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专题13 线段与角计算问题中涉及数学思想方法的四类综合题型
目录
类型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用
一、解题方法总结（2点）1.定范围，分情况：先明确线段上的动点、分点等关键元素的位置范围，再按“在线段上”“在线段延长线（正向/反向）上”两类核心情况拆分，避免漏解。2.设变量，列等式：设未知线段长度为未知数（如x），结合线段和差、中点性质等条件列方程，每类情况单独求解，最后验证结果是否符合所设范围。二、解题技巧总结（2点）1.画图辅助，直观分析：每类情况对应绘制简易线段图，标注已知长度和未知量，快速理清线段间的数量关系，减少逻辑混乱。2.检验结果，排除矛盾：求解后对照图形和题意，排除长度为负、位置与假设冲突的错误答案，确保每类解的合理性。
例1．（25-26七年级上·辽宁·期中）已知线段，点在直线上，且，当为线段的中点，则 ．
【变式1-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，点是线段的一个三等分点，点为线段的中点，若，则 ．
【变式1-2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端C，D分别落在点A，B上，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点D 所对应的数为，当的四等分点（不含中点）移动到点A 时，点 C 所对应的数为，则木棒的长度为 ．
【变式1-3】（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从到12）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是
类型二、分类讨论思想在角的计算中的应用
一、解题方法总结（2点）1.按位置分类，明确范围：根据角的平分线、射线等关键元素的位置，分“在角内部”“在角外部（两侧）”两类情况讨论，避免遗漏隐藏位置。2.用性质列方程，逐类求解：借助角的和差、角平分线定义等性质，设未知角度为x，针对每类情况列方程计算，确保逻辑清晰。二、解题技巧总结（2点）1.画图标注，简化关系：每类情况绘制角的示意图，标注已知角、未知角及关键线，直观梳理角度间的数量关系，降低思考难度。2.验证结果，排除错误：求解后对照图形和题意，排除角度为负、位置与假设矛盾的答案，保证解的合理性。
例2．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）水平直线上顺次三点、、，以点为顶点在直线上方作，、分别平分和，则的度数是 ．
【变式2-1】（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如图，已知为从顶点出发的射线，，且，射线平分．平面内有射线和射线，射线平分．若，则 ．
【变式2-2】（24-25七年级下·广东江门·期中）如图1，点、、依次在直线上．现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度转动．直线保持不动，如图2．设转动时间为秒．转动过程中，当时，t的值为 ．
【变式2-3】（24-25七年级上·全国·单元测试）某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O，在直线上，第一步，绕点O顺时针旋转度至；第二步，绕点O顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点O反方向旋转．当时，则等于 度．
类型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题
一、解题方法总结（2点）1. 整体思想：化零为整：将待求线段和差视为整体，不单独求各线段长度，利用已知条件中线段的和、差、倍、分关系，直接代入整体计算。2. 从特殊到一般：归纳规律：先取特殊值（如中点、等分点）或特殊位置，计算具体结果，再分析规律，推导出一般情况下线段和差的表达式。二、解题技巧总结（2点）1. 整体代换，简化运算：用字母表示整体线段，通过等式变形实现整体代换，避免复杂的分步计算，提高解题效率。2. 特例切入，突破难点：遇复杂线段和差问题，先找特殊情况入手，总结方法后迁移到一般情况，降低思维难度。
例3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）研究数学问题常常是从特殊走向一般．如图，点A、D、C、E、B在同一直线上，D是的中点，E是的中点．如果，那么是多少呢？
(1)若，点C是的中点，求的长；（请用几何符号语言规范地表达）
(2)若点C是线段上任意一点，那么如何用含a的代数式表示？（请用几何符号语言规范地表达）
【变式3-1】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）追本溯源：题（1）来自课本中的尝试·思考，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）在直线上顺次取三点，使得，．如果是线段的中点，那么线段和的长度分别是多少？
方法应用
（2）①已知是线段上一点，，，是的中点，则___________；
②如图，是线段上一点，是的中点，是的中点，，求的长．
【变式3-2】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段上，M、N分别是、的中点．若，，求的长．
（1）根据题意，小明求得__________；
（2）小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设，点C是线段上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下两个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，M、N分别是、的中点，求的长．
②如图2，M、N分别是，的一个三等分点，且，，则_______．
【变式3-3】（24-25七年级上·全国·期末）综合与探究：
问题情境：已知：，分别是线段，的中点．
初步探究：（1）如图（1），点在线段上，且，，求线段的长．
问题解决：（2）若为线段上任意一点，且，，求出线段的长（用含有，的代数式表示）．
类比应用：（3）若点在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长（用含有，的代数式表示）．
拓展延伸：（4）已知：如图（2），为线段的中点，为线段的中点，为线段上任意一点，为线段的中点，，，请你直接写出线段的长（用含有，的代数式表示）．
类型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题
一、解题方法总结（2点）1.整体思想：合并求解：将关联角的和或差视为一个整体，用字母表示（如设∠AOB+∠COD=α），避开单独求每个角，结合角的性质直接列等式计算。2.从特殊到一般：归纳规律：先取特殊条件（如角平分线、直角）简化运算，得出具体结果，再推广到一般情况，提炼通用解题模型。二、解题技巧总结（2点）1.聚焦不变角，简化运算：识别题目中度数不变的角组合，优先作为整体代入，减少未知量，快速突破解题瓶颈。2.分步推导，迁移方法：先解决特殊场景下的角和差，梳理思路后，逐步去除特殊条件，将方法迁移到一般情况，降低思维难度。
