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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块四 三角形
专题4 等腰三角形的性质与判定
【考点一】 等腰三角形的性质
1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰．
2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
4. 拓展：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
【考点二】等腰三角形的判定
1.判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
2.拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
【考点三】 等边三角形及其性质
1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
3.拓展：
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
【考点四】 等边三角形的判定
1.判定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【题型一】等腰三角形的定义
◇典例1：
已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．18 C．16或18 D．14或16
◆变式训练
1.若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 ．
2.已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是 ．
【题型二】等边对等角
◇典例2：
如图，点在上，．
(1)求证： ；
(2)若，求的度数．
◆变式训练
1.如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为 ．
2.如图，钢架中，，焊上等长的钢条，，，…来加固钢架．若，且恰好用了根钢条，则的取值范围是 ．
【题型三】三线合一
◇典例3：
如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◆变式训练
1.如图，，是的垂直平分线，则的度数为 ．
2.补全过程或依据：如图，在中，，点为边的中点，为上一点，连接，使得．若，求的度数．
解：在中，，
，（等腰三角形两底角相等）
点为边的中点
（）
，
（）
【题型四】等角对等边
◇典例4：
如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，中，，将沿直线平移到的位置（使点与点重合，点B、C、E在一条直线上），连接，求证：．
2.如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ．
【题型五】 找出图中的等腰三角形
◇典例5：
如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
◆变式训练
1.如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
2.如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型六】格点中画等腰三角形
◇典例6：
如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
◆变式训练
1.如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个．
2.如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型七】直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形
◇典例7：
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
◆变式训练
1.如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P．
2.如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个.
【题型八】求与图形中任两点构成等腰三角形的点
◇典例83：
如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
◆变式训练
1.如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ．
2.如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？
【题型九】根据等边三角形的性质求长度
◇典例9：
如图，与都是等边三角形，点，，在同一直线上，连接，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，等边的边长为2，点、分别在边、上（不与的顶点重合），将沿翻折，点落在点处，则三个阴影三角形的周长和为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2.如图，在中，B为边上一点，连接，恰为等边三角形，，则的长度为 ．
【题型十】根据等边三角形的性质求角度
◇典例10：
如图，设和都是正三角形，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2.已知直线，等边的顶点刚好落在上，与交于点．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【题型十一】根据等边三角形的性质证明
◇典例11：
如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
◆变式训练
1.如图，是的中线，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的长．
2.已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【题型十二】证明是等边三角形
◇典例12：
在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形．
◆变式训练
1.如图，已知点、、、在同一条直线上，与交于点，，，若，求证：是等边三角形．
2.如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点，，求证：是等边三角形．
【题型十三】与等边三角形有关的折叠问题
◇典例13：
如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是 ．
◆变式训练
1.如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则 °．
2.如图，已知等边中，点D，E分别在边，上，把沿直线翻折，使点B落在点处，，分别交边于点F，G.若，则的度数为 度．

【题型十四】等边三角形中的动点问题
◇典例14：
如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒．
◆变式训练
1.如图，在中，厘米，点从点开始以1厘米/秒的速度向点运动，点从点开始以2厘米秒的速度向点运动，两点同时运动，当运动时间为 秒时，是等边三角形．
2.如图，等边三角形的边长为，电子蚂蚁从点A以秒的速度沿等边三角形的边顺时针运动，同时电子蚂蚁从点A以/秒的速度沿等边三角形的边逆时针运动，则电子蚂蚁和第2023次相遇在 ．
【题型十五】等边三角形中的多结论问题
◇典例15：
如图，已知等边，，点D在上，点F在的延长线上，，于E，于G，交于点P，则以下结论：①；②；③；④中，一定正确的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④
◆变式训练
