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第二十一章 四边形
21.1.2 多边形及其内角和
21.1 四边形及多边形
八下数学 RJ
1.探索并掌握多边形内角和与外角和公式;
2.能运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，
提升推理能力.
多边形在生活中也很常见，观察下图中的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？
与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段 A A ，A A ，…，An-1An，AnA 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
边
顶点
对角线
内角
外角
与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段 A A ，A A ，…，An-1An，AnA 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
边
顶点
对角线
内角
说明 ：
n(n≥3)边形共有n条边，n个顶点，n个内角，2n个外角，从一个顶点处可以引(n-3)条对角线.
外角
多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似. 多边形有几条边就叫作几边形.
多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的六边形，记作“六边形ABCDEF”.
A
E
D
C
B
F
与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形.
我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等.像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.下图中是正多边形的一些例子.
正三角形 正方形 正五边形 正六边形
例1 下列图形中，一定是正多边形的是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.长方形
D.正方形
三条边不都相等，三个角不都相等.
三条边不一定都相等，三个角也不一定都相等.
四个角都相等，但四条边不一定都相等.
四条边都相等，四个角都相等.
D
探究 类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？
(1)从四边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将四边形分成______个三角形，四边形的内角和等于_____×180°；
(2)从五边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将五边形分成______个三角形，五边形的内角和等于_____×180°；
2
2
1
3
3
2
(3)从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将六边形分成______个三角形，六边形内角和等于_____×180°；
(4)从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将n边形分成______个三角形，n边形内角和等于_____×180°.
4
4
3
(n-2)
(n-3)
(n-2)
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法.可在多边形的内部或一边上任取一点，将该点与各顶点连接得到n个或(n-1)个三角形，由此可推导出多边形内角和公式.具体如下表
方法 图示
方法1： 如图所示，在n边形内任取一点P，连接 PA , PA , ..., PAn，把n边形分成n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角的度数，即得n边形的内角和为 n×180° - 360° = (n-2)×180°.
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法.可在多边形的内部或一边上任取一点，将该点与各顶点连接得到n个或(n-1)个三角形，由此可推导出多边形内角和公式.具体如下表
方法 图示
方法2：如图所示，在n边形的一边上任取一点P与各顶点相连，得(n-1)个三角形，n 边形内角和等于这 (n-1) 个三角形的内角和减去在点P处的一个平角的度数，即得n边形的内角和为 (n-1)×180° - 180° = (n-2)×180°.
这样就得出了多边形的内角和公式：
n边形的内角和等于(n-2)×180°.
例2 若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（ ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 150
解析：∵ 一个六边形的每个内角都是x°，
∴ 6×x°=(6 2)×180°，
解得 x=120.
C
跟踪训练 如图，在正六边形ABCDEF中，∠CAE的度数是_______．
60°
解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴每个内角为（6-2）×180°÷6=120°，
△ABC和△AFE为等腰三角形，
∴∠BAC=∠FAE==30°，
∴∠CAE=∠BAF-∠BAC-∠FAE
=120°-30°-30°=60°.
A
D
C
E
B
F
探究 与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角、它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度？请你说明理由.
与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此 n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于
n×180°-(n-2)×180°=360°.
这样就得出了多边形的外角和公式：
n边形的外角和等于360°.
也可以这样理解为什么多边形的外角和等于360°：如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点A,然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°
例3 一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形的边数为n.
因为它的内角和等于(n-2)×180°，外角和等于360°，所以
(n-2)×180°=2×360°.
解得 n=6.
因此这个多边形是六边形.
跟踪训练 图(1)是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图(2)是从图(1)冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的一个图形.已知∠3+∠4=180°，∠2=61°，∠5=52°，则∠1的度数为（ ）
A.57 B.66° C.63° D.67°
解析：∵多边形的外角和等于360°，
∴∠1+2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1=360°-∠2-∠3-∠4-∠5=67°.
D
图（ 1 ） 图（ 2 ）
1.求出下列图形中x的值：
x°
x°
x°
x°
x°
2x°
150°
120°
(1) (2) (3)
135°
150°
x°
AB//CD
B
A
C
D
E
解：(1)由2x+x+150+120+90=(5-2)×180，得x=60.
(2)由4x+90+90=(6-2)×180，得x=135.
(3)∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°.
由x+150+180+135=(5-2)×180，得x=75.
2.(1)一个多边形的内角和等于1 080°，这个多边形是几边形？
解：（1）设这个多边形的边数为 n，
则 (n-2)×180° = 1 080°，
得 n= 8，
所以这个多边形是八边形.
2.(2)一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是几边形？
解：（2）方法一：∵该多边形的每一个内角都等于 120°，
∴该多边形的每一个外角都等于 60°。
360° ÷ 60° = 6，
∴这个多边形是六边形.
方法二：设这个多边形的边数为 n，
则 (n-2)×180° = 120°×n，
解得 n= 6，
所以这个多边形是六边形.
2. (3)一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？
解：（3）∵该多边形的每一个外角都等于 72°，
360° ÷ 72° = 5，
∴这个多边形是五边形.
利用多边形的内角（和）、外角（和）求边数的方法
1.已知n边形的内角和（或已知正n边形的一个外角），可利用n边形的内角和公式（或利用n边形的外角和为360°）求边数；
2.已知正n边形的一个内角的度数为m,可通过列方程(n-2)·180°=mn求边数；
3.已知多边形内角和与外角和之间的数量关系，可列方程求边数.
3.参加科创兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转18°，再沿直线前进1米，又向左转18°……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是 （ ）
A.10米 B.18米 C.20米 D.36米
解析：由题意，得机器人走的路径是一个边长为1米，
每个外角都为18°的正多边形.
360°÷18°=20，20×1=20(米)，
∴机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是20米.
C
多边形及其内角和
相关
概念
与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段A A ，A A ，…，An-1An，AnA 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
内角和
公式
n边形的内角和等于(n-2)×180°
外角和
公式
多边形的外角和等于360°

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