例3．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·实践探究
【从特殊到一般思想】如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起．
【计算与观察】
(1)若，则___________；若，则___________；
【猜想与证明】
(2)猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由；
【拓展与运用】
(3)若，求的度数．
【变式4-1】（24-25七年级上·广东河源·期末）【问题背景】
直线相交于点在的逆时针方向），的平分线在直线上．
(1)【数学理解】
如图1，平分．
①若，求的度数；
②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．
(2)【构建联系】
如图2，平分，若，求的度数（用含的代数式表示）．
(3)【总结应用】
若，请直接写出的度数．
【变式4-2】（24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师以直线上一点O为端点作射线，，，，使平分，平分，若，求的度数．

特例探究：
（1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图2，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点O处，即当时，则的度数为______；（直接写出答案，不写过程）
（2）受“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点O处，即当时，请你在图3中求的度数；
数学思考：
（3）请你在图1中，求的度数）（用含有的式子表示）．
【变式4-3】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）同一平面内，将三角板的直角顶点落在直线上，三角板可绕点顺时针旋转，射线平分，设（）．
【特例感知】
（）时，的度数为 ；
（）时，的度数为 ；
（）如图，时，的度数为 ．（用含的代数式表示）；
【深入探究】
（）如图，时，与之间有怎样的数量关系．
解∶因为，所以，
因为平分，所以∠，
请根据提示，接着完成探究过程∶ ．
【结论应用】
（）如图，同一平面内，将三角板的一条直角边放在直线上，将三角板绕直角顶点以每秒的速度逆时针旋转秒（），平分，平分，当旋转时间为多少秒时，．
一、单选题
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知线段，点C在直线AB上，且线段，则线段AC的长为（ ）
A．1 B．9 C．1或9 D．2或8
2．（24-25七年级上·辽宁·期末）已知线段，点是的三等分点，点是的中点，则的长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
3．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）已知，平分，，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）已知具有公共顶点O的与，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．或
5．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或 B．或或 C．或或 D．或或
二、填空题
6．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）线段，点C在直线上，且，点M为的中点，则的长为 ．
7．（24-25七年级上·江西赣州·期末）已知，是的平分线，，是的平分线，则的度数为 ．
8．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知直线上有、、三点，其中，，、分别是、的中点，则线段的长为 ．
9．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于 ．
10．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ．
三、解答题
11．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，点是线段上一点，，，点是的中点．
(1)求的长．
(2)已知点在线段上，且，求的长．
12．（2025七年级上·全国·专题练习）O是直线AC上一点．已知射线OB，OD是不与OC重合的两条射线，且射线OB，OD在直线AC的同一侧，与互为补角，OE平分．
(1)如下图，若，则的度数为________，的度数为________．
(2)若，求的度数．
13．（24-25七年级下·云南昆明·开学考试）如图，点C在线段上，点M、N分别是线段的中点．
(1)若，求线段的长度；
(2)若，其他条件不变，请猜想线段的长度，并说明理由；
14．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，C为线段上一点，B为线段的中点，且．
(1)图中共有 条线段；
(2)求线段的长；
(3)若点E在直线上，且，求线段的长．
15．（24-25七年级下·江西赣州·期末）【课本原型】
（1）如图（1），点、、在同一条直线上，射线和射线分别平分和．则______°．
【拓展与延伸】
（2）如图（2），点、、不在同一条直线上，射线和射线分别平分和．
①若，求的度数；
②若，则的度数为______．
16．（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图，点在线段上，点，分别是，的中点．
(1)若，求线段的长；
(2)在其他条件不变前提下，若点为线段上任意一点（不与点重合），且满足，猜想线段的长．请直接写出结论，不必说明理由．
(3)若点在线段的延长线上（不与点重合），且满足，点，分别是，的中点，猜想线段的长．请画出图形，写出你猜想的结论，并说明理由．
17．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师以直线上一点O为端点作射线，，，，使平分，平分，若，求的度数．

特例探究：
（1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图2，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点O处，即当时，则的度数为______；（直接写出答案，不写过程）
（2）受“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点O处，即当时，请你在图3中求的度数；
数学思考：
（3）请你在图1中，求的度数）（用含有的式子表示）．
