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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第三章 函数
3.4二次函数应用及综合问题
二次函数应用及综合问题 二次函数与一元二次方程的关系 Δ=b2-4ac ax2+bx+c=0的根 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点
Δ>0 两个不相等的实数根 两个交点
Δ=0 两个相等的实数根 一个交点
Δ<0 无实数根 无交点
（1）抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. （2）若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=.
二次函数与不等式的关系 b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象
与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点
ax2＋bx＋c>0 的解集情况 xx2 x≠ 取任意实数
ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1二次函数的实际应用 在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．考察背景主要有：经济问题；物体运动轨迹问题；拱桥问题等
【题型一】二次函数与方程（组）
【例1.1】（2025 盘锦二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
【例1.2】（2025 中牟县模拟）若方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝1
【例1.3】（2025 嘉兴二模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象交x轴于点（x1，0），（x2，0），x1＜x2，且其对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求b的值．
（2）若x2﹣x1＝3，求二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的最小值．
（3）若8＜﹣＜12，求c的取值范围．
【例1.4】（2025 普陀区三模）已知二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m+2），回答下列问题：
（1）若该函数图象经过点（2，﹣1）．
①求该函数图象与x轴的交点坐标；
②点A（﹣1，1）向上平移2个单位长度，向右平移K（K＞0）个单位长度后，落在二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m+2）图象上，求K的值．
（2）若该函数图象经过点（2m﹣1，a）与点（3m﹣4，b），且与x轴的两个交点到点（1，0）的距离均小于2，求证：b＜a．
【题型二】二次函数与不等式（组）
【例2.1】（2025 铁岭模拟）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 　 　 ．
【例2.2】（2024 拱墅区一模）设二次函数y＝ax2+c（a，c为实数，a≠0，c＞0）的图象过点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），（4，y4），（　　）
A．若y1y4＞0，y2+y3＞0，则a＞0 B．若y1y4＞0，y2+y3＜0，则a＞0
C．若y1y4＜0，y2+y3＞0，则a＜0 D．若y1y4＜0，y2+y3＜0，则a＜0
【例2.3】（2025 衢州三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0），抛物线顶点的纵坐标为﹣4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若将抛物线向右平移b（b＞0）个单位长度后，图象恰好经过点（5，﹣3），求b的值．
（3）只取抛物线在0≤x≤4间的部分记为G，将G在直线y＝t上方的部分沿y＝t翻折，G的其余部分保持不变．得到的新图象记为Q．设Q的最高点、最低点的纵坐标分别为y1，y2，若y1﹣y2＜6，求t的取值范围．
【题型三】二次函数的实际应用
【例3.1】（2025 天津二模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为：.有下列结论：
①该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6m；
②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为3m；
③铅球落地时的水平距离为10m．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例3.2】（2025 衢州一模）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向上发射小球（发射台离地面距离忽略不计）．
（1）当v0＝12（m/s）时，
①求小球离地面的最大高度；
②经过多少时间小球的高度达到4m？
（2）通过不断调整小球被发射时的速度，小明发现：若两次发射小球时的速度分别为v1，v2，小球从发射到回到地面所需时间为t1，t2，则的值为常数．判断小明发现的结论是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，举例说明．
【例3.3】（2025 衢州四模）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，点A与点O的水平距离为28米，城墙高AB为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块视为一个点，其飞行路线近似为抛物线y＝a（x﹣20）2+k．
（1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米．
①求该抛物线的表达式；
②石块能否飞越防御墙？请说明理由．
（2）若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括点B，C），求a的取值范围．
【题型四】二次函数的综合题
【例4.1】（2025 新昌县一模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2．
（1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时，
①求b，c的值；
②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值；
（2）若x1＝3x2，求证：．
【例4.2】（2025 婺城区二模）已知点A（t，m）在抛物线（a为常数且a＞0）上，点B（t，n）在直线y2＝（a+1）x﹣1上．
（1）求证：抛物线与x轴必有交点．
（2）当a＝1时，求满足m≤n+2的整数t的值．
（3）若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立，求a的取值范围．
【例4.3】（2025 西湖区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线AC的解析式为．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC交x轴于点D，连接PA，设点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数解析式；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E为第二象限内一点，且∠EOA＝∠OCD，连接EA、EP，若CD＝2AE，，求tan∠EPC的值．
1．（2022 绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（　　）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
2．（2025 温州模拟）下列关于抛物线y＝﹣mx2+4mx+m的描述，正确的是（　　）
A．开口向上 B．与x轴没有交点 C．对称轴为直线x＝﹣2 D．一定经过三、四两个象限
3．（2025 浙江一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（　　）
A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
4．（2023 丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（　　）
A．5 B．10 C．1 D．2
5．（2023 宁波）已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（　　）
A．点（1，2）在该函数的图象上 B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧
6．（2025 温州模拟）抛物线y＝ax2+4ax﹣5经过A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）三点，且该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
7．（2025 浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　）
A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上
8．（2024 玉环市三模）平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+1+b与直线y＝x+1交于点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＝1时，则以下结论错误的是（　　）
A．若x1+x2＞0，则y1y2＞0 B．若x1+x2＞0，则y1+y2＞0
C．若x1+x2＜0，则y1y2＜0 D．若x1+x2＜0，则y1+y2＜0
9．（2025 鄞州区校级模拟）设二次函数y1＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1≠x2）的图象与一次函数y2＝6x+2的图象交于点（x1，0），若函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则|x1﹣x2|的值是（　　）
A．6 B．8 C． D．7
10．（2025 嘉兴模拟）定义：抛物线y＝a（x﹣m）2+k（a，m，k为常数，a＞0）中存在一点P（x0，y0）使得，则称y0﹣k为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线y＝ax2+2ax+1（a＞0）的“相对深度”为4，则a的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
11．（2025 余姚市三模）已知二次函数y＝x2+x﹣2025与x轴的交点的横坐标为m，n，则的值为　 ．
12．（2025 上城区校级三模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度OA＝0.2米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度AB＝1米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 　 　 米．
13．（2024 浙江一模）已知在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x ﹣1 0 1 2 3
y 8 3 0 ﹣1 0
则满足方程ax2+bx+c＝3的解是 　 ．
14．（2025 临安区一模）已知二次函数y＝x2﹣x﹣n+1的图象与x轴有两个不同交点A（x1，0），B（x2，0），且3＜AB＜4，则n的取值范围是　 ．
15．（2023 长兴县校级一模）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是　 　 ．（只填写序号）
16．（2024 浙江一模）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．
（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 　6cm ；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝　　 ．
17．（2022 杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