1.已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，对于，若存在点分别在上，使得 ，则称为的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，①若的“反射三角形”存在，则必为锐角三角形；②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形；③直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形；④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，正确的是 ．
一、单选题
1．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ）
A． B． C． D．平分
3．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（ ）
A． B．6 C．8 D．
4．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地．
甲：，路程为．
乙：，路程为．
丙：，路程为．
下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在正五边形中，的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
8．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024·湖南·中考真题）若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角的度数为 ．
10．（2025·青海西宁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为 ．
11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则 度．
12．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ．
三、解答题
13．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，则与l的位置关系是________．
14．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．
(1)求的大小；
(2)求证：是等边三角形．
15．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
一、单选题
1．下列能判定为等腰三角形的是（　　）
A． B．
C． D． ，周长为13
2．等腰三角形一个角为，则顶角的度数可能为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．已知等腰三角形的周长为，，与全等，则的边（ ）
A．2 B．5或8 C．2或5或8 D．2或7或8
4．如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
5．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，，交于点F，，若，且，则BE的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．如果等腰三角形的一边长为2，一边长为5，那么它的周长是（ ）
A．14 B．9 C．9或12 D．12
8．如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，是角平分线的交点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（）
A．9 B．13 C．12 D．14
二、填空题
11．已知等腰三角形的两边长，满足，这个等腰三角形的周长为 ．
12．如图，在中，，，作的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长度是 ．
13．在等腰中，，，点在射线上，连接，，则 度．
14．等腰中，，边的垂直平分线交边于点D，连接，若为等腰三角形，则的度数为 ．
15．如图，等边三角形的边长是，动点分别从两点同时出发，沿边匀速运动，的运动速度分别是，当点N到达点B时，两点均停止运动．当是直角三角形时，点M的运动时间的值为 ．
16．如图，是等腰三角形，是底边上任意一点，过作于，作于，若，的面积为，则
三、解答题
17．如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长度．
18．如图，等边的边长为4，点D、B、C、E在同一直线上，，．
(1)求证：；
(2)直接写出的长为 ．
19．如图，为等边三角形，点为边上一点，连接，在右侧作，且，分别连接．猜想的形状，并说明理由．
20．如图1，在中，点，在上，，连接，，．
(1)求证：是等腰三角形：
(2)如图2，在（1）的条件下，于点，，，，交于点，若是的中线，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中面积等于的面积的2倍的所有三角形．
21．如图，中，，点D在边上，以为边在右侧作等边，连接．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块四 三角形
专题4 等腰三角形的性质与判定
【考点一】 等腰三角形的性质
1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰．
2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
4. 拓展：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
【考点二】等腰三角形的判定
1.判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
2.拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
【考点三】 等边三角形及其性质
1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
3.拓展：
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
【考点四】 等边三角形的判定
1.判定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【题型一】等腰三角形的定义
◇典例1：
已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．18 C．16或18 D．14或16
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，将两个全等的直角三角形拼成等腰三角形时，有两种可能的拼接方式：沿直角边或拼接，形成底边为或的等腰三角形，两腰均为斜边；或者沿斜边拼接，但此时无法形成三角形．根据分析求出周长即可．
【详解】解：①沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长．
②沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长．
③沿斜边拼接，但此时无法形成三角形．
综上，等腰三角形的周长为或，
故选：C．
◆变式训练
1.若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题关键是正确求解方程组．
先求出二元一次方程组的解，再根据腰的取值不同，分两种情况讨论求解，求得等腰三角形的周长．
【详解】解：方程组，解得：，
∵方程组的解恰为等腰三角形的两边长，
∴当腰长为2时，
三边长为2，2，4，，不能构成三角形；
当腰长为4时，
三边长为4，4，2，，能构成三角形，
此时等腰三角形的周长为，
故答案为：．
2.已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将变形为，根据三角形的边长为正数，得出，即可得出，可得答案．
【详解】解： ，
，
∴，
∵a、b、c是的三边长，
∴，
∴，
∴，
的形状为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【题型二】等边对等角
