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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块四 三角形
专题2 相交线与平行线
【考点一】对顶角与邻补角
1.相交线：有一个公共点的两条直线是相交线，这个公共点叫交点
☆(1)相交指的是同一平面内两条直线的一种位置关系;(2)两条直线相交有且只有一个交点.
2.对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
3.邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
4.对顶角的性质：对顶角相等．
5.邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
6.提示：邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
7.邻补角与补角的关系
(1)互为邻补角是互为补角的特殊情况，互为邻补角的两个角除具备两角互补这一数量关系外，还要具备相邻的位置关系;
(2)一个角的邻补角最多有两个，但一个角的补角可以有多个
【考点二】垂直、垂线段
1.垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2．表示符号：直线 A B、C D 互相垂直，记作＂＂，读作＂ 垂直于 ＂。
3．推理格式：
如图 ，因为 （已知），所以 （垂直的定义）。
反过来：因为 （已知），所以 （垂直的定义）．
4.垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
基本事实中的唯一性隐含着两个关键条件不能少:一是“同一平面”;二是过一点，这一点可以在已知直线上也可以在已知直线外
5.垂直平分线
我们把垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线
6.垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
7.点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
(1)垂线段与点到直线的距离的区别:垂线段是一个几何图形,而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度(2)点到直线的距离与两点间的距离的区别:
两点间的距离 点到直线的距离
定义 连结两点的线段的长度. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度
性质 两点之间，线段最短 垂线段最短
【考点三】同位角、内错角、同旁内角
1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
位置特征
角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征
同位角 在截线同侧，在两条被截直线同一方 形如字母“F”(或倒置、反置、旋转的字母“F”）
2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
位置特征
角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征
内错角 在截线两侧，在两条被截直线之间 形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转的字母“Z”）
3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
位置特征
角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征
同旁内角 在截线同旁，在两条被截直线之间 形如字母“U”(或倒置、反置、旋转）
4.注意：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
【考点四】平行及平行公理
1.定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
☆平行线定义的三要素:
(1)在同一平面内;(2)不相交;(3)都是直线
2.表示方法
用＂∥＂表示平行，如图所示，两条 直 线 、 互相平行记作＂ ＂或＂ ＂，读作＂ 平行于 ＂或＂ 平行于 ＂．
（1）3.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
4.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
【考点五】平行线的判定
1.判定定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
2.判定定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
3.判定定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
4.判定方法4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
5.判定方法5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
【考点六】平行线的性质
1.性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
2.性质定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
3.性质定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
【考点七】平行线的性质与判定综合题解题方法
1.平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
2.应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
3.平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
4.辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
【题型一】对顶角的定义
◇典例1：
下列图形中，和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角的判断，根据对顶角的定义 “有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角”逐项进行判断即可．
【详解】解：A、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意；
B、符合对顶角的定义，是对顶角，符合题意；
C、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意；
D、两角没有共同顶点，不是对顶角，不符合题意；
故选：B．
◆变式训练
1.光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查对顶角，根据“对顶角相等”得，代入数据求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
∵，，
∴，
故选：D．
2.如图，直线，相交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等，即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ，
故选：B．
【题型二】邻补角的定义
◇典例2：
如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对．
【答案】12
【分析】本题主要考查了邻补角的定义；
根据邻补角定义判断即可，注意：两直线相交，邻补角有四对．
【详解】解：∵直线、、相交于点，
∴与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；
∴共12对邻补角，
故答案为：12．
◆变式训练
1.如图，已知直线与相交于点，平分，．
(1)求和的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查角平分线、邻补角，掌握角平分线的定义以及邻补角的定义是解题的关键．
（1）根据对顶角的性质及邻补角的定义进行计算即可；
（2）根据角平分线的定义及邻补角的定义进行计算即可．
【详解】（1）解： 与是对顶角，
，
,
即：，；
（2）解： 平分，
，
，
即：．
2.如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分．
若，求和的度数；
【答案】，
【分析】本题考查余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，根据角平分线的定义求出的度数即可；先求出的度数，再根据角平分线的定义解答．
【详解】解：平分，且，
，，三点共线，
，
平分，
，
，．
【题型三】垂线的定义
◇典例3：