18．（2025 浙江）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m＜x＜n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．
19．（2023 温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
20．（2023 湖州）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示：
销售价格x（元/千克） 50 40
日销售量y（千克） 100 200
（1）试求出y关于x的函数表达式．
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
21．（2025 舟山三模）已知二次函数y＝x2+bx+2（b为常数）的对称轴是直线x＝2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当1≤x≤4时，求y的取值范围；
（3）若点A（t﹣k，y1），B（t，y2），C（t+k，y3）（k≠0）均在该函数的图象上，求证：y1+y3＞2y2．
22．（2025 杭州模拟）如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象交y轴于点C，点B与点C关于该二次函数图象的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式．
（2）点P是该抛物线上一动点，点P从A点沿抛物线向B点运动（点P不与A、B重合），过点P作PD∥y轴，PD交直线AB于点D．请求出点P在运动的过程中，线段PD的长度的最大值以及此时点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使S△ABQ＝15，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2024 鄞州区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：则关于x的方程ax2+bx+5＝0 的解是（　　）
x … 0 30 80 …
y … 2 ﹣3 2 …
A．x1＝30，x2＝50 B．x1＝0，x2＝80 C．x1＝x2＝40 D．x1＝x2＝55
2．（2025 红桥区三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度T（单位：℃）与时间t（单位：h）满足函数关系式T＝﹣0.1t2+2.4t+5，其中0≤t≤24．有下列结论：
①蔬菜大棚内当天的温度T可以是16℃；
②蔬菜大棚内当天的温度T的最大值为20℃；
③蔬菜大棚内当天的温度T不低于19℃的时长为4h．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2025 陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0
4．（2025 新余校级模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则不等式ax2+bx+c＜3的解集是（　　）
A．x＜0 B．x＜﹣1或x＞3 C．0＜x＜2 D．x＜0或x＞2
5．（2025 观山湖区校级模拟）抛物线y＝﹣x2+ax+3的对称轴为直线x＝2．若关于x的方程﹣x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）
A．6≤t＜7 B．t＜7 C．﹣2≤t＜6 D．﹣2＜t≤7
6．（2025 滨海新区校级模拟）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2，其中AD≥AB．有下列结论：
①x的取值范围为5≤x≤10；
②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2；
③矩形菜园ABCD的面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2024 拱墅区二模）二次函数a，b为实数，a＜0）的图象对称轴为直线x＝2，且经过点（m，n）．若二次函数的图象经过点（m﹣2，n），则关于x的方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）＝n的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝4 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝6
8．（2025 齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论：
①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，则m＜﹣1，n＞2；⑤关于x的不等式ax2+bx+c＞﹣x+c（a≠0）的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2025 余姚市一模）已知抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）（a＜b），将该抛物线平移，若平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），下列说法正确的是（　　）
A．若向左平移，则a+b＝m+n B．若向右平移，则b﹣a＜n﹣m
C．若向上平移，则a+b＞m+n D．若向下平移，则a+b＝m+n
10．（2025 定西模拟）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，那么小球到达最大高度的时间是 　 　 s．
11．（2025 哈尔滨）抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于点A，B，则线段AB长是　 　 ．
12．（2025 惠城区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）两点，则不等式ax2+bx﹣h＞kx﹣c成立时，x的取值范围是 　 　 ．
13．（2025 青羊区模拟）已知一次函数：y1＝ax+a，二次函数：，当﹣3＜x＜﹣1时，y1＞y2恒成立，则a的取值范围是　 　 ．
14．（2025 萧山区二模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（m，0），B（n，0）且m≠n．
（1）当m＝﹣4，且n＝2时，
①求b，c的值；
②当t≤x≤2时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为10，求t的值；
（2）若m＝4n，求2b+c的最小值．
15．（2025 浙江模拟）背景材料：某社区准备改造原半径为6m的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动．
【建模分析】如图②，将喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点O的正上方且竖直高度为2.25m，水流最高高度为3m，水流最高点距喷水管的水平距离为1m．
（1）以水池中心O为原点，水平向右方向为x轴正半轴，喷水管竖直向上方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离；
【优化设计】小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外．
（2）若将喷出的水流的最高点水平向外移1m，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为5m，请确定优化后喷水口的竖直高度；
【拓展研究】如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线的最高高度m与水平宽度n的比接近黄金比0.618，确定水流离喷水管最大水平距离为5.5m，喷水口离水面竖直高度为1.1m，喷出的水流的最高高度为3.6m．
（3）求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度．
16．（2025 莲都区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（2，2），对称轴为直线x＝1．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若此函数图象上有一点B（m，n）到y轴的距离不大于2，求n的最大值与最小值之差；
（3）已知点P（2t﹣1，y1），Q（3﹣t，y2）在该二次函数的图象上且位于y轴的两侧，若y1＞y2恒成立，求t的取值范围．
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第三章 函数
3.4二次函数应用及综合问题
二次函数应用及综合问题 二次函数与一元二次方程的关系 Δ=b2-4ac ax2+bx+c=0的根 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点
Δ>0 两个不相等的实数根 两个交点
Δ=0 两个相等的实数根 一个交点
Δ<0 无实数根 无交点
（1）抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. （2）若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=.
二次函数与不等式的关系 b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象
与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点
ax2＋bx＋c>0 的解集情况 xx2 x≠ 取任意实数
ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1二次函数的实际应用 在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．考察背景主要有：经济问题；物体运动轨迹问题；拱桥问题等
【题型一】二次函数与方程（组）
【例1.1】（2025 盘锦二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
【点拨】根据函数图象可知a＞0，b＞0，从而可以得到关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0的根的情况，本题得以解决．
【解析】解：由函数图象可知，a＞0，b＞0，
∴Δ＝a2+4b＞0，
故一元二次方程x2+ax﹣b＝0有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【例1.2】（2025 中牟县模拟）若方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝1
【点拨】先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论．
【解析】解：∵方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）．
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x＝＝﹣1．
故选：C．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
【例1.3】（2025 嘉兴二模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象交x轴于点（x1，0），（x2，0），x1＜x2，且其对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求b的值．
（2）若x2﹣x1＝3，求二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的最小值．
（3）若8＜﹣＜12，求c的取值范围．
【点拨】（1）利用抛物线对称轴公式进行求解即可；
（2）利用抛物线对称轴得出x1+x2＝﹣2，列出一元二次方程进行求解得出，，求出二次函数解析式，即可求出最小值；
（3）利用抛物线对称轴得出x1+x2＝﹣2，得出4＜x2﹣x1＜6，即1＜x2＜2，分情况当x＝1时和当x＝2时，分别求出c的取值即可．
【解析】解：（1）由得b＝2；
（2）∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴，
∴x1+x2＝﹣2①，
∵x2﹣x1＝3②，
∴，，
把，y＝0代入y＝x2+2x+c得：，
∴，
∴当x＝﹣1时，y有最小值；
（3）由题意可得：
∵，x1+x2＝﹣2，
∴8＜（x1+x2）（x1﹣x2）＜12，
∴4＜x2﹣x1＜6，
把x1＝﹣2﹣x2代入4＜x2﹣x1＜6，得1＜x2＜2，