◇典例2：
如图，点在上，．
(1)求证： ；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识．
（1）利用证明三角形全等即可．
（2）由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出，，再根据等边对等角得出，最后根据平角的定义求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
即．
，，，，
，
．
（2）解：，
，
又，
又，
，
．
◆变式训练
1.如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为 ．
【答案】/42度
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据旋转的性质可得，，，再根据等腰三角形的性质可得，由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由旋转得，，，
，
，
，
故答案为：．
2.如图，钢架中，，焊上等长的钢条，，，…来加固钢架．若，且恰好用了根钢条，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，一元一次不等式组，以及三角形的外角性质，掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到与之间的关系，从而不难求解．
【详解】解：，，，，
，，，，
，
要使得这样的钢条恰好焊上根，
，
由题意得：，
，
故答案为：．
【题型三】三线合一
◇典例3：
如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质定理，根据等腰三角形三线合一的性质可判断（1）（2）（3），根据角平分线的性质定理可判断（4）．
【详解】解：∵平分，
∴，，，
故（1）（2）（3）正确，
∵平分，
∴，
∴
故（4）正确，
综上，一共有4个正确，
故选：D
◆变式训练
1.如图，，是的垂直平分线，则的度数为 ．
【答案】/55度
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一，解题的关键是掌握以上知识点．
先求出，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得．
【详解】解：∵，
，
∵是的垂直平分线，
，
，
故答案为：．
2.补全过程或依据：如图，在中，，点为边的中点，为上一点，连接，使得．若，求的度数．
解：在中，，
，（等腰三角形两底角相等）
点为边的中点
（）
，
（）
【答案】①；②三线合一定理；③35；④等腰三角形两底角相等；⑤20
【分析】本题主要考查了三线合一定理，等边对等角，根据三线合一定理，等边对等角和已给推论过程求解即可．
【详解】解：在中，，
∴，（等腰三角形两底角相等）
点为边的中点
（三线合一定理）
，
（等腰三角形两底角相等）
．
【题型四】等角对等边
◇典例4：
如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，由角平分线定义可得，由平行线的性质可得，则，所以，同理，然后由的周长，，可得，最后由的周长即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∵的周长，，
∴，
∵的周长为
，
∴的周长是，
故选：．
◆变式训练
1.如图，中，，将沿直线平移到的位置（使点与点重合，点B、C、E在一条直线上），连接，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平移的性质证明，等角对等边，根据平移性质得到，根据等角对等边得到，进而得到结论．
【详解】解：将沿直线平移到，
，
，
，
．
2.如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得．
【详解】解：由折叠的性质得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【题型五】 找出图中的等腰三角形
◇典例5：
如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键．
根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可．
【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：B．
◆变式训练
1.如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，，
∴ ，
∴，，
∴、是等腰三角形，
∵，，
∴，，
∴、是等腰三角形，
故图中共有5个等腰三角形，
故选：C．
2.如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由对折后重合得相等的线段和相等的角，由平行线得相等的角，再得相等的线段，判断出等腰三角形；
【详解】解：由对折后重合得，，，
，，
和为等腰三角形，
，
，
，，
，，
和为等腰三角形，
因此共有个等腰三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，在图形中找出相应条件是解题关键．
【题型六】格点中画等腰三角形
◇典例6：
如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分为底和腰两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
【详解】解：如图所示，分以下情况讨论：
①当为等腰底边时，符合条件的点有个：；
②当为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个：；
∴点的个数是个，
故选：A．
◆变式训练
1.如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个．
【答案】6
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质．结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形的底边；②为等腰直角三角形的一条腰； 接下来分别找出上述两种情况下满足条件的点的个数，然后相加即可得到答案．
【详解】解：如图，分情况讨论：
①为等腰直角三角形的底边时，符合条件的P点有2个；
②为等腰直角三角形的一条腰时，符合条件的P点有4个．
所以使得为等腰直角三角形的点P有6个．
2.如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论．
【详解】解：如图，
由图得满足条件的格点P有5个，
故选：C．
【题型七】直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形
◇典例7：
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
【答案】4
【分析】分别以A、B为圆心，以AB为半径作圆，再作AB的垂直平分线，即可得出答案．
【详解】解：以A为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有一个交点；
同理以B为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有两个交点；
作AB的垂直平分线与BC有一个交点，
即有1+2+1＝4个，
故答案为4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
◆变式训练
1.如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P．
【答案】见解析
【分析】根据等腰三角形的定义找到符合题意的点．
【详解】解：如图，
AE=P1E，AP2=AE，AP3=EP3，AE=EP4，AP5=EP5，
则共有5个点P，使得△AEP为等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．
2.如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个.