如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ．
【答案】/55度
【分析】本题主要考查垂线的定义及对顶角相等，熟练掌握垂线的定义及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故答案为：．
◆变式训练
1.在下列各图中，分别过点P画的垂线．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查过一点画已知直线的垂线，熟练掌握作图方法是解题的关键．利用直角三角板即可完成作图．
【详解】解：如图所示：
2.下列说法中，错误的是（ ）
A．两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为邻补角
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【答案】C
【分析】本题主要考查垂线、邻补角等概念，熟练掌握相关概念是解题的关键；因此此题可根据垂线、邻补角等概念进行排除选项即可．
【详解】解：A、两条直线相交有一个角为直角时，其余角也为直角，则这两直线垂直，故原说法正确；
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的基本性质，故原说法正确；
C、两个角的和是180度时，它们互为补角，但邻补角必须相邻（即共享一条边），例如，两个不相邻的角和为180度是补角但不是邻补角，故原说法错误；
D、垂线段最短是几何基本性质，故原说法正确；
故选：C．
【题型四】垂线段最短
◇典例1：
下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识．根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可．
【详解】解：A、跳远测量成绩用到的是“垂线段最短”；
B、两钉子固定木条用到的是两点确定一条直线；
C、木板上弹墨线用到的是两点确定一条直线；
D、弯曲河道改直用到的是两点之间，线段最短；
故选：A．
◆变式训练
1.如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点到直线的距离、两点间的距离等知识点，掌握点到直线的距离的定义是解题的关键．
根据点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离以及两点间的距离求解即可．
【详解】解：点到的距离是；点到的距离是，A、C两点间的距离为．
故答案为：，，．
2.如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ．
【答案】 C 点到直线，垂线段最短
【分析】本题主要考查垂线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；此题可根据垂线段最短进行求解即可．
【详解】解：为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在C处，其中的道理是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
故答案为：垂线段最短．
【题型五】同位角、内错角、同旁内角
◇典例5：
如图，和是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
根据同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，解答即可．
【详解】解：由同位角的定义可知选项A符合题意，
故选：A．
◆变式训练
1.如图，则图中内错角共有 对．
【答案】4
【分析】本题主要考查了内错角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
根据内错角的定义确定内错角的对数即可．
【详解】解：如图：和是一对内错角；和是一对内错角；和是一对内错角；和是一对内错角；即内错角共4对．
故答案为：4．
2.如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角．
【答案】见解析
【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的识别，明确平行线与截线形成的角的位置关系是解题关键．
“同位角：同位置；内错角：交错在截线两侧；同旁内角：在截线同侧”，根据角的位置特征进行识别．
【详解】（1）同位角：和，和，和，和，
内错角：和，和，
同旁内角：和，和．
（2）同位角：和，和，
内错角：和，和，
同旁内角：和，和，和，和．
【题型六】平面内两直线的位置关系
◇典例6：
将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了平面上直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线的位置关系解答即可．
【详解】解：观察图形可知，将一张长方形纸片对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行．
故选：A．
◆变式训练
1.如图，这是一个正方体．
(1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离．
(2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？
【答案】(1)，它们之间的距离是；，它们之间的距离是；，它们之间的距离是（答案不唯一）
(2)4对
【分析】本题考查了认识立体图形，平行线，掌握正方体的特征是解题的关键．
（1）根据正方体的特征求解即可；
（2）根据正方形的特征求解即可．
【详解】（1）解：，它们之间的距离是；
，它们之间的距离是；
，它们之间的距离是；
（2）解：在正方形中，互相垂直的边有，，，，共4对．
2.在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（ ）
A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直
【答案】C
【分析】本题考查了同一平面内直线的位置关系，解题的关键是明确“无公共点”对应的直线位置关系．
同一平面内直线的位置关系分为相交（有且只有一个公共点）和平行（无公共点）；垂直是相交的特殊情况，因此无公共点的两条直线的位置关系是平行．
【详解】解：同一平面内，直线的位置关系为相交（有公共点）和平行（无公共点）；垂直属于相交的特殊情况．
只有平行的直线无公共点；
故选：C．
【题型七】平行公理及推论的应用
◇典例7：
如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数条
【答案】B
【分析】本题考查垂线的性质，平行公理，根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，进行求解即可．
【详解】解：由题意，，
∴；
故选：B．
◆变式训练
1.如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ．
【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案．
【详解】解：不能，
与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行，
故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2.下列说法中不正确的是（　　）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键．
根据平行线的定义进行逐一判定即可．
【详解】解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意；
B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意；
C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意；
故选：A．
【题型八】平行线的判定
◇典例8：
已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质及垂直的性质，逐项进行分析，用排除法即可找到答案．熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
【详解】解：A．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意；
B．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意；
C．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意；
D．若，，则，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：D．
◆变式训练
1.已知：如图，直线，被直线所截，与互补．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】此题考查平行线的判定，关键是根据同位角相等，两直线平行解答．
根据邻补角互补和同位角相等，两直线平行解答即可．
【详解】证明：如图，