当x＝1时，12+2×1+c＜0，
∴c＜﹣3，
当x＝2时，22+2×2+c＞0，
∴c＞﹣8，
∴﹣8＜c＜﹣3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，二次函数和一元一次不等式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
【例1.4】（2025 普陀区三模）已知二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m+2），回答下列问题：
（1）若该函数图象经过点（2，﹣1）．
①求该函数图象与x轴的交点坐标；
②点A（﹣1，1）向上平移2个单位长度，向右平移K（K＞0）个单位长度后，落在二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m+2）图象上，求K的值．
（2）若该函数图象经过点（2m﹣1，a）与点（3m﹣4，b），且与x轴的两个交点到点（1，0）的距离均小于2，求证：b＜a．
【点拨】（1）①利用待定系数法求得m的值，然后令y＝0，解方程即可求解；
②求得平移后的点的坐标，代入解析式即可求解；
（2）根据题意得到关于m的不等式组，解不等式组求得m的取值范围，把点（2m﹣1，a）与点（3m﹣4，b）代入解析式求得a＝m2﹣1，b＝4m2﹣12m+4，求得b﹣a＝3（m﹣2）2﹣7＜0，即可证得结论．
【解析】解：（1）①∵函数图象经过点（2，﹣1），
∴﹣1＝（2﹣m）（2﹣m+2），
解得m＝ 3，
∴y＝（x﹣3）（x﹣1），
令y＝0，则（x﹣3）（x﹣1）＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴该函数图象与x轴的交点为（1，0）和（3，0）；
②点A（﹣1，1）向上平移2个单位长度，向右平移k（k＞0）个单位长度后得到（﹣1+k，3），
∵落在二次函数y＝（x﹣3）（x﹣1）图象上，
∴3＝（﹣1+k﹣3）（﹣1+k﹣1），
解得k＝1或k＝5，
∴k的值为1或5．
（2）∵二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m+2），
∴当y＝0时，x＝m﹣2或x＝m，
∴抛物线与x轴的两个交点为（m﹣2，0），（m，0），
∵与x轴的两个交点到点（1，0）的距离均小于2，
∴，
∴1＜m＜3，
∵函数图象经过点（2m﹣1，a）与点（3m﹣4，b），
∴a＝（2m﹣1﹣m）（2m﹣1﹣m+2）＝m2﹣1，b＝（3m﹣4﹣m）（3m﹣4﹣m+2）＝4m2﹣12m+4，
∴b﹣a＝3m2﹣12m+5＝3（m﹣2）2﹣7，
∵1＜m＜3，
∴b﹣a＝3（m﹣2）2﹣7＜0，
∴b＜a．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次 函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣平移，二次 函数的性质，能够明确题意得到关于m的不等式是解题的关键．
【题型二】二次函数与不等式（组）
【例2.1】（2025 铁岭模拟）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 　2＜x＜5　 ．
【点拨】根据图象及点A，B坐标求解．
【解析】解：由图象可得，在点A，B之间的抛物线在直线下方，
∴2＜x＜5时，x2+bx+c＜mx+n，
故答案为：2＜x＜5．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，结合图象求解．
【例2.2】（2024 拱墅区一模）设二次函数y＝ax2+c（a，c为实数，a≠0，c＞0）的图象过点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），（4，y4），（　　）
A．若y1y4＞0，y2+y3＞0，则a＞0 B．若y1y4＞0，y2+y3＜0，则a＞0
C．若y1y4＜0，y2+y3＞0，则a＜0 D．若y1y4＜0，y2+y3＜0，则a＜0
【点拨】将三个点的坐标代入解析式，根据每个选项解不等式即可解答．
【解析】解：由题意知：
A．y1＝9a+c，y2＝a+c，y3＝4a+c，y4＝16a+c，
∵y1y4＞0，则 （9a+c）（16a+c）＞0，即 ，
∴a＞0或 ，故选项A错误；
B．∵y1y4＞0，则 ，
∴，故选项B错误；
C．∵y2+y3＞0，则a+c+4a+c＞0，即 5a+2c＞0，
∴，故选项C正确；
D．∵y1y4＜0，则（a+）（a+）＜0，
∴﹣，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【例2.3】（2025 衢州三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0），抛物线顶点的纵坐标为﹣4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若将抛物线向右平移b（b＞0）个单位长度后，图象恰好经过点（5，﹣3），求b的值．
（3）只取抛物线在0≤x≤4间的部分记为G，将G在直线y＝t上方的部分沿y＝t翻折，G的其余部分保持不变．得到的新图象记为Q．设Q的最高点、最低点的纵坐标分别为y1，y2，若y1﹣y2＜6，求t的取值范围．
【点拨】（1）利用待定系数法可以得解；
（2）利用平移的规律求得平移后的函数解析式，代入点（5，﹣3）可以计算得解；
（3）依据题意，分H′在点M下方、上方两种情况分别求解即可．
【解析】解：（1）由题意得，函数的对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴顶点为（1，﹣4），
∴y＝a（x﹣1）2﹣4＝ax2﹣2ax+a﹣4，
∵抛物线为y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0），
∴a﹣4＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）可知抛物线为y＝（x﹣1）2﹣4，
将抛物线向右平移b（b＞0）个单位长度后，得到抛物线y＝（x﹣1﹣b）2﹣4，
∵图象恰好经过点（5，﹣3），
∴﹣3＝（4﹣b）2﹣4，
解得b＝3或5；
（3）设图象折叠后顶点M的对应点为M′，点H是x＝4函数所处的位置，图象Q为C′M′NH区域，
′′
点M（1，﹣4），点H（4，5），则点H′（4，2t﹣5），
当点H′在点M下方时，则t﹣（2t﹣5）＜6，
∴t＞﹣1．
当点H′在点M上方时，则t﹣（﹣4）＜6，
t＜2，
∴﹣1＜t＜2．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式（组）、二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
【题型三】二次函数的实际应用
【例3.1】（2025 天津二模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为：.有下列结论：
①该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6m；
②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为3m；
③铅球落地时的水平距离为10m．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【点拨】当x＝0时求出y的值即可判断①；把函数解析式化为顶点式即可判断②；令y＝0，解方程求出x的值可以判断③．
【解析】解：∵y＝﹣x2+x+，
∴当x＝0时，y＝≠1.6，故①错误，不符合题意；
∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣4）2+3，
∴当x＝4时，y有最大值3，
∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为3m，故②正确，符合题意；
当y＝0时，﹣x2+x+＝0，
解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
∴铅球落地时的水平距离为10m，故③正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
【例3.2】（2025 衢州一模）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向上发射小球（发射台离地面距离忽略不计）．
（1）当v0＝12（m/s）时，
①求小球离地面的最大高度；
②经过多少时间小球的高度达到4m？
（2）通过不断调整小球被发射时的速度，小明发现：若两次发射小球时的速度分别为v1，v2，小球从发射到回到地面所需时间为t1，t2，则的值为常数．判断小明发现的结论是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，举例说明．
【点拨】（1）①依据题意，由小球离地面的最大高度对应二次函数为h＝﹣5t2+12t，从而对称轴是直线，故可得最大高度：h＝﹣5（1.2）2+12×1.2＝7.2（m），进而得解；
②依据题意，令h＝4，则﹣5t2+12t＝4，整理为﹣5t2+12t﹣4＝0，求出t后即可判断得解；
（2）依据题意，小球总时间t满足﹣5t2+v0t＝0，从而，则v0＝5t，从而两次发射时：，进而可以判断得解．
【解析】解：（1）由题意，当v0＝12m/s时，
①小球离地面的最大高度对应二次函数为h＝﹣5t2+12t，
∴对称轴是直线．
∴最大高度：h＝﹣5（1.2）2+12×1.2＝7.2（m）．
②由题意，令h＝4，则﹣5t2+12t＝4，整理为﹣5t2+12t﹣4＝0，
∴t＝0.4或t＝2．
答：经过0.4s或2s小球的高度达到4m．
（2）结论正确，理由如下．
由题意，小球总时间t满足﹣5t2+v0t＝0．
∴．
∴v0＝5t．
两次发射时：．
∴该比值为常数5．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
【例3.3】（2025 衢州四模）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，点A与点O的水平距离为28米，城墙高AB为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块视为一个点，其飞行路线近似为抛物线y＝a（x﹣20）2+k．
（1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米．
①求该抛物线的表达式；
②石块能否飞越防御墙？请说明理由．
（2）若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括点B，C），求a的取值范围．
【点拨】（1）①依据题意，函数的最大值为10，即k＝10；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式；
②依据题意，确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能；
（2）分别把B、C两点坐标代入函数式中，求得a的值，即可确定a的范围．
【解析】解：（1）①由题意，发射石块在空中飞行的最大高度为10米，且y＝a（x﹣20）2+k，
∴函数的最大值为10，即k＝10．
又∵抛物线过（0，0），
∴a（0﹣20）2+10＝0，
∴，
∴该抛物线的表达式为．
②石块能飞跃防御墙，理由如下：
由题意得，点B的坐标为（28，6）．
∵C（30，6），
∴当x＝30时，，
∴石块能飞跃防御墙．
（2）由题意，∵抛物线过原点，
∴0＝a（0﹣20）2+k，即k＝﹣400a．
∴y＝a（x﹣20）2﹣400a．
又∵当抛物线过点B（28，6）时，6＝a（28﹣20）2﹣400a，解得；当抛物线过点C（30，6）时，6＝a（30﹣20）2﹣400a，解得，
∴．
答：要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括点B，C），a的取值范围为：．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
【题型四】二次函数的综合题
【例4.1】（2025 新昌县一模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2．
（1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时，
①求b，c的值；
②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值；
（2）若x1＝3x2，求证：．
【点拨】（1）①由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
②当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8，则t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4，即可求解；当t＞﹣1时，同理可解；