18．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）【新知理解】
如图①，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．
（1）下列说法正确的有 ．
①若点C是线段的中点，则点C是的巧点；
②若点D在线段上，且，则点D是的巧点．
（2）已知点C，D都是线段的巧点，且点C是线段的中点，，，求线段的长；
【解决问题】
（3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？请你说明理由．
19．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【实验操作】
如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中．
（1） 填空： ；
（2）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒．
①当时， ；
②当t为何值时，？
【拓展延伸】
（3）如图③，在（2）的条件下，若平分，平分．请问在三角板旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数．
20．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图1，已知射线，，，．
(1)若，是的平分线，是的平分线，则___________．
(2)若，，分别是和的平分线，，求的度数．
(3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”．
①若平分，且为的“分余线”，则___________；
②如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数．
答案解析
类型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用
一、解题方法总结（2点）1.定范围，分情况：先明确线段上的动点、分点等关键元素的位置范围，再按“在线段上”“在线段延长线（正向/反向）上”两类核心情况拆分，避免漏解。2.设变量，列等式：设未知线段长度为未知数（如x），结合线段和差、中点性质等条件列方程，每类情况单独求解，最后验证结果是否符合所设范围。二、解题技巧总结（2点）1.画图辅助，直观分析：每类情况对应绘制简易线段图，标注已知长度和未知量，快速理清线段间的数量关系，减少逻辑混乱。2.检验结果，排除矛盾：求解后对照图形和题意，排除长度为负、位置与假设冲突的错误答案，确保每类解的合理性。
例1．（25-26七年级上·辽宁·期中）已知线段，点在直线上，且，当为线段的中点，则 ．
【答案】2.5或5.5
【分析】本题主要考查两点间的距离的知识点，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
分类讨论：点在线段上，点在线段的延长线上两种情况讨论，根据线段中点的定义和线段的和差计算的长度．
【详解】解：当点在线段上时，，为的中点，
故，；
当点在线段的延长线上时，，为的中点，
故，．
故答案为：2.5或5.5．
【变式1-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，点是线段的一个三等分点，点为线段的中点，若，则 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了线段的中点和三等分点的性质，熟练掌握分情况讨论点的位置是解题的关键．
分点靠近点和靠近点两种情况，利用线段中点和三等分点的性质求解的长度．
【详解】解：情况一：当点靠近点时，
∵点为线段的中点，，
∴．
又∵点是线段的一个三等分点，
∴．
情况二：当点靠近点时，
∵点为线段的中点，，
∴．
又∵点是线段的一个三等分点，
∴．
故答案为：9或18．
【变式1-2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端C，D分别落在点A，B上，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点D 所对应的数为，当的四等分点（不含中点）移动到点A 时，点 C 所对应的数为，则木棒的长度为 ．
【答案】4或
【分析】本题考查了数轴上的点坐标、线段的中点与四等分点的性质，以及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的位置关系与线段分割比例，以及通过建立方程求解几何问题是解题的关键．根据木棒移动时中点或四等分点与特定点重合的条件，设木棒长度为，利用长度建立方程，分两种情况讨论求解．
【详解】
解：如解图，设，
由题意可知，，
如解图①，当的左四等分点移动到点A时，此时，
∵点对应的数为，点对应的数为，
∴，解得，
∴；
如解图②，当的右四等分点移动到点A 时，此时，
∵点对应的数为，点对应的数为，
∴，解得，
∴．
综上所述，木棒的长度为4或．
【变式1-3】（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从到12）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是
【答案】2或4或6
【分析】本题考查了数轴、线段的和差、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，根据题意列出方程，求出，得到三条线段的长分别是4，4，8，再分3种情况讨论：①；②；③，画出示意图，利用线段的和差即可求解．
【详解】解：∵这三条线段的长度之比为，
∴设三条线段的长分别是，，，
由题意得，，
解得，
∴三条线段的长分别是4，4，8，
①当时，
则折痕处对应的点所表示的数是；
②当时，
则折痕处对应的点所表示的数是；
③当时，
则折痕处对应的点所表示的数是；
∴综上所述，折痕处对应的点所表示的数可能是2或4或6．
故答案为：2或4或6．
类型二、分类讨论思想在角的计算中的应用
一、解题方法总结（2点）1.按位置分类，明确范围：根据角的平分线、射线等关键元素的位置，分“在角内部”“在角外部（两侧）”两类情况讨论，避免遗漏隐藏位置。2.用性质列方程，逐类求解：借助角的和差、角平分线定义等性质，设未知角度为x，针对每类情况列方程计算，确保逻辑清晰。二、解题技巧总结（2点）1.画图标注，简化关系：每类情况绘制角的示意图，标注已知角、未知角及关键线，直观梳理角度间的数量关系，降低思考难度。2.验证结果，排除错误：求解后对照图形和题意，排除角度为负、位置与假设矛盾的答案，保证解的合理性。
例2．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）水平直线上顺次三点、、，以点为顶点在直线上方作，、分别平分和，则的度数是 ．
【答案】120°或60°
【分析】本题考查了角的和与差，解决本题的关键是根据的位置分两种情况考虑，情况一、当在左边时，根据求解即可；情况二、当在右边时，根据求解即可．
【详解】解：如下图所示，
，，
，
、分别平分和，
，，
，
；
如下图所示，
，，
，
、分别平分和，
，，
，
；
综上所述，的度数是或.