与互补，
．
，
．
．
2.张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下：
甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行；
乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行；
丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行；
对三位同学的答案判断正确的是 ．
【答案】乙、丙
【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
根据平行线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：，
若添加，则，即同旁内角不互补，所以不能判断，则甲的答案错误；
若添加，则，根据同位角相等，两直线平行，可得，则乙的答案正确；
若添加，则，根据内错角相等，两直线平行，可得，则丙的答案正确．
故答案为：乙、丙．
【题型九】平行线的性质
◇典例9：
如图，已知点C在上，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得，同理求出的度数，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
故选：C．
◆变式训练
1.如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
利用垂线的定义得，进而求得，利用平行线的性质求得，再利用角平分线的定义即可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
平分，
．
2.如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补，结合已知条件证明正确；内错角相等，两直线平行，证明正确；由两直线平行，同位角相等，证明正确；不能证明，可得答案．
【详解】解： ，
．
，
，故正确；
，
，故正确；
，
．
，
，故正确；
不能证明，
故答案为：B．
【题型十】根据平行线的性质探究角的关系
◇典例10：
如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：B．
◆变式训练
1.已知直线，点M、N分别在直线、上．
(1)如图1，点E在直线、之间，求证：；
(2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明；
(3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．
（1）过E作，根据平行线的性质即可得证；
（2）过E作，过F作，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答；
（3）记交于点H，根据题意设，，则，，，根据平行线的性质表示出、，由列式求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过E作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，过E作，过F作，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，，
∵与的角平分线交于点F，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图，记交于点H，
∵，，
设，，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2.综合与实践
如图1，，为直线上的点，和交于点．
(1)若，则的度数是______．
(2)写出之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
（1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可．
（2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可．
（3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可．
【详解】（1）解：过点E作直线，

∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：．
理由：如图，过点作，
，
，
，
，
即．
（3）解：．理由如下：
由（2）可知，
平分，平分，
，
，
，
∴．
【题型十一】根据平行线判定与性质求角度与证明
◇典例11：
光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．先根据题意得出，故可得出，再由得出的度数，进而可得出结论．
【详解】解：如图，
∵，，
，
∵，，
，
．
故选：A．
◆变式训练
1.如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明．
解：因为（已知）
所以（____________）
因为（已知）
所以______（两直线平行，同旁内角互补）
所以（____________）
因为、分别是和的角平分线（已知）
所以，（____________）
所以______（等式性质）
因为（已知）
所以（____________）
所以（____________）
所以（____________）
【答案】两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；角平分线定义；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】解：∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴（同角的补角相等），
∵、分别是和的角平分线（已知），
∴，（角平分线定义），
∴（等式性质），
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；角平分线定义；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行．
2.如图，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)若平分，平分，且，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是找出角度之间的数量关系，熟练掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
（1）根据平行线的判定和性质求解，即可得到答案；
（2）由角平分线的定义，得到，根据平行线的性质，得出，再利用角平分线的定义，即可求出的度数．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
；
（2）解：平分，
，
，
，，
，
，
，
平分，
．
【题型十二】根利用平行线间距离解决问题
◇典例12：
如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．14
【答案】C
【分析】本题考查线段的和与差，平行线间的距离．利用数形结合的思想是解题关键．
根据题意可求出，再根据平行线间的距离的定义即可解答．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，
∴平行线b，c之间的距离是6．
故选：C．
◆变式训练
1.如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而 .（填“增大”、“保持不变”或“减小”）
【答案】保持不变
【分析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等是解题的关键．根据三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等判断即可．
【详解】解：设平行线与之间的距离为，则，
而，
，
在点运动过程中，的面积随着的增大而保持不变．
故答案为：保持不变．
2.如图，在长方形内画了一些直线，已知其中有块面积分别是，，的三角形、三角形、四边形，那么图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线间的距离的应用，组合图形的面积计算，解题关键在于根据与重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和．因为长方形的面积等于与的面积和，所以与重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和，即．
【详解】解：如图：
因为与的面积都等于长方形的面积，
所以长方形的面积等于与的面积和，
所以与重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和，
即：
故答案为：．
一、单选题
1．（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．
【详解】解：由题意得，
根据内错角相等，两直线平行可得．
故选：B．
