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第二十一章 四边形
八下数学 RJ
21.1.1 四边形及其内角和
21.1 四边形及多边形
1.了解四边形的概念及四边形的顶点、边、内角、外角与对角线，增强几何直观；
2.掌握四边形的内角和和外角和，了解四边形的不稳定性.
现实世界的很多物体中都有四边形的形象，例如，宏伟的建筑、一望无际的农田、开关自如的伸缩门、别具一格的窗棂.
与三角形一样，四边形也是一种基本的几何图形. 本节我们类比三角形，学习四边形的一些概念和性质，并把它们推广到多边形.
与三角形类似，如图，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点.
四边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”.
A
D
C
B
边
顶点
如图(1)，画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.而图(2)中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧.今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.
A
D
C
B
A
B
D
C
图(1) 图 (2)
连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.在图中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形 ABCD分为两个三角形.
A
D
C
B
与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角.
请你画出四边形ABCD顶点C，D处的外角.
A
D
C
B
思考 我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°.那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？
由于四边形的一条对角线将这个四边形分为两个三角形，所以四边形的有关问题就可以利用三角形的相关知识加以解决.下面按照上述思路解决这个问题.
C
A
B
D
如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.在△ABC中，由三角形内角和定理，得
∠1+∠B+∠3=180°.
同理∠2+∠4+∠D=180°.
由此可得
∠DAB+∠B+∠BCD+∠D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=(1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)
=180°+180°=360°.
即四边形的内角和等于360°
2
1
3
4
C
A
B
D
四边形的内角和等于360°.
例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？
分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°.根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和.
A
C
B
D
2
1
3
4
例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？
A
C
B
D
2
1
3
4
解：如图.
∵∠DAB与∠1是邻补角，
∴∠DAB+∠1=180°.
同理∠ABC+∠2=180°，
∠BCD+∠3=180°，
∠CDA+∠4=180°.
例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？
A
C
B
D
2
1
3
4
∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+∠BCD+∠3+∠CDA+∠4=720°.
而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
四边形的外角和等于360°
在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢？
探究 如图(1)，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图(2)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
图 （1） 图（2）
可以发现，四边形木架的形状会改变.因为四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性.
而再钉一根木条后，四边形木架变成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性、这时四边形木架的形状不会改变.
图 （1） 图（2）
在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图中的伸缩门、升降机等；有时又需要克服四边形的不稳定性，如图中在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等.
例2 2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（　　）
A.三角形的稳定性
B.四边形的不稳定性
C.三角形任意两边之和大于第三边
D.两点之间线段最短
B
1.求出下列图形中x的值.
解：(1)由140+90+2x=360，得x=65.
(2)由3x+4x+2x+3x=360，得x=30.
(3)由120+80+75+(180-x)=360，得x=95.
2.四边形ABCD中有一组对角互补，且∠A，∠B，∠C的度数之比为2:3:4，则∠D 的度数是______.
解析：∵ 四边形ABCD 中有一组对角互补，
∴ 另一组对角也互补，
∴ ∠A+∠C=∠B+∠D=180°.
设 ∠A,∠B,∠C 的度数分别为2x,3x,4x，
则 2x+4x=180°，
解得 x=30°，
∴∠B=3x=90°，
∴ ∠D=180° ∠B=90°.
90°
3.下列图形中哪些具有稳定性？
(1) (2) (3) (4) (5)
解：(1)(4)具有稳定性；
(2)(3)(5)不具有稳定性.
四边形及其内角和
相关概念
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点
内角和
四边形的内角和等于360°
外角和
四边形的外角和等于360°

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