【答案】4
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
【详解】解：如图，
①以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、，
此时，和为等腰三角形，
②以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点，
此时，为等腰三角形，
③作的垂直平分线，与与直线交于点，
此时，为等腰三角形，
即满足条件的点位置有4个，
故答案为：4．
【题型八】求与图形中任两点构成等腰三角形的点
◇典例8：
如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理．
【详解】解：如图，
∵在中，，，
∴，
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当与重合时，为等腰三角形；
当与重合时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
综上，满足条件的点的位置有个．
故选：C．
◆变式训练
1.如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ．
【答案】100°或55°或70°
【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解．
【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°，
②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，
∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，
如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°，
如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，
综上所述，顶角为105°或55°或70°．
故答案为：100°或55°或70°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．
2.如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？
【答案】6或18
【分析】分点P在线段OC上和点P在线段OB上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
（1）点P在线段OC上时，若ΔPOQ是等腰三角形，则只有OP=OQ才满足
因此有18 2t=t
解得t=6(s)
（2）点P在线段OB上时，若ΔPOQ是等腰三角形，
∵
∴ΔPOQ也是等边三角形
因此有2t 18=t
解得t=18(s)
综上，当t等于6s或18s时，ΔPOQ是等腰三角形
故答案为：6或18．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
【题型九】根据等边三角形的性质求长度
◇典例9：
如图，与都是等边三角形，点，，在同一直线上，连接，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：与都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
◆变式训练
1.如图，等边的边长为2，点、分别在边、上（不与的顶点重合），将沿翻折，点落在点处，则三个阴影三角形的周长和为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，应用转化思想是解题的关键．
由折叠的性质可得，再把三个阴影三角形的周长和转化成等边的三边之和，即可解答．
【详解】解：∵由折叠的性质可得：，
∴三个阴影三角形的周长和为：，
∵，，
∴三个阴影三角形的周长和，
故选：B．
2.如图，在中，B为边上一点，连接，恰为等边三角形，，则的长度为 ．
【答案】14
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，根据等边三角形的性质求出，然后根据等角对等边得出，即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为∶14．
【题型十】根据等边三角形的性质求角度
◇典例10：
如图，设和都是正三角形，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后设，从而可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：∵和都是正三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
◆变式训练
1.已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形是解题关键．根据等边三角形的性质证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
故选：B．
2.已知直线，等边的顶点刚好落在上，与交于点．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的判定和性质．作，先由平行线的性质得到，再判定，由平行线的性质得到，最后根据平角的性质即可求解．
【详解】解：∵等边，
∴，
作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【题型十一】根据等边三角形的性质证明
◇典例11：
如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得，再由，，可得．
（2）先根据证明，即可得到，然后证明即可得到结论．
【详解】（1）是等边三角形
，
，
由旋转的性质得
∴
．
（2）由旋转的性质得，
是等边三角形，
，，
，
，
◆变式训练
1.如图，是的中线，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的长．
【答案】4
【分析】本题考查的是折叠变换，等边三角形的判定与性质；解题的关键是利用折叠的性质，得出是等边三角形．根据折叠的性质可得，，根据点D是的中点，得出是等边三角形，据此即可解得的长．
【详解】解：∵是的中线，，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点E处，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
2.已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边三角形的性质结合题意可得，由角平分线的定义可得，利用得出；
（2）证明，由全等三角形的性质结合等边三角形的性质可得，最后再由全等三角形的性质即可得解．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【题型十二】证明是等边三角形
◇典例12：
在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据角平分线的定义可得，根据题意可推出，证明，即可证明；
（2）由，结合题意可推出，，证明，得到，，证明是等边三角形，得到，推出，结合，即可证明．
【详解】（1）证明：平分，
，
在和中，，
；
（2）如图，在上截取，连接，
，
在和中，
，
，
是等边三角形，
，
，
为等边三角形．
◆变式训练