故答案为：或.
【变式2-1】（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如图，已知为从顶点出发的射线，，且，射线平分．平面内有射线和射线，射线平分．若，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查了角的计算及角平分线，根据且，可得，根据角的和差关系可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，然后分在的内部和外部两种情况解答即可．
【详解】解：∵且，
∴，
∴，
∵射线平分，
∴，
当在的内部时，如图，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴；
当在的外部时，如图，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴．
综上所述，或．
故答案为：或．
【变式2-2】（24-25七年级下·广东江门·期中）如图1，点、、依次在直线上．现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度转动．直线保持不动，如图2．设转动时间为秒．转动过程中，当时，t的值为 ．
【答案】10或26/26或10
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算等知识， 分两种情况讨论：①当在左侧时②当在右侧时，分别求解，即可得到的值．
【详解】解：由题意可知，，
①如图，当在左侧时，此时，
∴，
解得：，
②如图，当在右侧时，此时
∴，
解得：．
综上所述，当时，或26．
故答案为：10或26．
【变式2-3】（24-25七年级上·全国·单元测试）某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O，在直线上，第一步，绕点O顺时针旋转度至；第二步，绕点O顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点O反方向旋转．当时，则等于 度．
【答案】5或25
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平角的定义，角度的和差关系，解题的关键是理解题意，掌握角度的规律探索，注意运用分类讨论的思想进行分析．
根据题意，由旋转的性质和角度的变化规律，可对射线进行讨论分析：①未反弹；②反弹后落在之间；③反弹后落在之间；④反弹后落在之间；分别求出每一种情况的答案，并结合实际情况，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，可对射线进行讨论分析：
①未反弹时，如图：
∵，
∴，
∴；
此时，满足题意；
②反弹后落在之间，如图：
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
，
此时，不符合题意，舍去；
③反弹后落在之间，如图：
∴，，
∴，
∴，
，
，
此时，成立；
④反弹后落在之间，如图：
∴，，
∴，
∴，
∴，不合题意舍去；
综上所述，等于或．
故答案为：或．
类型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题
一、解题方法总结（2点）1. 整体思想：化零为整：将待求线段和差视为整体，不单独求各线段长度，利用已知条件中线段的和、差、倍、分关系，直接代入整体计算。2. 从特殊到一般：归纳规律：先取特殊值（如中点、等分点）或特殊位置，计算具体结果，再分析规律，推导出一般情况下线段和差的表达式。二、解题技巧总结（2点）1. 整体代换，简化运算：用字母表示整体线段，通过等式变形实现整体代换，避免复杂的分步计算，提高解题效率。2. 特例切入，突破难点：遇复杂线段和差问题，先找特殊情况入手，总结方法后迁移到一般情况，降低思维难度。
例3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）研究数学问题常常是从特殊走向一般．如图，点A、D、C、E、B在同一直线上，D是的中点，E是的中点．如果，那么是多少呢？
(1)若，点C是的中点，求的长；（请用几何符号语言规范地表达）
(2)若点C是线段上任意一点，那么如何用含a的代数式表示？（请用几何符号语言规范地表达）
【答案】(1)10
(2)
【分析】本题考查了线段中点、线段的和差，掌握线段中点的定义以及线段和差关系是解题的关键．
（1）根据线段中点的定义依次求出，，，的长度，然后根据线段的和差关系求解即可；
（2）类似（1）求解即可．
【详解】（1）解：是的中点，，
，
是的中点，
，
是的中点，
，
；
（2）解：是的中点，
，
是的中点，
，
．
【变式3-1】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）追本溯源：题（1）来自课本中的尝试·思考，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）在直线上顺次取三点，使得，．如果是线段的中点，那么线段和的长度分别是多少？
方法应用
（2）①已知是线段上一点，，，是的中点，则___________；
②如图，是线段上一点，是的中点，是的中点，，求的长．
【答案】（1），；（2）2；（3）
【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差．
（1）根据线段的和差得出，再求出，即可得解；
（2）①先求出线段的长，再根据线段中点计算即可得解；
②由线段的中点可得，再由线段的和差计算即可得解．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴；
（2）①∵，，
∴，
∵是的中点，
∴；
故答案为：2；
②∵是的中点，是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式3-2】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段上，M、N分别是、的中点．若，，求的长．
（1）根据题意，小明求得__________；
（2）小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设，点C是线段上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下两个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，M、N分别是、的中点，求的长．
②如图2，M、N分别是，的一个三等分点，且，，则_______．
【答案】（1）6；（2）①；②
