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3　分式方程
第1课时　分式方程的概念
@预习导航
分式方程的概念
分式方程：分母中含有　　的方程叫分式方程。
辨　　析：分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数，分母中含未知数的方程是分式方程，分母中不含未知数的方程是整式方程。
@归类探究
　　类型之一　识别分式方程
　下列方程是分式方程的是（　　　　）
A.＝2 B.x2－2x＝1
C.＝1 D.x－2＝3y
类型之二　分式方程的解
　若x＝2是分式方程＋＝2的解，则a的值为　　。
类型之三　列分式方程
　将5kg浓度为98％的酒精，稀释成浓度为75％的酒精。设需要加水xkg，根据题意可列方程为（　　　　）
A.0.98×5＝0.75x
B.＝0.75
C.0.75×5＝0.98x
D.＝0.98
@当堂测评
1.下列各式，不是分式方程的为（　　　　）
A.＝
B.（x－1）＋x＝1
C.－3＝
D.＝3
2.已知x＝5是分式方程＝的解，则a的值为（　　　　）
A.－2 B.－4 C.2 D.4
3.[2025·抚顺开学考试]随着农业技术发展，农作物的产量大幅度增长，利用同样的土地种植花生，2024年与2014年的花生产量进行比较，得出结果如下表：
1 2024年每亩地的产量比较2014年多120千克
2 2014年总产量6000千克，2024年总产量8400千克
求2014年与2024年花生每亩地的产量，若设2014年每亩地花生的产量x千克，可列出的方程是（　　　　）
A.＝
B.6000（x＋120）＝8400x
C.＝
D.6000x＝8400（x＋120）
4.甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km，一列特快列车与一列快车分别从A，B两站同时出发相向而行，特快列车的平均速度比快车快54km/h。当特快列车到达B站时，快车恰好到达距离A站135km处的C站。求特快列车和快车的平均速度。（只列方程）
　　
　　@分层训练
1.[2024·达州]甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30min后，甲开始加工。甲为了追赶上乙的进度，加工速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成，求乙每小时加工零件个数。设乙每小时加工x个零件，可列方程为（　　　　）
A.－＝30 B.－＝30
C.－＝ D.－＝
2.一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，求江水的流速。设江水的流速为v千米/时，则可列方程为（　　　　）
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
3.两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲、乙两地相距7500m。第一组的步行速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早15min到达乙地。设第二组的步行速度为xkm/h，根据题意可列方程为　　。
4.甲、乙两人共同完成一项任务需要4天，如果由一人单独完成，那么甲需要的天数等于乙的2倍。如果设乙单独完成这项任务需要x天，那么x满足怎样的方程？
　　
　　
5.某部队要进行一次急行军训练，路程为32km。大部队先行，出发1h后，由特种兵组成的突击小队才出发，结果比大部队提前20min到达目的地。已知突击小队的行进速度是大部队的1.5倍，求大部队的行进速度。（只列方程）
　　
　　
　　
6.（应用意识）某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息。
信息一：按原来报名参加的人数，共需要320元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需要480元。
信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元。
根据以上信息，求原来报名参加活动的学生人数。（只列方程）
　　
　　
参考答案
【预习导航】
未知数
【归类探究】
【例1】 A
【例2】 1
【例3】 B
【当堂测评】
1.D　2.C　3.A
4.设快车的平均速度为xkm/h，则特快列车的平均速度为（x＋54）km/h。
根据题意，得＝。
【分层训练】
1.D　2.C　3.－＝
4.＋＝
5.设大部队的行进速度是xkm/h。
根据题意，得－＝。
6.设原来报名参加活动的学生有x人。
根据题意，得－＝4。第3课时　分式方程与实际问题
@预习导航
列分式方程解应用题的一般步骤
步　　骤：（1）审题，明确问题中已知量与未知量；（2）找等量关系；（3）设未知数；（4）列方程；（5）解方程；（6）检验作答。
注　　意：检验包括两个方面，一是检验根是否为原分式方程的根；二是检验根是否符合题意。
@归类探究
类型之一　销售问题
　某水果店老板用600元购进一批水果，很快售完；该老板又用1250元购进第二批水果，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元。第一批水果每件进价多少元？
类型之二　工程问题
　一项绿化工程由甲、乙两工程队负责。已知甲工程队单独完成这项工作需要120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合作，两队又共同工作了36天后完成该项工程。乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
类型之三　行程问题
　甲地至乙地的铁路里程为650km，从甲地乘“G”字头列车A，“D”字头列车B都可到达乙地。已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少2.5h。
（1）设A车的平均速度是xkm/h，根据题意，列分式方程；
（2）求A车的平均速度及行驶时间。
@当堂测评
1.一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为（　　）
A.5km/h B.6km/h
C.7km/h D.8km/h
2.[2024春·和平区期末]2024年6月2日沈阳和河半程马拉松比赛成功举行，各位跑友齐聚沈阳市和平区，以跑者之势再现运动之美。小阳参与“半程马拉松”（约21km）项目，前12km以原计划平均速度vkm/h完成，之后身体竞技状态下降，以0.75vkm/h的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划晚15min到达目的地，则小阳前12km的平均速度为（　　）
A.9km/h B.10km/h
C.12km/h D.21km/h
3.一项工程，甲单独做要6h才能完成，甲、乙合作要2h才能完成，那么乙单独做要h才能完成。
@分层训练
1.照相机成像应用了一个重要原理，可以用公式＝＋（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离。已知f，v，则u＝（　　）