（2）x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝﹣b，3x2+x2＝﹣b，则x2＝﹣b，即（﹣b）2+b （﹣b）+c＝0，即可求解．
【解析】（1）解：①当x1＝2，则抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，0），且b+c＝﹣6，
则，解得：
即b、c的值分别为2、﹣8；
②y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值；
当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小，
当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8，
则﹣8﹣（t2+2t﹣8）＝4，
方程无解；
当﹣1＜t≤0时，当x＝﹣1时，y的最小值为﹣9，当x＝﹣2时，y的最大值为﹣8，
则y最大﹣y最小＝﹣8﹣（﹣9）＝1≠4，不符合题意；
当t＞0时，y的最小值为﹣9，y的最大值为t2+2t﹣8，
则t2+2t﹣8﹣（﹣9）＝4，
解得：t＝﹣3（舍去）或1；
（2）证明：∵x1＝3x2，且x1≠x2，
∴3x2≠x2，
∴x2≠0，
∵x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣b，
∴3x2+x2＝﹣b，
∴x2＝﹣b，
∴（﹣b）2+b （﹣b）+c＝0，
∴c＝b2，
∴b﹣c＝b﹣b2＝﹣（b﹣4）2+3≤3，
∴．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、一元二次方程根与系数的关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
【例4.2】（2025 婺城区二模）已知点A（t，m）在抛物线（a为常数且a＞0）上，点B（t，n）在直线y2＝（a+1）x﹣1上．
（1）求证：抛物线与x轴必有交点．
（2）当a＝1时，求满足m≤n+2的整数t的值．
（3）若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立，求a的取值范围．
【点拨】（1）求出Δ＝b2﹣4ac的值即可求证；
（2）当a＝1时，m＝2t2+7t+3，n＝2t﹣1，那么2t2+7t+3≤2t﹣1+2成立时，可通过画图方法，求得t值；
（3）由题意可知，m＝2at2+（6a+1）t+3，n＝（a+1）t﹣1，那么2at2+（6a+1）t+3≤（a+1）t﹣1+2成立时，可整理为2at2+5at+2≤0，不妨设 y′＝2at2+5at+2，那么其对称轴为，仅存在一个整数t，使得2at2+5at+2≤0成立，那么t＝﹣1时，y′＝2a﹣5a+2≤0且t＝﹣2时，y′＝8a﹣10a+2＞0，从而求得a的取值范围．
【解析】（1）证明：，
∴Δ＝（6a+1）2﹣4×2a×3＝36a2﹣12a+1＝（6a﹣1）2≥0，
∴抛物线与x轴必有交点；
（2）解：当a＝1时，，y2＝2x﹣1，
∵点A（t，m）在抛物线上，
∴m＝2t2+7t+3，
∵点B（t，n）在直线y2＝2x﹣1上，将点B的坐标代入得：n＝2t﹣1，
∵m≤n+2，
∴2t2+7t+3≤2t﹣1+2，
即2t2+5t+2≤0，
设w＝2t2+5t+2＝（2t+1）（t+2），
当或t＝﹣2时，w＝0；
画函数w＝2t2+5t+2如图1：
由图象可知，当w≤0，即m≤n+2，满足条件的整数t的值为﹣2和﹣1；
（3）解：依题意得：m＝2at2+（6a+1）t+3，n＝（a+1）t﹣1，
设y′＝m﹣n﹣2，
∴y′＝2at2+5at+2，
∴其对称轴为，如图2：
∵m≤n+2，
∴2at2+5at+2≤0，
∵若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立，
∴t＝﹣1时，y′＝2a﹣5a+2≤0；
t＝﹣2时，y′＝8a﹣10a+2＞0，
∴a的取值范围为：．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【例4.3】（2025 西湖区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线AC的解析式为．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC交x轴于点D，连接PA，设点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数解析式；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E为第二象限内一点，且∠EOA＝∠OCD，连接EA、EP，若CD＝2AE，，求tan∠EPC的值．
【点拨】（1）先求得C（0，8），即b＝8，推出A（﹣6，0），再利用待定系数法求解即可；
（2）过P作PM⊥x轴于M，设AP与y轴交点为N，得到，证明△AON∽△AMP，推出，利用三角形的面积公式求解即可；
（3）连接CE，过C作CR∥AD交AE的延长线于点R，延长OE交CR的延长线于点T，设∠AEO＝2α，求得∠EAO+∠CDO＝180°，证明四边形ARCD是平行四边形，证明△ERT≌△EAO，得到RT＝AO＝6，ET＝EO，推出tan∠T＝tan∠OCD，得到，求得OD＝4，过P作PH⊥y轴于点H，则PH＝t，，利用三角函数的定义求得t＝9，再计算得到∠ECP＝∠ECO+∠DCO＝90°，据此求解即可．
【解析】解：（1）抛物线y＝ax2+8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
当x＝0时，得：y＝8，
∴C（0，8），
直线AC的解析式为．将点C的坐标代入得：b＝8，
∴，
当y＝0时，得：，
解得：x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
将点A的坐标代入y＝ax2+8得：
0＝a（﹣6）2+8，
解得：；
（2）点P为第四象限抛物线上一点，设点P横坐标为t，则，如图2，过P作PM⊥x轴于M，AP与y轴交点为N，
∴，OM＝t，
∵A（﹣6，0），C（0，8），
∴OA＝6，OC＝8，
∵∠AON＝90°＝∠AMP，∠OAN＝∠MAP，
∴△AON∽△AMP，
∴，即，
解得：，
∴，
∵，
∴；
（3）连接CE，过C作CR∥AD交AE的延长线于点R，延长OE交CR的延长线于点T，如图3，
设∠AEO＝2α，
∵，
∴∠CDO＝45°+α，
∴∠EOA＝∠OCD＝90°﹣∠CDO＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α，
∴∠EAO＝180°﹣∠AEO﹣∠AOE＝180°﹣2α﹣（45°﹣α）＝135°﹣α，
∴∠EAO+∠CDO＝135°﹣α+45°+α＝180°，
∴AR∥CD，
∵CR∥AD，
∴四边形ARCD是平行四边形，
∴AR＝CD＝2AE，RC＝AD，
∴ER＝EA，
∵CR∥AD，
∴∠T＝∠EOA，∠TRE＝∠EAO，
在△ERT和△EAO中，
，
∴△ERT≌△EAO（AAS），
∴RT＝AO＝6，ET＝EO，
∵∠T＝∠EOA＝∠OCD，
∴tan∠T＝tan∠OCD，
∵TC∥AD，
∴∠TCO＝∠COD＝90°，
在Rt△TCO中，，
在Rt△COD中，，
∴，
∵TC＝TR+RC＝TR+AD＝6+6+OD＝12+OD，
∴，
∴OD＝4或OD＝﹣16（不合题意，舍去），
∴CT＝4+12＝16，，
过P作PH⊥y轴于点H，则PH＝t，，∠PHC＝90°，
∴，
∴，
解得：t＝9（经检验，是方程的根，且符合题意），
∴PH＝9，CH＝18，
在直角三角形PCH中，由勾股定理得：，
在Rt△TCO中，TE＝EO，
由勾股定理得：，
∴∠ECO＝∠EOC＝45°+α，
∴∠ECP＝∠ECO+∠DCO＝45°+α+45°﹣α＝90°，
∴．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了解直角三角形，二次函数的图象和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
1．（2022 绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（　　）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
【点拨】根据抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，可以得到m的值，然后解方程即可．
【解析】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝﹣4，
∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
2．（2025 温州模拟）下列关于抛物线y＝﹣mx2+4mx+m的描述，正确的是（　　）
A．开口向上 B．与x轴没有交点 C．对称轴为直线x＝﹣2 D．一定经过三、四两个象限
【点拨】根据题意可知y＝﹣mx2+4mx+m＝﹣m（x﹣2）2+5m和二次函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确．
【解析】解：抛物线y＝﹣mx2+4mx+m＝﹣m（x﹣2）2+5m，
∵m的正负不能不确定，
∴抛物线的开口方向无法确定，故选项A不符合题意；
当y＝0时，x＝2±，故选项B错误，不符合题意；
该抛物线的对称轴为直线x＝2，故选项C错误，不符合题意；
当m＞0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（2，5m），该函数图象经过第一、二、三、四象限，
当m＜0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（2，5m），该函数图象经过第一、二、三、四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．（2025 浙江一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（　　）
A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
【点拨】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣kx+b交于点横坐标为﹣2和4，
如图所示，
∴不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是x＜﹣2或x＞4，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是数形结合，利用图象解决问题．
4．（2023 丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（　　）
A．5 B．10 C．1 D．2
【点拨】根据二次函数的性质即可得到结论．
【解析】解：令h＝0，得：10t﹣5t2＝0，
解得：t＝2或t＝0（不合题意舍去），
∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是2秒；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
5．（2023 宁波）已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（　　）
A．点（1，2）在该函数的图象上 B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧
【点拨】将点（1，2）代入抛物线的解析式即可对选项A进行判断；将a＝1代入抛物线的解析式求出顶点坐标为（2，﹣1），据此可对选项B进行判断；令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，然后判断该方程判别式的符号即可对选项C进行判断；求出抛物线的解析式为：，然后根据a＞0得，据此可对选项C进行判断．
【解析】解：①对于y＝ax2﹣（3a+1）x+3，当x＝1时，y＝a×12﹣（3a+1）×1+3＝2﹣2a
∵a≠0，
∴y＝2﹣2a≠2，
∴点A（1，2）不在该函数的图象上，
故选项A不正确；
②当a＝1时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
即当x＝2时，y＝﹣1＜0，
故得选项B不正确；
③令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，
∵Δ＝[﹣（3a+1）]2﹣4a×3＝（3a﹣1）2≥0，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，
故选项C正确；
④∵该抛物线的对称轴为直线：，
又∵a＞0，
∴，
∴该抛物线的对称轴一定在直线的右侧，
故选项D不正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，解答此题的关键是熟练掌握求二次函数的顶点、对称轴以及判定与x轴有无交点的方法．