2．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂直的定义，余角的性质．由题意得，代入数据计算即可求解．
【详解】解：∵集热板与太阳光线垂直，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
3．（2025·四川巴中·中考真题）如图，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
根据平行线的性质即可直接得出，进而根据对顶角相等即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故选：D．
4．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【分析】根据同位角的定义判断即可．
本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角的定义是解题的关键．
【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意；
B、与不是同位角，故此选项不符合题意；
C、与是同位角，故此选项符合题意；
D、与不是同位角，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可．
【详解】解：设和交于点F，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
6．（2013·四川攀枝花·中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质得，然后根据平行线的性质由得，则，再根据三角形内角和计算出，所以．
【详解】解：∵绕点A逆时针旋转到的位置，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7．（2025·四川·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），解题的关键是根据“水中光线平行、空气中光线平行”的条件，准确识别与、与的同位角关系，进而计算两角之和．
先根据空气中光线平行的条件，结合与是同位角，利用平行线性质得出；再根据水中光线平行的条件，结合与是同位角，得出；最后将已知角度代入，计算的结果，匹配选项即可．
【详解】解：∵水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，且与为同位角，与为同位角，
∴，，
∵，，
∴，,
∴.
故选：C．
8．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定和性质．
过点C作，得到，推出，，即可求出．
【详解】解：过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故选：D．
二、填空题
9．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行同旁内角互补进行解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：
10．（2025·四川广安·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，a，b为两条平行的光线，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，根据题意，得到两条折射光线平行，根据平行线的性质得到，即可．
【详解】解：∵，
∴在空气中的两条直线也平行，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
11．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，平角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用，，得出，结合，再利用平角的性质得出，即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（2025·山东济南·中考真题）如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时， ．
【答案】97
【分析】本题考查正多边形内角和问题，平行线的性质，先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解．
【详解】解：如图，
正六边形内角和为：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：97．
三、解答题
13．（2025·山东济南·中考真题）已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在和上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的性质，由可得，再证四边形是平行四边形，推出，，等量代换即可得出．
【详解】证明：平行四边形中，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
．
14．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)的度数为．
【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质．
（1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，即可证得结论；
（2）由（1）得，结合已知可证四边形是平行四边形，从而可得的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的度数为．
15．（2023·吉林·中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形其中判定的依据是__________．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，与边分别交于点M，N．求证：是菱形．
【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，（为锐角），则四边形的面积为_________．

【答案】（操作发现），两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（探究提升），见解析；（结论应用），80
【分析】（操作发现），根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可；
（探究提升），证明四边形是平行四边形，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立；
（结论应用），证明四边形是菱形，求得其边长为10，作于Q，利用正弦函数的定义求解即可．
【详解】解：（操作发现），∵两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，
∴，，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（探究提升），∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（结论应用），∵平行四边形纸条沿或平移，
∴，，
∴四边形、、是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∵四边形是菱形，
∴四边形是菱形，
∵四边形的周长为40，
∴，
作于Q，

∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
故答案为：80．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
一、单选题
1．下列图形中，由能得到的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理分别进行分析即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【详解】解：、和互为同旁内角，同旁内角相等不能得到，故不符合题意；
、若，则，内错角相等；两直线平行，故符合题意；
、若，则，故不符合题意；
、和为同旁内角，同旁内角相等不能得到，故不符合题意；
故选：．
2．如图，因为，，所以与重合的理由是（　　）
A．垂线段最短
B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线
D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【分析】本题考查垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．
由垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断．
【详解】解：因为，，所以与重合的理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：D．
3．下列推理正确的是（ ）
A．因为，所以和是对顶角
B．因为，所以
C．因为，所以
D．因为，所以
