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第二十一章 四边形
八下数学 RJ
21.3.3 正方形 第1课时
21.3 特殊的平行四边形
1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质定理，理解平行四边形、矩形、菱形之间的包含关系，体会平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系与区别.
3.会运用正方形的性质定理进行证明和计算，提升推理能力.
矩形是由平行四边形怎样变化得到？
菱形是由平行四边形怎样变化得到？
边的变化：
平行四边形
菱形
一组邻边相等
角的变化：
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
正方形怎么得到呢？
平行四边形
正方形
有一组邻边相等
有一个角是直角
定义：有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
矩形怎样变化后成了正方形呢
菱形怎样变化后成了正方形呢
一组邻边相等
矩形
菱形
有一个角
是直角
正方形
正方形
正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
探究 从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论.
边：对边__________，四条边__________.
角：四个角都是__________.
对角线：对角线_____________________，每条对角线平分一组对角.
对称性：正方形是轴对称图形，有___条对称轴.
平行
相等
直角
互相垂直平分且相等
四
已知：四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四条边相等，四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AD （正方形的定义）.
又∴正方形是平行四边形，
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°，AB= BC=CD=AD.
A
B
C
D
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD.
A
B
C
D
O
分类 性质 符号语言
边 对边平行， 四条边都相等. ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD∥BC，AB∥CD，AB = AD = CD = BC.
角 四个角都是直角. ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = ∠BAD = 90°
对 角 线 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角. ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC⊥BD，OA = OC = OB = OD，
∠BAC = ∠DAC = ∠ABD = ∠CBD = ∠BCA = ∠ACD = ∠CDB = ∠ADB = 45°.
分类 性质 符号语言
对 称 性 正方形是轴对称图形，有四条对称轴. 直线AC，BD，m，n均是正方形的对称轴.
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等
的等腰直角三角形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，
AO=BO=CO=DO.
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角正形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
求证：△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形.
A
B
C
D
O
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,∠BAD=∠B=∠D=90°.
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴∠BAE=∠DAF.
∵∠EAF=30°，∠BAD=90°，∴∠BAE=30°，∠AEB=60°.
跟踪训练 如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，
AE=AF，∠EAF=30°，则∠AEB=_____°；若△AEF的面积等于1，则AB的长是______.
60
解析：如图，过点E作EG⊥AF于点G.
∵∠EAF=30°,∴EG = AE.
∵△AEF的面积等于1，AE=AF,
∴AF·EG = AE2 =1，∴AE=2.
∵∠B=90°,∠BAE=30°,∴BE= AE=1，∴AB==.
跟踪训练 如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，
AE=AF，∠EAF=30°，则∠AEB=_____°；若△AEF的面积等于1，则AB的长是______.
60
已知面积，找底和高
G
思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.
平行四边形
矩形
菱形
正方形
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一个角是直角
(或对角线相等)
有一个角是直角
(或对角线相等)
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一组邻边相等，有一个角是直角（定义）
四边形的包含关系：
平行四边形、梯形是特殊的四边形，
矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，
其中正方形是特殊的矩形、菱形.
思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比
类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形
边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角
对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直
对称性 共性 轴对称图形 特性 2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴
1.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，
则∠EBC的度数是_______.
22.5°
A
D
B
C
O
E
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°.
∵E是对角线AC上一点，且AE=AB ，
∴∠ABE=∠AEB=67.5°.
∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠EBC=22.5°.
2.(1)把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，
为什么？
(2)如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？
提示：(1)由对称性和平行线的性质可得是菱形.又有一角是直角，因此是正方形.
(2)一块矩形木板，在其长边上截取短边长，再作平行于短边的直线即可.
3.如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A,B,C,D.李明和张华在
边AB上取了一点E，EC=30m，EB=10m，这块场地的面积和对角
线长分别是多少？
A
D
B
C
E
解：在Rt△BEC中，BC===20(m)，
故场地的面积为BC2=800 m2.
对角线长为==40 (m).
所以这块场地的面积为800m2，对角线长为40m.
4.如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A,B, C,D.要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在边AD，CD上，且DE=CF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
A
D
B
C
E
F
解：这两条路等长，即AF=BE，且AF⊥BE.
理由如下：设AF与BE交于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADF=90°.
又DE=CF，∴AE=DF,
P
4.如图，一个正方形草坪的四个顶，点分别是A,B, C,D.要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在边AD，CD上，且DE=CF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
A
D
B
C
E
F
∴△ABE≌△DAF(SAS)，
∴BE=AF，∠AEB=∠DFA，
∴∠DAF+∠AEB=∠DAF+∠DFA=90°，
∴∠APE=90°，即AF⊥BE.
P
性质
边：对边平行，四条边都相等
对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴
角：四个角都是直角
对角线：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
正方形
定义
有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.

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