6．（2025 温州模拟）抛物线y＝ax2+4ax﹣5经过A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）三点，且该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【点拨】结合题意可得a＞0，抛物线y＝ax2+4ax﹣5的对称轴为直线x＝＝﹣2，与y轴交点坐标为（0，﹣5），再结合图象可得y2＜y1＜y3．
【解析】解：抛物线y＝ax2+4ax﹣5的对称轴为直线x＝＝﹣2，与y轴交点坐标为（0，﹣5），
∵该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧，
∴a＞0．
∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5经过A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）三点，
∴y2＜y1＜y3．
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．（2025 浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　）
A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上
【点拨】依据题意，作PG⊥AB，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，得到PH2＝225当点Q运动到点G的时候，PQ2最小为81，HG＝m﹣1，勾股定理求出m的值，判断A；当x＝m时，点Q运动到点B，根据三线合一，得到BG＝HG，进而求出n的值，判断B；连接AP，勾股定理求出AP2的长，确定C的纵坐标，判断C；依据题意，求出x＝15时，可得点Q的位置，再利用勾股定理求出PK2判断D．
【解析】解：如图，作PG⊥AB于G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知PH2＝225，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即：PG2＝81，HG＝m﹣1＝12．
在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81+（m﹣1）2，
∴m＝13．
∴A错误．
∴AG＝m＝13，HG＝m﹣1＝12．
当x＝n时，点Q运动到点B，则PB2＝225＝PH2，
∴PB＝PH，
∵PG⊥AB，
∴BG＝HG＝12，
∴AB＝13+12＝25，
∴选项B错误．
∴当x＝0，即点Q在A点时，
∴AP2＝AG2+PG2＝132+81＝250．
∴点C的纵坐标为250．
∴选项C错误．
当x＝15时，点Q运动到点K，
∴AK＝15．
∴GK＝AK﹣AG＝2．
∴PK2＝KG2+PG2＝4+81＝85．
∴点（15，85）在该函数图象上．
∴选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了动点的函数图象、勾股定理、垂线段最短、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能从函数图象中有效的获取信息，确定点Q的位置是关键．
8．（2024 玉环市三模）平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+1+b与直线y＝x+1交于点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＝1时，则以下结论错误的是（　　）
A．若x1+x2＞0，则y1y2＞0 B．若x1+x2＞0，则y1+y2＞0
C．若x1+x2＜0，则y1y2＜0 D．若x1+x2＜0，则y1+y2＜0
【点拨】解方程x2﹣bx+1+b＝x+1得x1＝1，x2＝b，再计算x＝1，y＝2；x＝b，y＝b+1，则x1+x2＞0，b＞﹣1，然后利用2（b+1）的符号可A选项进行判断；利用2+（b+1）的符号可对B选项进行判断；利用x1+x2＜0得到b＜﹣1，然后利用2（b+1）的符号可对C选项进行判断；利用3+b的符号可对D选项进行判断．
【解析】解：解方程x2﹣bx+1+b＝x+1得x1＝1，x2＝b，
当x＝1时，y＝2；当x＝b时，y＝b+1，
若x1+x2＞0，则1+b＞0，解得b＞﹣1，
∵2（b+1）＞0，
∴y1y2＞0，所以A选项不符合题意；
∵2+（b+1）＝3+b＞0，
∴y1+y2＞0，所以B选项不符合题意；
若x1+x2＜0，则1+b＜0，解得b＜﹣1，
∵2（b+1）＜0，
∴y1 y2＜0，所以C选项不符合题意；
∵y1+y2＝2+（b+1）＝3+b，
当b≤﹣3，y1+y2≤0；当﹣3＜b＜﹣1时，y1+y2＞0，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：通过解方程组求出两函数图象的交点坐标是解决问题的关键．
9．（2025 鄞州区校级模拟）设二次函数y1＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1≠x2）的图象与一次函数y2＝6x+2的图象交于点（x1，0），若函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则|x1﹣x2|的值是（　　）
A．6 B．8 C． D．7
【点拨】首先根据一次函数y2＝6x+2 的图象交于点 （x1，0），可得，然后根据函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y＝y1+y2与x轴的交点为（x1，0），进而可得，再结合求解即可．
【解析】解：∵一次函数y2＝6x+2的图象经过点（x1，0），
∴6x1+2＝0，解得：，
∵当x＝x1时，y1＝0，y2＝0，
∴当x＝x1时，y＝y1+y2＝0，
∵函数 y＝y1+y2 的图象与 x 轴仅有一个交点，
∴y＝y1+y2的图象与x轴的交点为，
∴，
又∵，
∴
＝，
∴，
解得：
∴，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数y＝y1+y2与x轴的交点为（x1，0）．
10．（2025 嘉兴模拟）定义：抛物线y＝a（x﹣m）2+k（a，m，k为常数，a＞0）中存在一点P（x0，y0）使得，则称y0﹣k为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线y＝ax2+2ax+1（a＞0）的“相对深度”为4，则a的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【点拨】把所给抛物线解析式整理成顶点式，可得m和k的值，易得y0﹣k＝4，则可得用a表示的y0的值及x0﹣m的值，进而可得用a表示的x0的式子，把用a表示的P（x0，y0）代入抛物线解析式，可得a的值．
【解析】解：∵y＝ax2+2ax+1＝a（x2+2x+1）+1﹣a＝a（x+1）2+1﹣a，
∴m＝﹣1，k＝1﹣a，
∵抛物线y＝ax2+2ax+1（a＞0）的“相对深度”为4，
∴y0﹣k＝4，
∴y0＝4+k＝4+1﹣a＝5﹣a，
∵，
∴x0﹣m＝2，
∴x0＝m+2＝﹣1+2＝1，
∴5﹣a＝a（1+1）2+1﹣a，
解得：a＝1．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义并应用到二次函数中解决问题是解决本题的关键；难点是得到用a表示的点P的坐标．
11．（2025 余姚市三模）已知二次函数y＝x2+x﹣2025与x轴的交点的横坐标为m，n，则的值为　　 ．
【点拨】将变形为，由一元二次方程根与系数的关系得到，，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【解析】解：设根为m，n，由题意可得：
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，正确进行计算是解题关键．
12．（2025 上城区校级三模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度OA＝0.2米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度AB＝1米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 　2.2　 米．
【点拨】依据题意，令y＝﹣1，则y＝﹣x2＝﹣1，求出x后即可判断得解．
【解析】解：由题意，∵令y＝﹣1，则y＝﹣x2＝﹣1，
∴x2＝4．
∴x＝﹣2或x＝2（舍去）．
∴水池宽至少是2+0.2＝2.2（米）．
故答案为：2.2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
13．（2024 浙江一模）已知在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x ﹣1 0 1 2 3
y 8 3 0 ﹣1 0
则满足方程ax2+bx+c＝3的解是 x1＝0，x2＝4　 ．
【点拨】通过表格数据求出a、b、c然后代入方程ax2+bx+c＝3即可求解．
【解析】解：由表格可知抛物线经过（0，3）；（3，0）；（1，0），
抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，
将（0，3）；（3，0）；（1，0）代入y＝ax2+bx+c可得：
，
解得：，
∴x2﹣4x+3＝3，
移项可得：x2﹣4x＝0，
因式分解可得：x（x﹣4）＝0，
解得：x1＝0，x2＝4．
【点睛】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，解题的关键是灵活应用抛物线的性质解决问题．
14．（2025 临安区一模）已知二次函数y＝x2﹣x﹣n+1的图象与x轴有两个不同交点A（x1，0），B（x2，0），且3＜AB＜4，则n的取值范围是　　 ．
【点拨】由题意可得Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣n+1）＞0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣n+1，可得，AB＝|x1﹣x2|＝＝＝，则3＜＜4，求出n的取值范围即可．
【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣x﹣n+1的图象与x轴有两个不同交点，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣n+1）＞0，
∴．
∵A（x1，0），B（x2，0），
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣n+1，
∴AB＝|x1﹣x2|＝＝＝．
∵3＜AB＜4，
∴3＜＜4，
解得，
∴n的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（2023 长兴县校级一模）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是　②⑤　 ．（只填写序号）
【点拨】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
【解析】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．
观察图象可知，抛物线与直线y＝3只有一个交点，故方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，故②正确．
根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，
观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误，
因为x＝1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，
所以②⑤正确，
故答案为②⑤．
【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用函数图象解决问题，所以中考常考题型．
16．（2024 浙江一模）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．
（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 　6cm ；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝　　 ．
【点拨】（1）设点E的坐标为：（0，c），则抛物线的表达式为：y＝ax2+c，则点C的坐标为：（6，8+c），点Q（x，4+c），再用待定系数法即可求解；
（2）确定直线CH的表达式为：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c，求出x1+x2＝，x1x2＝﹣9，进而求解．