1.如图，已知点、、、在同一条直线上，与交于点，，，若，求证：是等边三角形．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，先根据三边分别相等的三角形是全等三角形，则，故，再结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
2.如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点，，求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】此题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．由在中，，，易得，，又由平分，，，即可证得，继而证得：为等边三角形．
【详解】证明：在中，，，
，，
，，
平分，
，
，，
，
，
，
为等边三角形．
【题型十三】与等边三角形有关的折叠问题
◇典例13：
如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是 ．
【答案】5
【分析】如图，连接BD，OB，由折叠的性质可得EF是BD的对称轴，可得OB=OD，当点B，点O，点C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5．
【详解】解：如图，连接BD，OB，
∵将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，
∴EF是BD的对称轴，
∴OB=OD，
∵AD=1，AC=3，
∴CD=2，
∵△OCD周长=CD+OD+OC=2+BO+OC，
∴当点B、O、C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了翻折变换，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
◆变式训练
1.如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则 °．
【答案】/度
【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和等知识，先由等边三角形的性质可知，利用，求出，从而利用三角形的内角和求出，也就是的角度，掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解： ∵是等边三角形，
，
由折叠的性质可知：，，
又 ，
∴，
∴，
故答案为：
2.如图，已知等边中，点D，E分别在边，上，把沿直线翻折，使点B落在点处，，分别交边于点F，G.若，则的度数为 度．

【答案】
【分析】根据等边三角形的性质，折叠的性质，得到，结合，根据三角形内角和定理，对顶角的性质得，根据得，计算即可．
【详解】∵等边，沿直线翻折，使点B落在点处，
∴，
∵，
根据三角形内角和定理，对顶角的性质得
∴，
∵，
∴，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【题型十四】等边三角形中的动点问题
◇典例14：
如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒．
【答案】1或3/3或1
【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
由等边的边长为，点是的中点，可求得的长，然后，可得为等边三角形，分析为等边三角形即可求得答案．
【详解】解：∵等边的边长为，点是的中点，
∴，
∴当是等腰三角形时，可得三角形为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵动点的速度为/秒，
∴当从时，，当从时，．
故答案为：1或3．
◆变式训练
1.如图，在中，厘米，点从点开始以1厘米/秒的速度向点运动，点从点开始以2厘米秒的速度向点运动，两点同时运动，当运动时间为 秒时，是等边三角形．
【答案】2
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，设运动时间为t秒，则，则，根据等边三角形的性质得到，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：设运动时间为t秒，
由题意得，，则
∵是等边三角形，
∴，
∴，
解得，
∴当运动时间为2秒时，是等边三角形．
故答案为：2．
2.如图，等边三角形的边长为，电子蚂蚁从点A以秒的速度沿等边三角形的边顺时针运动，同时电子蚂蚁从点A以/秒的速度沿等边三角形的边逆时针运动，则电子蚂蚁和第2023次相遇在 ．
【答案】的中点处
【分析】根据题意可得当电子蚂蚁和第1次相遇时，相遇点在的中点处，当电子蚂蚁和第2次相遇时，相遇点在点C处，当电子蚂蚁和第3次相遇时，相遇点在的中点处，当电子蚂蚁和第4次相遇时，相遇点在点B处，当电子蚂蚁和第5次相遇时，相遇点在的中点处，当电子蚂蚁和第6次相遇时，相遇点在点A处，当电子蚂蚁和第7次相遇时，相遇点在的中点处，……，由此可得每六个一循环，即可求解．
【详解】解：根据题意得：每间隔1秒，电子蚂蚁和相遇，
当电子蚂蚁和第1次相遇时，相遇点在的中点处，
当电子蚂蚁和第2次相遇时，相遇点在点C处，
当电子蚂蚁和第3次相遇时，相遇点在的中点处，
当电子蚂蚁和第4次相遇时，相遇点在点B处，
当电子蚂蚁和第5次相遇时，相遇点在的中点处，
当电子蚂蚁和第6次相遇时，相遇点在点A处，
当电子蚂蚁和第7次相遇时，相遇点在的中点处，
……，
∴每六个一循环，
∵，
∴电子蚂蚁和第2023次相遇在的中点处．
故答案为：的中点处
【题型十五】等边三角形中的多结论问题
◇典例15：
如图，已知等边，，点D在上，点F在的延长线上，，于E，于G，交于点P，则以下结论：①；②；③；④中，一定正确的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明三角形全等．
根据等边三角形的性质可以得出，得，可用得，得出，根据边之间的关系即可得，综上，即可得．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，．
∵，，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，故①正确；
在和中，
，
∴，故②正确；
∴，
不一定等于，当时，，故③错误；
∵，
∴．
∵，
∴．故④正确．
正确的有①②④，
故选：D．
◆变式训练
1.已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是根据等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，正确；
∴，
∵，
∴，，
∴，正确；
∵，，
∴，正确；
只有当时，，②不一定正确；
故选：C．
2.如图，对于，若存在点分别在上，使得 ，则称为的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，①若的“反射三角形”存在，则必为锐角三角形；②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形；③直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形；④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了“反射三角形”，属于新定义问题，还涉及到三角形内角和定理，等腰及等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，读懂题意，合理利用三角形内角和定理是解决问题的关键．根据反射三角形的定义及三角形内角和定理求出，再逐个判断即可．
【详解】解：，
当时，，
钝角三角形或直角三角形不存在反射三角形，
只有锐角三角形存在反射三角形，
故①正确，符合题意；
当是等边三角形时，，
是等边三角形，
故②正确，符合题意；