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算：
（1）先求出，再根据线段中点的定义得到，则；
（2）①根据线段中点的定义得到，则；②先求出，则．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵M、N分别是、的中点，
∴，
∴，
故答案为；6；
（2）①∵M、N分别是、的中点，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式3-3】（24-25七年级上·全国·期末）综合与探究：
问题情境：已知：，分别是线段，的中点．
初步探究：（1）如图（1），点在线段上，且，，求线段的长．
问题解决：（2）若为线段上任意一点，且，，求出线段的长（用含有，的代数式表示）．
类比应用：（3）若点在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长（用含有，的代数式表示）．
拓展延伸：（4）已知：如图（2），为线段的中点，为线段的中点，为线段上任意一点，为线段的中点，，，请你直接写出线段的长（用含有，的代数式表示）．
【答案】（1）；（2）；（3），图见解析；（4）
【分析】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．在不同的情况下，灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
（1）根据点、分别是、的中点，先求出、的长度，再利用即可求出的长度；
（2）当为线段上一点，且、分别是、的中点，可表示线段、的长度，再利用，则存在；
（3）点在的延长线上时，根据、分别是、中点，即可求出的长度；
（4）根据，，得，根据中点的性质得，所以．
【详解】解：，点是的中点，
，
，点是的中点，
，
，
线段的长度为；
，
点，分别是线段，的中点．
，，
；
当点在线段的延长线时，如图：
得：；
为线段的中点，为线段的中点，，
∴，，
∵，
∴，
，
，
∴，
即．
类型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题
一、解题方法总结（2点）1.整体思想：合并求解：将关联角的和或差视为一个整体，用字母表示（如设∠AOB+∠COD=α），避开单独求每个角，结合角的性质直接列等式计算。2.从特殊到一般：归纳规律：先取特殊条件（如角平分线、直角）简化运算，得出具体结果，再推广到一般情况，提炼通用解题模型。二、解题技巧总结（2点）1.聚焦不变角，简化运算：识别题目中度数不变的角组合，优先作为整体代入，减少未知量，快速突破解题瓶颈。2.分步推导，迁移方法：先解决特殊场景下的角和差，梳理思路后，逐步去除特殊条件，将方法迁移到一般情况，降低思维难度。
例3．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·实践探究
【从特殊到一般思想】如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起．
【计算与观察】
(1)若，则___________；若，则___________；
【猜想与证明】
(2)猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由；
【拓展与运用】
(3)若，求的度数．
【答案】(1)，
(2)与互补，见解析
(3)
【分析】本题主要考查了余角和补角、角的和差定义等知识点，灵活运用所学知识解决问题成为解题的关键．
（1）根据角的和差定义计算即可；
（2）利用角的和差定义计算即可；
（3）利用（2）的结论计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
，
．
，，
，
．
故答案为：，．
（2）解：与互补．理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
∴与互补．
（3）解：∵，
∴，，
∵，
∴，解得．
【变式4-1】（24-25七年级上·广东河源·期末）【问题背景】
直线相交于点在的逆时针方向），的平分线在直线上．
(1)【数学理解】
如图1，平分．
①若，求的度数；
②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．
(2)【构建联系】
如图2，平分，若，求的度数（用含的代数式表示）．
(3)【总结应用】
若，请直接写出的度数．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)或
【分析】（1）①先根据平角定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后利用对顶角相等得到，另一方面利用余角的定义求出，最后利用角的和差求解即可；②同①思路一致；
（2）先利用平角和余角分别求出和，再利用角平分线的定义求出，最后利用角的和差求解即可；
（3）从种情况，①当在外时，②当在内时，分别由（1）（2）结论求解即可．
【详解】（1）解：①，
，
平分，
，
，
，
，
；
②，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，，
平分，
，
；
（3）解：①当在外时，如图1，
设，
由（1）知；
∵，
∴，
∴，
∴；
②当在内时，如图2，
由（2）可知，
，
，，
．
综上，的度数为或．
【变式4-2】（24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师以直线上一点O为端点作射线，，，，使平分，平分，若，求的度数．

特例探究：
（1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图2，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点O处，即当时，则的度数为______；（直接写出答案，不写过程）
（2）受“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点O处，即当时，请你在图3中求的度数；
数学思考：
（3）请你在图1中，求的度数）（用含有的式子表示）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）求得，利用角平分线的定义得，据此求解即可；
（2）求得，利用角平分线的定义得，据此求解即可；
（3）求得，利用角平分线的定义得求解即可．
【详解】解：（1）因为，所以，
因为平分，平分，
所以，，
所以
；
故答案为：；
（2）因为，所以，
因为平分，ON平分，
所以，，
所以
；