【解析】解：（1）以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
设点E的坐标为：（0，c），则抛物线的表达式为：y＝ax2+c，
则点C的坐标为：（6，8+c），点Q（x，4+c），
将点C、Q的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：，
即抛物线的表达式为：y＝x2+c①，
PQ＝2xQ＝6（cm），
故答案为：6cm；
（2）将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为45°，
设直线CH的解析式为y＝x+b，
将点C的坐标代入上式的：直线CH的表达式为：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c②，
联立①②并整理得：2x2﹣9x﹣18＝0，
则x1+x2＝，x1x2＝﹣9，
则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝，
则|x1﹣x2|＝，
由CH的表达式知，其和x轴的夹角为45°，
则CH＝|x1﹣x2|＝，
故答案为：．
也可采取以下方法：
设过点C（6，8）的直线和x轴的夹角为45°，
故设该直线的表达式为：y＝x+b，
将点C的坐标代入上式得：8＝6+b，
解得：b＝2，
则直线的表达式为：y＝x+2，
由（1）知，抛物线的表达式为：y＝x2，
联立上述两式得：x2＝x+2，
解得：x＝6或﹣1.5，
则|x1﹣x2|＝|6+1.5|＝7.5，
则CH＝7.5×＝．
【点睛】本题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
17．（2022 杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
【点拨】（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；
（2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；
（3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．
【解析】解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），
∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．
（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，
y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2
＝2（h﹣1）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
（3）由题意得，y＝y1﹣y2
＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）
＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．
∵函数y的图象经过点 （x0，0），
∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．
∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．
即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．
【点睛】本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
18．（2025 浙江）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m＜x＜n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．
【点拨】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由题意，可知，B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，中点得到xC＝2xB，对称性得到，求出xB，再代入函数解析式求出t的值即可；
（3）根据题意，易得要使n﹣m最大，则m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和 x＝n关于对称轴对称，根据直线l1，l2之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，令x2﹣6x+5＝12，求出x的值，进而确定m，n的值，进行求解即可．
【解析】解：（1）把（1，0）代入y＝x2﹣ax+5，
得：1﹣a+5＝0，
解得：a＝6；
（2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5，
∴对称轴为直线，
∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，
又∵点B为线段AC的中点，
∴xc＝2xB，
∴，
∴xB＝2，
∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，
得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3，
∴t＝﹣3；
（3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4），
当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m＜x＜n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，m，n为直线与抛物线的交点，
∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称，
又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图：
∴当x2﹣6x+5＝12时，
解得：x1＝7，x2＝﹣1，
即n＝7，m＝﹣1，
∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键．
19．（2023 温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【点拨】（1）求出抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3，用待定系数法可得y＝﹣（x﹣2）2+3；当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，知球不能射进球门．
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
【解析】解：（1）∵8﹣6＝2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3），
设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3，
把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+3；
当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，
∴球不能射进球门．
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，
把点（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，
解得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．
20．（2023 湖州）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示：
销售价格x（元/千克） 50 40
日销售量y（千克） 100 200
（1）试求出y关于x的函数表达式．
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
【点拨】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润＝每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【解析】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）．
将x＝50，y＝100和x＝40，y＝200分别代入，得：，
解得：，
∴y关于x的函数表达式是：y＝﹣10x+600．
（2）W＝（x﹣30）（﹣10x+600）＝﹣10x2+900x﹣18000．
当x＝﹣＝45时，在30≤x＜60的范围内，W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
21．（2025 舟山三模）已知二次函数y＝x2+bx+2（b为常数）的对称轴是直线x＝2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当1≤x≤4时，求y的取值范围；
（3）若点A（t﹣k，y1），B（t，y2），C（t+k，y3）（k≠0）均在该函数的图象上，求证：y1+y3＞2y2．
【点拨】（1）利用对称轴公式即可求得b，从而求得二次函数的表达式；
（2）当x＝4时，y＝2，函数顶点坐标为：（2，﹣2），即可求解；
（3）根据图象上点的坐标特征，求得函数值，进一步求得y1+y3﹣2y2＞0，即可证得结论．
【解析】（1）解：∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得b＝﹣4，
∴该函数的解析式为y＝x2﹣4x+2；
②解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴当x＝2时，函数有最小值﹣2，
∵当x＝4时，y＝x2﹣4x+2＝2，
∴当1≤x≤4时，y的取值范围是﹣2≤y≤2；
（3）证明：∵点A（t﹣k，y1），B（t，y2），C（t+k，y3）（k≠0）均在该函数的图象上，
∴y1＝（t﹣k）2﹣4（t﹣k）+2，y2＝t2﹣4t+2，y3＝（t+k）2﹣4（t+k）+2，
∴y1+y3＝2t2+2k2﹣8t+4，2y＝2t2﹣8t+4，
∴y1+y3﹣2y2＝2k2，
∵k≠0，
∴2k2＞0，
∴y1+y3﹣2y2＞0，
∴y1+y3＞2y2．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，要求学生熟悉函数的基本性质，熟练掌握函数图象上点的坐标特征等．
22．（2025 杭州模拟）如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象交y轴于点C，点B与点C关于该二次函数图象的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式．
（2）点P是该抛物线上一动点，点P从A点沿抛物线向B点运动（点P不与A、B重合），过点P作PD∥y轴，PD交直线AB于点D．请求出点P在运动的过程中，线段PD的长度的最大值以及此时点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使S△ABQ＝15，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【点拨】（1）分别求出B、C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（ t，t2﹣4t+3），则D（t，t﹣1），可得DP＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，线段DP有最大值，最大值为 ．此时点P的坐标为 ；
（3）过点Q作QG∥y轴交AB于点G，设Q（n，n2﹣4n+3），则G（n，n﹣1），则S△ABQ＝×3×|n2﹣5n+4|＝15，求出n的值即可求Q点坐标．
【解析】解：（1）令x＝0，则y＝4+m，
∴C（0，4+m），
∵二次函数y＝（x﹣2）2+m的对称轴为直线x＝2，
∴B（4，4+m），
将A（1，0）代入y＝（x﹣2）2+m，
∴m+1＝0，
解得m＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，
∴C（0，3），B（4，3），
将A（1，0），B（4，3）代入y＝kx+b，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1；
（2）设P（ t，t2﹣4t+3），则D（t，t﹣1），
∵点P从A点沿抛物线向B点运动且点P不与A、B重合，
∴1＜t＜4，
