.
2.[2024·天津]计算－的结果为（　　）
A.3 B.x
C. D.
3.计算：
（1）－；
　　
（2）－。
　　
　　
　　
　　
　　
4.先化简，再求值：＋，其中x＝1。
　　
　　
　　
　　
5.先化简，再求值：－，其中x＝。
　　
　　
　　
　　
　　
6.（推理能力）阅读下列材料：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如，；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如，。假分式可以化为整式与真分式和的形式，我们也称之为“带分式”，如＝＝1＋。
解决下列问题：
（1）下列分式属于真分式的是（　　）
A. B.
C. D.
（2）将假分式，分别化为带分式。
　　（3）若假分式的值为整数，请直接写出所有符合条件的整数x的值。
　　
　　
　　
　　
　　
参考答案
【归类探究】
【例1】 （1）　（2）x－2　（3）－1
【例2】 D
【当堂测评】
1.A　2.A　3.（1）1　（2）1　（3）1　（4）－x－2
【分层训练】
1.D　2.A　3.（1）　（2）x－2
4.原式＝x＋3。当x＝1时，原式＝4。
5.原式＝。当x＝时，原式＝－6。
6.（1）C
（2）＝3＋；＝x－1＋。
（3）原式＝2x－3＋。
∵x是整数，原分式的值也为整数，
∴x＋3＝±1或±3，
∴x＝－6，－4，－2或0。2　分式的运算
第1课时　分式的乘除法
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1.分式的乘法法则
文字叙述：两个分式相乘，　　的积作为积的分子，把　　的积作为积的分母。
符号表示：·＝　　。
2.分式的除法法则
文字叙述：两个分式相除，把除式的　　和　　颠倒位置后再与被除式　　。
符号表示：÷＝　　·　　＝　　。
3.分式的乘除混合运算
规　　则：分式的乘除混合运算，应按从左到右的顺序进行计算，也可以先把除法运算改写成乘法运算，再进行约分化简。
注　　意：当分式的分子或分母是多项式时，应当先进行因式分解，再运用分式的乘除法法则进行计算。
@归类探究
类型之一　分式的乘法
　计算：
（1）·；
　　
（2）·。
　　
　　
类型之二　分式的除法
　计算：
（1）÷；
　　
　　
（2）÷。
　　
　　
类型之三　分式的乘除混合运算
　计算：
（1）（xy＋x2）÷·；
　　
（2）÷·。
　　@当堂测评
1.计算·的结果为（　　　　）
A.－ B. C. D.－
2.计算÷（－）的结果为（　　　　）
A.a B.－a C.－ D.
3.计算的结果为（　　　　）
A. B. C. D.
4.[2025·盘锦期末]计算：·÷＝　　。
@分层训练
1.计算（a2b）3·的结果是（　　　　）
A.a5b5 B.a4b5 C.ab5 D.a5b6
2.若÷的运算结果为整式，则“△”代表的式子可能是（　　　　）
A.y－x B.y＋x
C. D.3x
3.计算：
（1）·；
　　
（2）·。
　　
4.计算：
（1）÷；
　　
（2）÷。
　　
　　
5.由甲地到乙地的一条铁路全程为skm，火车全程运行时间为ah，则火车的速度为　　km/h；由甲地到乙地的公路全程为mskm，汽车全程运行时间为bh，那么汽车的速度是　　km/h，火车速度是汽车速度的　　倍。
6.若a为整数，则能使分式÷的值为整数的a的值为　　。
7.先化简，再求值：÷，其中m＝1。
　　
　　
　　
　　
8.（应用意识）“丰收1号”小麦的试验田是边长为am的正方形减去一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg。
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
　　
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
　　
参考答案
【预习导航】
1.把分子相乘　分母相乘　　2.分子　分母　相乘　　　
【归类探究】
【例1】 （1）　（2）
【例2】 （1）－　（2）－
【例3】 （1）y　（2）－
【当堂测评】
1.A　2.B　3.B　4.
【分层训练】
1.A　2.D　3.（1）　（2）
4.（1）　（2）　5.　　
6.2　7.原式＝。
当m＝1时，原式＝－。
8.（1）“丰收2号”小麦的单位面积产量高。
（2）“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍。

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