【答案】B
【分析】本题考查等式的基本性质，对顶角，平行线的性质和垂直的性质，利用以上知识点对选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵ 相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，∴ 推理错误．
B、∵ 如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行，∴ 推理正确．
C、∵ 如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行的前期条件是同一平面，而选项没有这个前提条件，∴ 推理错误．
D、∵ 由，当时，不一定相等，∴ 推理错误．
故选：B．
4．一把直尺和一块三角板（，角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，正确掌握平行线的性质是解题的关键．
根据“两直线平行，同位角相等”，再根据角之间的和差关系即可求解．
【详解】解：根据题意可知，，，
则，
，
．
故选：B．
5．如图，，交于点E，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
由邻补角的关系可求出的度数，运用两直线平行，内错角相等即可求出的度数，．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
6．如图，，垂直于于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质、垂线，根据平行线的性质，可以求得，然后根据的度数和，即可得到的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7．如图，在中，、分别是边、上的点，过点作交的延长线于点．若，，，则的长是（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．证明，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
8．如图，点E，F在上，，，，下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识．利用线段的和差即可判断A选项；利用“”即可证明，判断B选项；利用全等三角形的性质和平行线的判定，即可判断C、D选项．
【详解】解：，
，
，A选项正确；
在和中，
，
，B选项正确；
，
，，
，
，C选项不正确，D选项正确．
故选：C．
9．如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质及平行线的判定和性质，准确构造辅助线是解题的关键．
过点C作直线a的平行线，根据平行线的性质及等边三角形的性质即可得答案．
【详解】解：如图，过点C作，
直线，
，
，
等边三角形，
，
，
，
，
故选：B．
10．如图，中，，直线垂直平分，点是上一点，点是上一点，连接，，若的面积为10，，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质与最短路径问题，解题的关键是利用垂直平分线的性质将转化为，再结合垂线段最短确定最小值．
由直线垂直平分得，则；当、、共线且时，最小，此时为的高，结合面积公式求出即可．
【详解】解：连接，
直线垂直平分，
，
当、、共线且时，取得最小值，即的长．
由的面积，，得，解得，
故的最小值为5．
故选：B．
二、填空题
11．若，的两边分别与的两边平行，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是平行线的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．根据当两角的两边分别平行时，两角的关系可能相等也可能互补，即可得出答案．
【详解】解：当的两边与的两边如图所示时，；
当的两边与的两边如图所示时，
；
故答案为：或．
12．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线性质，此题关键是证明和为等腰三角形．先利用两直线平行，内错角相等得，，再因为和的平分线交于点，得，，通过等量代换，，得出和为等腰三角形最后运用等腰三角形性质即可求得结论．
【详解】解：∵，
∴，．
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴和为等腰三角形，
∴，．
∵，，
∴．
故答案为：．
13．如图，太阳光平行照射在放置于地面的六边形上．若六边形的每个内角都相等，且，则 ．
【答案】41°
【分析】此题考查多边形的内角与外角、平行线的性质，熟记多边形的外角和是及“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
由每个内角都相等的六边形的每个外角都相等得出，根据三角形的内角和得出，即可根据三角形的外角定理和平行线的性质求解．
【详解】解：如图，延长交于点，则．
六边形的每个内角都相等，
其每个外角都相等，
，
．
，
．
故答案为：．
14．“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接．若，则的度数为 ．
【答案】/45度
【分析】此题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和．
根据平行线的性质得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
15．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，若，则等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了邻补角、折叠的性质等知识点，掌握折叠的性质是解题的关键．
根据邻补角的性质可得，再根据折叠的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，
∴．
故答案为：．
16．如图，，，分别是直线，之间的点，连接，，，，已知，，当时，的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，通过作平行线将角进行转化是解题的关键．
过点作，过点作，通过“两直线平行，同旁内角互补”得，进而得，根据、与、 的数量关系，得出的和，结合辅助线的平行关系，将、转化为、，即可得的度数．
【详解】解：如图，过点作，过点作，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
三、解答题
17．如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，．
(1)试说明：；
(2)若平分，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
（1）根据题意可得，进而可知，结合可证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论；
（2）根据平分线的定义及平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：平分
、
．
18．如图：已知，，．
(1)求证：；
(2)若平分，于，，求的度数．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)的度数为．
【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义．
（1）由得，进而得；结合，得，即可证得结论；
（2）由得，由平分，可得，由，可得；由且，可得，可得，即可得的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴由得．
∵于点F，，
∴，即，
∴，
∴．
∴的度数为．
19．如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键．
（1）由角平分线的定义可得的度数，由垂线的定义可得的度数，据此可得答案；
（2）设，，则可推出，根据垂线的定义可推出，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵平分，，
，
，
，
；
（2）解：，
∴可设，，
平分，
，
，
，
，
，
即，
∴，即．
20．如图，在三角形中，、分别是、边上的点，点，在边上，连接，，，已知，．
(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）利用平行线的判定及性质即可求证结论；
（2）利用平行线的性质及角平分线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
平分，
，
，
．
21．如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．

(1)若，，求的度数；
(2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，：
①当时，若，求的度数；
②试探究与的数量关系．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键．