∴DP＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，线段DP有最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为 ；
（3）存在点Q，使S△ABQ＝15，理由如下：
∵B（4，3），A（1，0）
过点Q作QG∥y轴交AB于点G，
设Q（n，n2﹣4n+3），则G（n，n﹣1），
∴QG＝|n2﹣4n+3﹣n+1|＝|n2﹣5n+4|，
∴S△ABQ＝×3×|n2﹣5n+4|＝15，
解得n＝6或n＝﹣1，
∴Q（﹣1，8）或（6，15）．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，铅锤法求三角形面积的方法是解题的关键．
1．（2024 鄞州区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：则关于x的方程ax2+bx+5＝0 的解是（　　）
x … 0 30 80 …
y … 2 ﹣3 2 …
A．x1＝30，x2＝50 B．x1＝0，x2＝80 C．x1＝x2＝40 D．x1＝x2＝55
【点拨】根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和c的值，从而可以得到x＝30和x＝50时对应的函数值都是﹣3，再将x＝30，y＝﹣3代入函数解析式，整理可以得到方程ax2+bx+5＝0，从而可以得到该方程的解．
【解析】解：由表格可知，
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝＝40，
则x＝30和x＝50对应的函数值都是﹣3，
当x＝0时，y＝2，即c＝2，
当x＝30时，y＝﹣3，即﹣3＝ax2+bx+2，
整理，得ax2+bx+5＝0，
则方程ax2+bx+5＝0的解是x1＝30，x2＝50，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．（2025 红桥区三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度T（单位：℃）与时间t（单位：h）满足函数关系式T＝﹣0.1t2+2.4t+5，其中0≤t≤24．有下列结论：
①蔬菜大棚内当天的温度T可以是16℃；
②蔬菜大棚内当天的温度T的最大值为20℃；
③蔬菜大棚内当天的温度T不低于19℃的时长为4h．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【点拨】依据题意得，T＝﹣0.1t2+2.4t+5＝﹣0.1（t﹣12）2+19.4，故当t＝12时，T有最大值为19.4，且当t＜12时，T随t的增大而增大，进而逐个判断可以得解．
【解析】解：由题意得，T＝﹣0.1t2+2.4t+5＝﹣0.1（t﹣12）2+19.4，
∴当t＝12时，T有最大值为19.4，且当t＜12时，T随t的增大而增大，故②错误．
又∵0≤t≤24，且当x＝0时，y＝5，
∴蔬菜大棚内当天的温度T可以是16℃，故①正确．
又令T＝19，
∴19＝﹣0.1（t﹣12）2+19.4．
∴t＝10或t＝14．
又∵T＝﹣0.1（t﹣12）2+19.4的图象开口向下，
∴蔬菜大棚内当天的温度T不低于19℃的时长为：14﹣10＝4（h），故③正确．
综上，正确的有①③，共2个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
3．（2025 陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0
【点拨】由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可．
【解析】解：由题意可得，
∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号，
∴，
解得0＜a＜3，
∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意；
∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线，
∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意；
∵当x＝1时，y＝﹣3，
∴最小值为﹣3，故C不符合题意；
当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3，
∵0＜a＜3，
∴此时y＜0，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握其性质是解题的关键．
4．（2025 新余校级模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则不等式ax2+bx+c＜3的解集是（　　）
A．x＜0 B．x＜﹣1或x＞3 C．0＜x＜2 D．x＜0或x＞2
【点拨】由图可知，抛物线和y轴的交点为（0，3），对称轴为直线x＝1，故当x2或x＝2时，y＝3，据此可得出结论．
【解析】解：由抛物线和y轴的交点为（0，3），对称轴为直线x＝1，
故当x＝0或x＝2时，y＝3，
故不等式ax2+bx+c＜3的解集为：x＜0或x＞2．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y＝ax2+bx+c和横轴交点的坐标．
5．（2025 观山湖区校级模拟）抛物线y＝﹣x2+ax+3的对称轴为直线x＝2．若关于x的方程﹣x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）
A．6≤t＜7 B．t＜7 C．﹣2≤t＜6 D．﹣2＜t≤7
【点拨】先利用抛物线的对称轴方程求出a得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+3，计算x＝2的函数值得到抛物线的顶点坐标为（2，7），再计算得到x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝3时，y＝6，画出大致的函数图象，由于关于x的方程﹣x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有实数根可理解为抛物线y＝﹣x2+ax+3与直线y＝t在﹣1＜x＜3的范围内有交点，然后根据图象得到对应的t的范围．
【解析】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴a＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+3，
当x＝2时，y＝﹣4+8+3＝7，则抛物线的顶点坐标为（2，7），
当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣4+3＝﹣2；
当x＝3时，y＝﹣9+12+3＝6，
如图，
∵关于x的方程﹣x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有实数根，
∴抛物线y＝﹣x2+ax+3与直线y＝t在﹣1＜x＜3的范围内有交点，
根据图象，当﹣2＜t≤7时，抛物线y＝﹣x2+ax+3与直线y＝t在﹣1＜x＜3的范围内有交点，
所以t的取值范围为﹣2＜t≤7．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
6．（2025 滨海新区校级模拟）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2，其中AD≥AB．有下列结论：
①x的取值范围为5≤x≤10；
②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2；
③矩形菜园ABCD的面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【点拨】根据墙长为18m，AD≥AB，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断①；根据矩形的面积＝100列出方程，解方程求x的值，可以判断②；利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积，可以判断③．
【解析】解：设这个菜园垂直于墙的一边AB的长为xm．则BC的长为（30﹣2x）米，
∵墙长为18m，AD≥AB，
∴
解得，
∴x的取值范围为6≤x≤10，
故①错误；
根据题意得：x（30﹣2x）＝100，
解得x1＝5，x2＝10，
∵6≤x≤10，
∴x＝10，
∴AB的长有1个值满足该矩形菜园的面积为100m2，
故②错误；
根据题意得：S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，6≤x≤10，
∴当x＝时，S有最大值，最大值为，
故③正确．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．
7．（2024 拱墅区二模）二次函数a，b为实数，a＜0）的图象对称轴为直线x＝2，且经过点（m，n）．若二次函数的图象经过点（m﹣2，n），则关于x的方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）＝n的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝4 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝6
【点拨】依据题意，二次函数的图象是由二次函数a，b为实数，a＜0）的图象向右平移2个单位得到，从而可得当点（m，n）在y1上时，有（m+2，n）在y2上，且平移后对称轴是直线x＝4，又点（m﹣2，n）在y2上，则的对称轴是直线＝m＝4，故点（2，n），（6，n）在的图象，进而可以判断得解．
【解析】解：由题意，二次函数的图象是由二次函数a，b为实数，a＜0）的图象向右平移2个单位得到，
∴当点（m，n）在y1上时，有（m+2，n）在y2上，且平移后对称轴是直线x＝4．
∵点（m﹣2，n）在y2上，
∴的对称轴是直线＝m＝4．
∴点（2，n），（6，n）在的图象上．
∴方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）＝n的解是x1＝2，x2＝6．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
8．（2025 齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论：
①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，则m＜﹣1，n＞2；⑤关于x的不等式ax2+bx+c＞﹣x+c（a≠0）的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】依据题意，由抛物线的图象开口向上，图象与y轴交于负半轴，及与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3，再结合二次函数的性质，进而逐个判断即可得解．
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴当x＝0，则y＝c＜0．
又∵抛物线与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3，
∴1＜﹣1+x1＜2．
∴＜＜1．
∴对称轴是直线x＝＝﹣＞0．
∴b＜0．
∴abc＞0，故①正确．
由图象可得，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，
又∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c．
∴4a+2b+c＝4a+2a+2c+c＝6a+3c＜0．
∴2a+c＜0，故②正确．
∵＜＜1，且对称轴是直线x＝＝﹣＞0，
∴＜﹣＜1．
∵a＞0，
∴a＜﹣b＜2a．
∴2a+b＞0．
∴2a+a+c＞0，即3a+c＞0．
∴4a﹣b+2c＝4a﹣a﹣c+2c＝3a+c＞0，故③错误．
由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）．
∵当x＝0时，y＝c，
∴y＝﹣c与y＝c关于x轴对称．
如图所示，
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）＝﹣c时，即a（x+1）（x﹣x1）+c＝0，结合图象可得m＜﹣1，n＞2，故④正确．
由题意，∵y＝﹣x+c过（0，c），（x1，0），
∴可以作图如下．
∴关于x的不等式ax2+bx+c＞﹣x+c（a≠0）的解集是二次函数图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围．
∴关于x的不等式ax2+bx+c＞﹣x+c（a≠0）的解集是x＜0或x＞x1，故⑤错误．
综上，正确的有①②④共3个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
