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第二十一章 四边形
八下数学 RJ
21.3.2 菱形 第1课时
21.3 特殊的平行四边形
1.理解菱形的概念，知道菱形与平行四边形的区别与联系.
2.探索并证明菱形的性质定理.
3.会运用菱形的性质定理进行证明和计算，提升推理能力.
前面我们学习了矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形.
思考 如果从边的角度将平行四边形特殊化，让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢
一个角是直角
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
注意：
菱形是特殊的平行四边形,平行四边形不一定是菱形.
平行四边形
菱形
一组邻边相等
思考 菱形也是常见的几何图形，你还能举出一些例子吗？
类似于对矩形的研究，我们重点研究菱形的性质和判定.
思考 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，但由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
仍可以从边，角，对角线等方面来考虑.
(1) 测量菱形的四条边长度，你有什么猜想？
猜想1 菱形的四条边都相等.
活动 利用折纸、剪切的方法，剪出一个菱形的纸片. 在剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形（如图），并回答以下问题:
活动 利用折纸、剪切的方法，剪出一个菱形的纸片. 在剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形（如图），并回答以下问题:
(2) 测量菱形的对角线所成的角及每个顶点处被对角线所分成的两个角的度数，你有什么猜想？
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
每条对角线所在的直线
轴对称图形
对称性：_________________________
对称轴：_________________________
活动 利用折纸、剪切的方法，剪出一个菱形的纸片. 在剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形（如图），并回答以下问题:
(3) 菱形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴.
(4) 证明猜想1：菱形的四条边都相等.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
求证：AB = BC = CD =AD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC. (平行四边形的对边相等)
又∵AB=AD，(菱形的一组邻边相等)
∴AB = BC = CD =AD.
∴菱形的四条边都相等.
A
B
C
O
D
(5) 证明猜想2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平
分一组对角.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
求证：BD⊥AC，∠DAC=∠BAC= ∠ACD=∠ACB. ∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB.
证明:∵AB = AD，∴△ABD是等腰三角形.
在等腰三角形ABD中，∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
∴菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
A
B
C
O
D
(平行四边形的对角线互相平分)
(等腰三角形三线合一)
菱形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
1.边：菱形的四条边都相等.
2.对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.对称性：菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴.
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴BD⊥AC，∠DAC=∠BAC= ∠ACD=∠ACB. ∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB，
∴直线AC，BD是菱形ABCD的两条对称轴.
注意：
当 ∠ABC=∠ADC=60°时，△ABC与△ADC均为等边三角形.
B
A
D
O
C
例1 如图,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD相交于点 O,E是CD的中点,则OE的长是( )
A.2.5 B.3 C.4 D.5
解析：方法一：
对角线
互相垂直
四条边相等
E是CD的中点
直角三角形斜边上的中线的性质
菱形的性质
CD = = 5
Rt△COD
OE = CD = 2.5
A
例1 如图,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD相交于点 O,E是CD的中点,则OE的长是( )
A.2.5 B.3 C.4 D.5
A
解析：方法二：
对角线
互相平分
四条边相等
E是CD的中点
三角形中位线定理
菱形的性质
AD = = 5
OA=OC
OE = AD = 2.5
比较 平行四边形的对角线可以把平行四边形分成什么？菱形的对角线可以把菱形分成什么？
B
C
D
A
O
平行四边形一般只被分成两对全等的三角形，
菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.
B
A
D
O
C
思考 由菱形两条对角线的长，能求出它的面积吗？
分析：
已知菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.因此只须求出一个直角三角形的面积就能求得菱形的面积.
推导：S菱形ABCD= 4×S△ABO= 4×AO·BO
= ×2AO×2BO = AC·BD.
B
A
D
O
C
方法一：
∵菱形是特殊的平行四边形，
∴过点A作AE⊥BC于点E，S菱形ABCD= 底×高= BC·AE.
方法二：
∵菱形由两个全等的等腰三角形构成，且AC⊥BD，
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC = AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)= AC·BD.
思考 还有其它方法求菱形的面积吗？
B
A
D
O
C
E
菱形的面积公式
（1）菱形的面积=底高.
S菱形ABCD=BC·AE.
（2）菱形的面积=对角线长的乘积的一半.
S菱形ABCD = AC·BD.
例2 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD. 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
解：设AC，BD相交于点O.
∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC= ×60°=30°.
在Rt△ABO中，AO= AB= ×20=10，
BO===10.
A
C
B
D
O
例2 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD. 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
∴花坛的两条小路长
AC=2AO=20 m，
BD=2BO=20≈34.64(m).
花坛的面积
S菱形ABCD=4×S△ABO= 4×AO·BO=200≈346.4(m2).
A
C
B
D
O
跟踪训练 已知菱形的周长为，两条对角线的长度之和为6，则菱形的面积为 ( )
A.2 B. C.3 D.4
解析：如图 ，因为四边形 ABCD 是菱形，
所以 AB = = ，AC⊥BD，AO =AC，BO = BD.
因为 AC + BD = 6，所以 AO + BO = 3，
所以 (AO + BO) = 9，即 AO + 2AO·BO + BO = 9.
又因为在 △AOB 中，AO + BO = AB ，
所以 AO + BO = 5，
所以 2AO·BO = 4，
所以菱形的面积为AC·BD = 2AO·BO = 4.
D
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
C
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，△ABD的周长等于（ ）
A.18 B.16 C.15 D.14
B
B
A
D
O
C
解析：∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴BO=OD=3，AO=OC=4，
∴AB== =5，
∴△ABD的周长等于5+5+6=16.
3.四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，
AO=4. 求AC，BD的长以及菱形ABCD的面积.
解：在菱形ABCD中，
因为AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
所以BO===3，AC=2AO=2× 4=8，
所以BD=2BO=6.
所以S菱形ABCD=4×S△ABO= 4×AO·BO=24.
4.如图，在菱形ABCD中，BD=4，∠A:∠ABC= 1:2.
求△ABD的周长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A+∠ABC=180°，AB=AD.
∵∠A:∠ABC=1:2，∴∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴△ABD的周长为3×4=12.
B
A
D
C
5.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，连接对角线BD，E，F分别是边AB，BC的中点，分别连接DE，DF，EF.
求证：△DEF是等边三角形.
A
D
C
B
E
F
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC，∠C=∠A=60°，
∴△ADB≌△DBC（SAS）,△ADB，△DBC都是等边三角形，
∴∠ABD=∠CBD=60°.
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
5.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，连接对角线BD，E，F分别是边AB，BC的中点，分别连接DE，DF，EF.
求证：△DEF是等边三角形.
∴DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
∴∠EDB=∠FDB=30°，∴∠EDF=60°.
∵△DBE≌△DBF，
∴DE=DF，∴△DEF是等边三角形.
A
D
C
B
E
F
性质
四条边都相等
对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长的乘积的一半
是轴对称图形，有两条对称轴
菱形
定义
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形

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