（1）过点B作，则，由平行线的性质可得，据此可得答案；
（2）①如图所示，过点B作，则，由平行线的性质可推出；再求出，；过点D作，则，则，据此由角的和差关系可得答案；②仿照（2）①求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作，

∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图所示，过点B作，

∵，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴；
如图所示，过点D作，则，
∴，
∴
；
②如图所示，过点B作，过点D作，则，

同理可得，，
∵，，
∴，
∴
．
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块四 三角形
专题2 相交线与平行线
【考点一】对顶角与邻补角
1.相交线：有一个公共点的两条直线是相交线，这个公共点叫交点
☆(1)相交指的是同一平面内两条直线的一种位置关系;(2)两条直线相交有且只有一个交点.
2.对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
3.邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
4.对顶角的性质：对顶角相等．
5.邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
6.提示：邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
7.邻补角与补角的关系
(1)互为邻补角是互为补角的特殊情况，互为邻补角的两个角除具备两角互补这一数量关系外，还要具备相邻的位置关系;
(2)一个角的邻补角最多有两个，但一个角的补角可以有多个
【考点二】垂直、垂线段
1.垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2．表示符号：直线 A B、C D 互相垂直，记作＂＂，读作＂ 垂直于 ＂。
3．推理格式：
如图 ，因为 （已知），所以 （垂直的定义）。
反过来：因为 （已知），所以 （垂直的定义）．
4.垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
基本事实中的唯一性隐含着两个关键条件不能少:一是“同一平面”;二是过一点，这一点可以在已知直线上也可以在已知直线外
5.垂直平分线
我们把垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线
6.垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
7.点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
(1)垂线段与点到直线的距离的区别:垂线段是一个几何图形,而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度(2)点到直线的距离与两点间的距离的区别:
两点间的距离 点到直线的距离
定义 连结两点的线段的长度. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度
性质 两点之间，线段最短 垂线段最短
【考点三】同位角、内错角、同旁内角
1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
位置特征
角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征
同位角 在截线同侧，在两条被截直线同一方 形如字母“F”(或倒置、反置、旋转的字母“F”）
2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
位置特征
角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征
内错角 在截线两侧，在两条被截直线之间 形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转的字母“Z”）
3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
位置特征
角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征
同旁内角 在截线同旁，在两条被截直线之间 形如字母“U”(或倒置、反置、旋转）
4.注意：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
【考点四】平行及平行公理
1.定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
☆平行线定义的三要素:
(1)在同一平面内;(2)不相交;(3)都是直线
2.表示方法
用＂∥＂表示平行，如图所示，两条 直 线 、 互相平行记作＂ ＂或＂ ＂，读作＂ 平行于 ＂或＂ 平行于 ＂．
（1）3.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
4.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
【考点五】平行线的判定
1.判定定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
2.判定定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
3.判定定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
4.判定方法4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
5.判定方法5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
【考点六】平行线的性质
1.性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
2.性质定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
3.性质定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
【考点七】平行线的性质与判定综合题解题方法
1.平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
2.应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
3.平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
4.辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
【题型一】对顶角的定义
◇典例1：
下列图形中，和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，直线，相交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型二】邻补角的定义
◇典例2：
如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对．
◆变式训练
1.如图，已知直线与相交于点，平分，．
(1)求和的度数；
(2)求的度数．
2.如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分．
若，求和的度数；
【题型三】垂线的定义
◇典例3：
如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ．
◆变式训练
1.在下列各图中，分别过点P画的垂线．
2.下列说法中，错误的是（ ）
A．两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为邻补角
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【题型四】垂线段最短
◇典例1：
下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ．
2.如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ．
【题型五】同位角、内错角、同旁内角
◇典例5：
如图，和是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.如图，则图中内错角共有 对．
2.如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角．
【题型六】平面内两直线的位置关系
◇典例6：
将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
◆变式训练
1.如图，这是一个正方体．
(1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离．