9．（2025 余姚市一模）已知抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）（a＜b），将该抛物线平移，若平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），下列说法正确的是（　　）
A．若向左平移，则a+b＝m+n B．若向右平移，则b﹣a＜n﹣m
C．若向上平移，则a+b＞m+n D．若向下平移，则a+b＝m+n
【点拨】利用交点式得到抛物线与x轴的交点坐标为（a，0），（b，0），则两交点的距离为b﹣a，利用对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝，同样方法得到
平移后的抛物线与x轴的两交点的距离为n﹣m，对称轴为x＝，然后利用左右平移两交点的距离不变，上下平移对称轴不变，从而可对各选项进行判断．
【解析】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）与x轴的交点坐标为（a，0），（b，0），
∴两交点的距离为b﹣a，对称轴为直线x＝，
∵平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点，
∴平移后的抛物线与x轴的两交点的距离为n﹣m，对称轴为x＝，
∴b﹣a＝n﹣m，所以A、B选项不符合题意；
∵抛物线上下平移时，抛物线的对称轴不变，
∴＝，
即a+b＝m+n，所以C选项不符合题意，D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
10．（2025 定西模拟）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，那么小球到达最大高度的时间是 　3　 s．
【点拨】已知高度h与时间t的关系式为h＝30t﹣5t2，抛物线开口向下，最大值出现在顶点处，求出顶点的横坐标t即可．
【解析】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，
小球到达最大高度的时间是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键掌握二次函数的最值问题．
11．（2025 哈尔滨）抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于点A，B，则线段AB长是　4　 ．
【点拨】利用待定系数法确定抛物线解析式，然后利用该抛物线解析式求得点A、B的坐标，继而根据两点间的距离公式求得答案．
【解析】解：把（0，﹣3）代入y＝x2﹣2x+c，得c＝﹣3．
令y＝x2﹣2x﹣3＝0．
解得x1＝3，x2＝﹣1．
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．
12．（2025 惠城区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）两点，则不等式ax2+bx﹣h＞kx﹣c成立时，x的取值范围是 　﹣2＜x＜2　 ．
【点拨】若不等式ax2+bx﹣h＞kx﹣c成立，即不等式ax2+bx+c＞kx+h成立，结合图象可得答案．
【解析】解：∵不等式ax2+bx﹣h＞kx﹣c成立，
∴不等式ax2+bx+c＞kx+h成立，
由图象可得，x的取值范围是﹣2＜x＜2．
故答案为：﹣2＜x＜2．
【点睛】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（2025 青羊区模拟）已知一次函数：y1＝ax+a，二次函数：，当﹣3＜x＜﹣1时，y1＞y2恒成立，则a的取值范围是　﹣2≤a＜0或0＜a≤2　 ．
【点拨】先根据函数的解析式求出函数图象的必过点，再根据数形结合思想列出不等式列不等式组求解．
【解析】解：∵y1＝ax+a＝a（x+1），＝a（x+1）（x+3）+2x+2，
∴y1经过点（﹣1，0），y2经过点（﹣1，0）（﹣3，﹣4），
当ax+a＝a（x+1）（x+3）+2x+2时，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣2，
∴直线与抛物线的交点为（﹣1，0），（﹣﹣2，﹣2﹣a），
当a＞0时，﹣﹣2≤﹣3，
∴0＜a≤2；
当a＜0时，﹣﹣2＜﹣1时，不符合题意；
当﹣﹣2≥﹣1时，﹣2＜a＜0；
综上所述：﹣2＜a＜0或0＜a≤2．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，掌握函数的性质及数形结合思想是解题的关键．
14．（2025 萧山区二模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（m，0），B（n，0）且m≠n．
（1）当m＝﹣4，且n＝2时，
①求b，c的值；
②当t≤x≤2时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为10，求t的值；
（2）若m＝4n，求2b+c的最小值．
【点拨】（1）①将A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝x2+bx+c，求出b，c的值即可．
②由①得，二次函数为y＝x2+2x﹣8，可知二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣9），当x＝2时，y＝0，进而可得当x＝t时，y＝1，即t2+2t﹣8＝1，求出t的值即可．
（2）若m＝4n，则二次函数解析式为y＝（x﹣4n）（x﹣n）＝x2﹣5nx+4n2，可得b＝﹣5n，c＝4n2，则2b+c＝4n2﹣10n＝＝，可知当n＝时，2b+c取得最小值为．
【解析】解：（1）①当m＝﹣4，n＝2时，A（﹣4，0），B（2，0），
将A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得．
②由①得，二次函数为y＝x2+2x﹣8，
∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣9），当x＝2时，y＝0．
∵当t≤x≤2时，二次函数的最大值与最小值的差为10，
∴当x＝t时，y＝1，
即t2+2t﹣8＝1，
解得，舍去），
∴．
（2）∵m＝4n，
∴A（4n，0），
∴二次函数解析式为y＝（x﹣4n）（x﹣n）＝x2﹣5nx+4n2，
∴b＝﹣5n，c＝4n2．
∴2b+c＝4n2﹣10n＝＝，
∴当n＝时，2b+c取得最小值为．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（2025 浙江模拟）背景材料：某社区准备改造原半径为6m的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动．
【建模分析】如图②，将喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点O的正上方且竖直高度为2.25m，水流最高高度为3m，水流最高点距喷水管的水平距离为1m．
（1）以水池中心O为原点，水平向右方向为x轴正半轴，喷水管竖直向上方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离；
【优化设计】小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外．
（2）若将喷出的水流的最高点水平向外移1m，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为5m，请确定优化后喷水口的竖直高度；
【拓展研究】如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线的最高高度m与水平宽度n的比接近黄金比0.618，确定水流离喷水管最大水平距离为5.5m，喷水口离水面竖直高度为1.1m，喷出的水流的最高高度为3.6m．
（3）求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度．
【点拨】（1）设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为，用待定系数法求解，再求出其与x轴交点，再求解即可；
（2）由将喷出的水流的最高点水平向外移1m，高度不变，可得优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为（2，3），设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为，将x＝5，y＝0代入，得，再求解即可；
（3）设进一步优化后抛物线的函数表达式为y＝，将（0，1.1），（5.5，0）分别代入中，得，则有，解得h＝2.5，得a3＝﹣0.4，可得进一步优化后抛物线的函数表达式为y＝﹣0.4（x﹣2.5）2+3.6，当y＝0时，﹣0.4（x﹣2.5）2+3.6＝0，解得x1＝﹣0.5，x2＝5.5，
求得m：n＝0.6接近黄金比0.618，再求解即可．
【解析】解：（1）由题可设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为，
将（0，2.25）代入，得，
解得，
∴y＝
令y＝0，得，
解得x1＝3，x2＝﹣1（不符合题意，舍去）．
∴喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3m；
（2）∵将喷出的水流的最高点水平向外移1m，高度不变，
∴优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为（2，3），
∴设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为，
将x＝5，y＝0代入，得，
解得，
∴优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为，
当x＝0时，，
∴优化后喷水口的竖直高度为；
（3）设进一步优化后抛物线的函数表达式为y＝，
由题意可得：
∴①，②，
∵a3≠0，h≠0，
∴②÷①，得，
解得h＝2.5（负值已舍去），
代入①，得a3＝﹣0.4，
∴y＝﹣0.4（x﹣2.5）2+3.6，
当y＝0时，﹣0.4（x﹣2.5）2+3.6＝0，
解得x1＝﹣0.5，x2＝5.5，
∴n＝5.5﹣（﹣0.5）＝6，
∴m：n＝0.6接近黄金比0.618，
∴所设计的喷泉比较美观．
【点睛】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．根据函数值的最大值求出函数的另一个值对应的x的取值，进而来判断t的取值范围，是解决本题的难点．
16．（2025 莲都区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（2，2），对称轴为直线x＝1．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若此函数图象上有一点B（m，n）到y轴的距离不大于2，求n的最大值与最小值之差；
（3）已知点P（2t﹣1，y1），Q（3﹣t，y2）在该二次函数的图象上且位于y轴的两侧，若y1＞y2恒成立，求t的取值范围．
【点拨】（1）将A（2，2）代入解析式，并利用对称轴解析式解答即可；
（2）由题意得﹣2≤m≤2，由于开口向上，那么当m＝1时，n有最小值1；由于横坐标为﹣2的点到对称轴的距离1﹣（﹣2）＝3大于点A到对称轴的距离1，则当m＝﹣2时，n取得最大值，即可求解；
（3）①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧，则，由于y1＞y2恒成立，所以，再分别解不等式和不等式组；②若点P在y轴的右侧，点Q在y轴的左侧，则，由于y1＞y2恒成立，则，再分别解不等式和不等式组即可．
【解析】解：（1）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（2，2），对称轴为直线x＝1，
依题意得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+2；
（2）∵点B到y轴的距离不大于2，所以﹣2≤m≤2，
∵该函数二次项系数为1大于0，
∴当m＝1时，n有最小值1；
∵横坐标为﹣2的点到对称轴的距离1﹣（﹣2）＝3大于点A到对称轴的距离1，
∴当m＝﹣2时，n取得最大值为（﹣2﹣1）2+1＝10，
∵10﹣1＝9，
∴n的最大值与最小值之差为9；
（3）二次函数图象的对称轴为直线x＝1，
①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧，
∴，
解得：，
∵y1＞y2恒成立，所以，
解得t＜0，
∴t＜0；
②若点P在y轴的右侧，点Q在y轴的左侧，
∴，解得：t＞3，
∵y1＞y2恒成立，所以，
解得t＞0，
∴t＞3，
综上所述，t的取值范围是t＜0或t＞3．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，求出函数解析式是解题的关键．
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