（3）因为，所以，
因为平分，平分，
所以，，
所以
．
【点睛】本题考查角度计算，涉及角平分线的定义，解题的关键是根据题意得到．
【变式4-3】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）同一平面内，将三角板的直角顶点落在直线上，三角板可绕点顺时针旋转，射线平分，设（）．
【特例感知】
（）时，的度数为 ；
（）时，的度数为 ；
（）如图，时，的度数为 ．（用含的代数式表示）；
【深入探究】
（）如图，时，与之间有怎样的数量关系．
解∶因为，所以，
因为平分，所以∠，
请根据提示，接着完成探究过程∶ ．
【结论应用】
（）如图，同一平面内，将三角板的一条直角边放在直线上，将三角板绕直角顶点以每秒的速度逆时针旋转秒（），平分，平分，当旋转时间为多少秒时，．
【答案】（）；（）；（）；（），补充见解析；（）
【分析】（）平角定义得，进而由角平分线的定义得，再由平角定义得，最后根据角的和差关系即可求解；
（）由角的和差可得，进而由角平分线的定义得，最后根据平角定义即可求解；
（）同理（）解答即可求解；
（）根据题意完成解答过程即可；
（）由题意得，进而由特例感知可得，又由角平分线的定义得，即得，最后根据列出方程即可求解；
本题考查了角平分线的定义，角的和差，一元一次方程的应用，正确识图是解题的关键．
【详解】解：（）∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（）∵，，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴，
故答案为：；
（）∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（）因为，
所以，
因为平分，
所以∠，
因为，
所以，
所以；
（）由题意得，，
又由特例感知可得，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
一、单选题
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知线段，点C在直线AB上，且线段，则线段AC的长为（ ）
A．1 B．9 C．1或9 D．2或8
【答案】C
【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
分类讨论：在线段上，在线段的延长线上，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：当在线段上时，；
当在线段的延长线上时，．
综上所述：的长度为或．
故选：C．
2．（24-25七年级上·辽宁·期末）已知线段，点是的三等分点，点是的中点，则的长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了两点间距离，解决问题的关键是分类讨论，画出相应的图形进行计算．分两种情况进行讨论，分别依据点是线段的三等分点，点是线段的中点，即可得到线段的长．
【详解】解：如图，当时，
∵点是的中点，
∴的长为
如图，当时，
∵点是的中点，
∴的长为
故选：B．
3．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）已知，平分，，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】此题考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算． 熟练掌握角平分线的定义，角的和差倍分关系，根据题意画出图形，分类讨论，是解题的关键．
分两种情况进行讨论，①在的外部，②在的内部，继而根据角平分线的定义分别运算即可得出答案．
【详解】解：∵，平分，
∴，
当在的外部时，如图所示：
∵，
∴；
当在的内部时，如图所示：
；
∴C正确．
故选：C．
4．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）已知具有公共顶点O的与，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了角的计算，借助图形分析是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．分两种情况，射线在内，射线在外．
【详解】解：分两种情况：
当射线在内，如图：
，
，
；
当射线在外，如图：
，
，
；
综上所述：的度数为或．
故选：D
5．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或 B．或或 C．或或 D．或或
【答案】C
【分析】分四种情况，分别计算，即可求解．
【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
综上，为或或，
故选：C．
【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
二、填空题
6．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）线段，点C在直线上，且，点M为的中点，则的长为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算．分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别画出图形，讨论求解即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
①如图1所示：点C在线段的延长线上，
∵，，
∴，则，
∴，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
∴；
②如图2，点C在线段上，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵为BC中点，
∴，
∴，
综上可知：的长为：或，
故答案为：或
7．（24-25七年级上·江西赣州·期末）已知，是的平分线，，是的平分线，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，先根据角平分线的定义得出，，再分当在内部时，当在外部时两种情况，结合角平分线定义及各角之间的数量关系得出答案，弄清各角之间的数量关系是解题的关键．
【详解】解：当在内部时，如图，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∴，
当在外部时，如图，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∴，
故答案为：或．