(2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？
2.在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（ ）
A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直
【题型七】平行公理及推论的应用
◇典例7：
如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数条
◆变式训练
1.如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ．
2.下列说法中不正确的是（　　）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
【题型八】平行线的判定
◇典例8：
已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
◆变式训练
1.已知：如图，直线，被直线所截，与互补．求证：．
2.张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下：
甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行；
乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行；
丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行；
对三位同学的答案判断正确的是 ．
【题型九】平行线的性质
◇典例9：
如图，已知点C在上，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数．
2.如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型十】根据平行线的性质探究角的关系
◇典例10：
如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ）
B．
C． D．
◆变式训练
1.已知直线，点M、N分别在直线、上．
(1)如图1，点E在直线、之间，求证：；
(2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明；
(3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数．
2.综合与实践
如图1，，为直线上的点，和交于点．
(1)若，则的度数是______．
(2)写出之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数．
【题型十一】根据平行线判定与性质求角度与证明
◇典例11：
光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明．
解：因为（已知）
所以（____________）
因为（已知）
所以______（两直线平行，同旁内角互补）
所以（____________）
因为、分别是和的角平分线（已知）
所以，（____________）
所以______（等式性质）
因为（已知）
所以（____________）
所以（____________）
所以（____________）
2.如图，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)若平分，平分，且，求的度数．
【题型十二】根利用平行线间距离解决问题
◇典例12：
如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．14
◆变式训练
1.如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而 .（填“增大”、“保持不变”或“减小”）
2.如图，在长方形内画了一些直线，已知其中有块面积分别是，，的三角形、三角形、四边形，那么图中阴影部分的面积是 ．
一、单选题
1．（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
2．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·四川巴中·中考真题）如图，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
5．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2013·四川攀枝花·中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则 ．
10．（2025·四川广安·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，a，b为两条平行的光线，，则的度数为 ．
11．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则 ．
12．（2025·山东济南·中考真题）如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时， ．
三、解答题
13．（2025·山东济南·中考真题）已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在和上，且．求证：．
14．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
15．（2023·吉林·中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形其中判定的依据是__________．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，与边分别交于点M，N．求证：是菱形．
【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，（为锐角），则四边形的面积为_________．

一、单选题
1．下列图形中，由能得到的是（ ）
A．B．C． D．
2．如图，因为，，所以与重合的理由是（　　）
A．垂线段最短
B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线
D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3．下列推理正确的是（ ）
A．因为，所以和是对顶角
B．因为，所以
C．因为，所以
D．因为，所以
4．一把直尺和一块三角板（，角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，交于点E，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，垂直于于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，、分别是边、上的点，过点作交的延长线于点．若，，，则的长是（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
8．如图，点E，F在上，，，，下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，中，，直线垂直平分，点是上一点，点是上一点，连接，，若的面积为10，，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
11．若，的两边分别与的两边平行，则的度数为 ．
12．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为 ．
13．如图，太阳光平行照射在放置于地面的六边形上．若六边形的每个内角都相等，且，则 ．
14．“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接．若，则的度数为 ．
15．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，若，则等于 ．
16．如图，，，分别是直线，之间的点，连接，，，，已知，，当时，的度数为 ．
三、解答题
17．如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，．
(1)试说明：；
(2)若平分，，求的度数．
18．如图：已知，，．
(1)求证：；
(2)若平分，于，，求的度数．
19．如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
20．如图，在三角形中，、分别是、边上的点，点，在边上，连接，，，已知，．
(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
21．如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．

(1)若，，求的度数；
(2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，：
①当时，若，求的度数；
②试探究与的数量关系．
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