A. B. C. D.
2.[2025·白山模拟]第九届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”。某商场销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品，若用1500元购买“滨滨”纪念品的数量比用1800元购买“妮妮”纪念品的数量多5个，且一个“妮妮”纪念品的价格是一个“滨滨”纪念品价格的1.5倍。求“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价。
3.[2025·沈阳期末]为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买一些跳绳和实心球。已知每根跳绳的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买跳绳的数量与360元购买实心球的数量相同。
（1）跳绳和实心球的单价各是多少元？
（2）如果本次购买的总费用不超过510元，且购买跳绳的数量是实心球数量的3倍，那么最多能购买多少根跳绳？
4.（模型观念、应用意识）在“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成。已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，若两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化，甲队比乙队少用6天。
（1）求甲、乙两工程队每天各自能完成的绿化面积；
（2）若甲队每天的工程费用是1.2万元，乙队每天的工程费用是0.5万元，要使这次绿化工程的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
参考答案
【归类探究】
【例1】 第一批水果每件进价为120元。
【例2】 乙工程队单独完成这项工作需要80天。
【例3】 （1）由题意，得－＝2.5。
（2）A车的平均速度是260km/h，行驶的时间是2.5h。
【当堂测评】
1.D　2.C　3.3
【分层训练】
1.C
2.“滨滨”纪念品的单价是60元，“妮妮”纪念品的单价是90元。
3.（1）跳绳的单价为7元，实心球的单价为30元。
（2）最多能购买30根跳绳。
4.（1）甲队每天能完成的绿化面积为100m2，乙队每天能完成的绿化面积为50m2。
（2）至少应安排乙工程队绿化32天。第2课时　解分式方程
@预习导航
1.解分式方程
基本思想：分式方程转化为整式方程。
主要方法：去分母。
步　　骤：（1）去分母（在方程两边都乘最简公分母，化为整式方程）；
（2）解这个整式方程，得出未知数的值；　　（3）检验所得到的值是否是原分式方程的根，并写出分式方程的根。
注　　意：检验是解分式方程中十分重要的一个过程，切不可省略。
2.增根及其产生的原因
增　　根：若分式方程去分母后的整式方程的根，使原分式方程中的分母为零，则称它为原方程的增根。
产生原因：在方程的两边都乘了一个使分母为零的整式。
注　　意：分式方程的增根必须舍去，解分式方程必须检验。
@归类探究
　　类型之一　解分式方程
　解下列分式方程：
（1）＝；
　　
　　
　　
　　
（2）＝；
　　
　　
　　
　　
（3）＋＝。
　　
　　
　　
　　
类型之二　根据分式方程的特殊解确定未知系数的取值范围
　已知关于x的分式方程－2＝的解为正数，则k的取值范围为（　　　　）
A.－2＜k＜0 　B.k＞－2且k≠－1
C.k＞－2 　D.k＜2且k≠1
类型之三　与分式方程增根有关的问题
　若关于x的分式方程＝＋2有增根，则m的值为　　。
@当堂测评
1.[2025·葫芦岛期末]解分式方程＝时，去分母后正确的是（　　　　）
A.2x＋3（x－3）＝0
B.3x＝2（x－3）
C.3x＋2（x－3）＝0
D.2x＝3（x－3）
2.[2025·阜新期末]若关于x的分式方程＋3＝的解为正数，则m的取值范围是（　　　　）
A.m＜3
B.m＞3
C.m＜3且m≠－1
D.m＞3且m≠－1
3.[2024·宜宾]分式方程－3＝0的解为　　。
@分层训练
1.小明解分式方程＝－1的过程如下：
解：去分母，得3＝2x－（3x＋3），①
去括号，得3＝2x－3x＋3，②
移项、合并同类项，得－x＝6，③
系数化为1，得x＝－6。④
以上步骤中，开始出错的一步是（　　　　）
A.① B.② C.③ D.④
2.[2024·沈阳期末]定义新运算：a#b＝。例如，2#3＝＝，则方程x#4＝的解为（　　　　）
A.x＝2 B.x＝3
C.x＝4 D.x＝6
3.[2024·北京]分式方程＋＝0的解为　　。
4.解分式方程：
（1）[2024·陕西]＋＝1；
　　
　　
　　
　　
　　
（2）＋＝4；
　　
　　
　　
（3）[2025·鞍山阶段练习]＋＝－1。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
5.[2024·齐齐哈尔]如果关于x的分式方程－＝0的解是负数，那么实数m的取值范围是（　　　　）
A.m＜1且m≠0 B.m＜1
C.m＞1 D.m＜1且m≠－1
6.[2024·遂宁]若分式方程＝1－的解为正数，则m的取值范围是（　　　　）
A.m＞－3
B.m＞－3且m≠－2
C.m＜3
D.m＜3且m≠－2
7.[2025·葫芦岛期末]已知关于x的分式方程＝＋2与＝的解相同，则m的值是　　。
8.[2024·达州]若关于x的分式方程－＝1无解，则k的值为　　。
9.[2024·重庆B卷]若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程－＝1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是　　。
　　
　　
10.（创新意识）（1）对于非零实数a，b，规定：a b＝－。若（2x－1） 2＝1，则x的值为　　。
（2）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，规定a b＝＋。若（x＋1） x＝，则x的值为　　。
参考答案
【归类探究】
【例1】 （1）x＝4是原方程的根。
（2）原方程无解。
（3）x＝3是原方程的根。
【例2】 B
【例3】 5
【当堂测评】
1.D　2.C　3.x＝2
【分层训练】
1.B　2.B　3.x＝－1
4.（1）分式方程的解是x＝－3。
（2）x＝1是原方程的根。
（3）原方程无解。
5.A　6.B　7.5　8.2或－1　9.12
10.（1）　（2）－

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