8．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知直线上有、、三点，其中，，、分别是、的中点，则线段的长为 ．
【答案】8或2
【分析】本题考查了两点间的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解题的关键．分类讨论：当点C在线段的延长线上时，当点C在线段之间时，利用线段的中点公式及两点的距离公式即可求解．
【详解】解：当点C在线段的延长线上时，如图：
，且M、N分别是的中点，
，
，
当点C在线段之间时，如图：
，且M、N分别是的中点，
，
综上所述，的长是8或2，
故答案为：8或2．
9．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了角的和差计算，理解图示，掌握角的三等分线的定义，角和差计算方法是解题的关键．
根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解．
【详解】解：∵，是的三等分线，
∴每一份是，
如图所示，，
∴；
如图所示，，
∴；
如图所示，，
∴，
∴；
如图所示，，
∴，
∴；
故答案为：或或 ．
10．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段规律性问题，线段中点的有关计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果．
【详解】解：是和的中点，
，
是和的中点，
，
是和的中点，
，
，
发现规律：，
当时，，
故答案为：．
三、解答题
11．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，点是线段上一点，，，点是的中点．
(1)求的长．
(2)已知点在线段上，且，求的长．
【答案】(1)
(2)的长为或
【分析】本题考查了线段的和差、与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意可得，由线段的中点得出，再由计算即可得解；
（2）由题意可得，再分两种情况：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别计算即可得解．
【详解】（1）解：∵点是线段上一点，，，
∴，
∵点是的中点
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵点在线段上，
∴当点在点左侧时，，
当点在点右侧时，，
综上所述，的长为或．
12．（2025七年级上·全国·专题练习）O是直线AC上一点．已知射线OB，OD是不与OC重合的两条射线，且射线OB，OD在直线AC的同一侧，与互为补角，OE平分．
(1)如下图，若，则的度数为________，的度数为________．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）用互补算出，通过平分求得，然后用减法计算即可；
（2）分情况讨论，在的内部和外部两种情况，根据（1）的方法计算即可．
【详解】（1）解：∵与互为补角，
∴．
∵平分
∴，
．
故答案为：，；
（2）解：设，则．
因为OE平分，
所以．
分以下两种情况讨论：
①当射线OE在的外部时（如图①），
．
因为，
所以，
解得，即；
②当射线OE在的内部时（如图②），
．
因为，
所以，解得，即．
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题考查的是余角、补角和角平分线，解题的关键是掌握余角、补角和角平分线之间两角的数量关系．
13．（24-25七年级下·云南昆明·开学考试）如图，点C在线段上，点M、N分别是线段的中点．
(1)若，求线段的长度；
(2)若，其他条件不变，请猜想线段的长度，并说明理由；
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查的是线段的和差，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．
（1）由中点的性质得，，根据可得答案；
（2）由中点的性质得，，根据可得答案．
【详解】（1）解：，
，
点，分别是，的中点，
，，
；
（2）解：，理由如下：
、分别是、的中点，
，，
，
．
14．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，C为线段上一点，B为线段的中点，且．
(1)图中共有 条线段；
(2)求线段的长；
(3)若点E在直线上，且，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了线段两点间的距离，线段中点的有关计算，直线、射线、线段，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据图形，即可解答；
（2）先利用线段中点的定义可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（3）分两种情况：当点E在线段的延长线上时；当点E在线段上时；然后分别进行计算即可解答．
【详解】（1）解：图中共有6条线段，分别是：，
故答案为：6；
（2）点B为的中点，，
，
，
，
的长为；
（3）分两种情况：
当点E在线段的延长线上时，如图：
，
；
当点E在线段上时，如图：
，
；
综上所述：的长为或．
15．（24-25七年级下·江西赣州·期末）【课本原型】
（1）如图（1），点、、在同一条直线上，射线和射线分别平分和．则______°．
【拓展与延伸】
（2）如图（2），点、、不在同一条直线上，射线和射线分别平分和．
①若，求的度数；
②若，则的度数为______．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】本题考查了角平分线的定义．
（1）根据角平分线的定义及角的和差即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义及角的和差得到与的数量关系，即可得出①②答案
【详解】（1）解： 射线和射线分别平分和
，
故答案为：；
（2）射线和射线分别平分和
，
①若，则；
②若，则，
故答案为：．
16．（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图，点在线段上，点，分别是，的中点．
(1)若，求线段的长；
(2)在其他条件不变前提下，若点为线段上任意一点（不与点重合），且满足，猜想线段的长．请直接写出结论，不必说明理由．
(3)若点在线段的延长线上（不与点重合），且满足，点，分别是，的中点，猜想线段的长．请画出图形，写出你猜想的结论，并说明理由．
【答案】(1)13
(2)
(3)，图及理由见解析
【分析】本题考查了线段中点的有关计算；
（1）由线段的中点得，，由线段的和差得，即可求解；
（2）由线段的中点得，，由线段的和差得，即可求解；
（3）由线段的中点得，，由线段的和差得，即可求解；
能熟练利用线段的中点及线段的和差进行求解是解题的关键．
【详解】（1）解：点，分别是，的中点，
，
，
；
（2）解：；
理由如下：
点，分别是，的中点，
，
，
；
（3）解：如图，
；
理由如下：
点，分别是，的中点，
，
，
．
17．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师以直线上一点O为端点作射线，，，，使平分，平分，若，求的度数．

特例探究：
（1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图2，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点O处，即当时，则的度数为______；（直接写出答案，不写过程）
（2）受“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点O处，即当时，请你在图3中求的度数；
数学思考：
（3）请你在图1中，求的度数）（用含有的式子表示）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）求得，利用角平分线的定义得，据此求解即可；
（2）求得，利用角平分线的定义得，据此求解即可；
（3）求得，利用角平分线的定义得求解即可．
【详解】解：（1）因为，所以，
因为平分，平分，
所以，，
所以
；
故答案为：；
（2）因为，所以，
因为平分，ON平分，
所以，，
所以
；
（3）因为，所以，
因为平分，平分，
所以，，
所以
．
【点睛】本题考查角度计算，涉及角平分线的定义，解题的关键是根据题意得到．
18．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）【新知理解】
如图①，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．
（1）下列说法正确的有 ．
①若点C是线段的中点，则点C是的巧点；
②若点D在线段上，且，则点D是的巧点．
（2）已知点C，D都是线段的巧点，且点C是线段的中点，，，求线段的长；
【解决问题】
（3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？请你说明理由．
【答案】（1）①②；（2）；（3）当t为，3，， ，s时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点
【分析】本题主要考查了新定义、线段的和差、一元一次方程的应用等知识点，正确理解“巧点”的定义是题的关键．
（1）根据“巧点”的定义判断即可；
（2）由题意得，故有；
（3）用t表示线段长，分类讨论哪一个点事巧点，再利用“巧点”的定义列方程求解即可．
【详解】解：①∵点C是线段的中点，
∴，
∴点C是的巧点，①正确；
②∵点D在线段上，且，
∴，
∴点D是的巧点，②正确．
故答案为：①②．
（2）∵，点C是线段的中点，
∴
∵
∴
∴，
∴线段的长为．
（3）t秒后，，
①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除．
②当P为A、Q的巧点时，
Ⅰ．，即，解得；
Ⅱ．，即，解得；
Ⅲ．，即，解得；
③当Q为A、P的巧点时，
Ⅰ．，即，解得（舍去）；
Ⅱ．，即，解得；．
Ⅲ．，即，解得．
综上所述，当t为，3，，，时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点．
19．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【实验操作】
如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中．
（1） 填空： ；
（2）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒．
①当时， ；
②当t为何值时，？
【拓展延伸】
（3）如图③，在（2）的条件下，若平分，平分．请问在三角板旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数．
【答案】（1）75；（2）①；②；（3）不变，
【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数．
（1）把，，代入计算即得；（2）①把代入计算即得答案；②由，得，解方程即得；
（3）根据角平分线定义得，，代入计算即得
【详解】解：（1）∵，，
∴；
故答案为：75；
（2）①当时，，
故答案为：69；
②由题意得，，则，
∴
∵，
∴，
解得，
∴当t为时，；
（3）的度数不会发生变化，理由如下：
∵平分，平分，
∴，
，
∴
，
∴的度数不会发生变化，它的度数为．
20．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图1，已知射线，，，．
(1)若，是的平分线，是的平分线，则___________．
(2)若，，分别是和的平分线，，求的度数．
(3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”．
①若平分，且为的“分余线”，则___________；
②如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数．
【答案】(1)75
(2)
(3)①60；②或
【分析】本题考查了角平分线定义，互为余角的概念，角的和差计算，以及新定义的“分余线”的应用，熟练掌握相关知识，对新定义的理解和正确应用是解题的关键．
（1）利用角平分线的定义与角的和差进行计算；
（2）设，可得则，，，利用角平分线的定义和列方程求解；
（3）①根据新定义，结合角平分线的定义求解；②设，根据角平分线的定义和 为的“分余线”，列方程求解．
【详解】（1）是的平分线，，
，
是的平分线，
，
．
（2）如图1，
设，则，
若，则，，，
是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
，解得，
．
（3）①平分，
，
为的“分余线”，
或，
又，
，
解得．
②设，则，
在的内部作射线，使，
，
为的平分线，
，
，
当为的“分余线”时，或，
或，
解得或，
或．
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