当时，，
直角三角形不存在反射三角形
故③错误，不符合题意；
当是等腰三角形时，假设，
等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，
故④正确，符合题意；
故选：①②④．
一、单选题
1．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
由三角形的外角性质，得：，
∴．
故选：C．
2．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ）
A． B． C． D．平分
【答案】B
【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可．
【详解】解：当时，
∵点在上，
∴，
∴，
∴；故选项A不符合题意；
∵，
∴，不能得到；故选项B符合题意；
∵，
∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意；
故选B
3．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（ ）
A． B．6 C．8 D．
【答案】C
【分析】先证明，得到，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：∵在等边三角形中，是边上的中线，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：
,
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键．
4．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．
∴，
∴
故选：C
5．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地．
甲：，路程为．
乙：，路程为．
丙：，路程为．
下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较．
设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出．
【详解】设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形，
∴；
由于和是等边三角形，设的边长为m，
可得，
∴；
丙路程中，延长与，交于点I（如图），
∵，两边同加得，
∴，又
∴，又，
因此，，只有D选项正确．
故选：D．
6．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在正五边形中，的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边对等角，先求出正多边形的一个内角的度数，等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：由题意，，，
∴，
∴；
故选B．
7．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键．
根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
故选：C．
8．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果．
【详解】解：∵为BC的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，在中，，
∴；
故选B．
二、填空题
9．（2024·湖南·中考真题）若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角的度数为 ．
【答案】100
【分析】根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为，
∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为，
∴等腰三角形的顶角的度数为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键．
10．（2025·青海西宁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分3为腰长和7为腰长，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当3为腰长时，第三边长为3，，不能构成三角形，不符合题意；
当7为腰长时，第三边长为7，，能构成三角形，符合题意；
故第三边长为7；
故答案为：7．
11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则 度．
【答案】40 或60
【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．
根据题意分两种情况，当点D在射线上时，当点D在线段上时，作出图形，然后根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：当点D在射线上时，如图所示：
∵，，
∴，
∵点D在射线上，且在点B之外，
∴，即，
∴，
∴；
当点D在线段上时，如图所示：
∵，，
∴，
∵点D在线段上，且在点B之内，
∴，
∴；
故答案为：40 或60．
12．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ．
【答案】7或9/9或7
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则，利用勾股定理得出得长度，根据三角形面积公式得出长，设，则，表示出，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴在中，，即，
解得，即，
解得或9，
即或9，
故答案为：7或9．
三、解答题
13．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，则与l的位置关系是________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定：
（1）证明，得到，即可得证；
（2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
14．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．
(1)求的大小；
(2)求证：是等边三角形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
（1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可；
（2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可．
【详解】（1）解：是等边三角形，
．
D是的中点，
．
，
，
．
（2）由平移可知：，
，
又，
，
∴，
又，
垂直平分，
，
由（1）知，，
，
，
是等边三角形．
15．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；
（1）先证明，结合，，即可得到结论；
（2）先证明，结合即可得到结论.
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即.
一、单选题
1．下列能判定为等腰三角形的是（　　）
A． B．
C． D． ，周长为13
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定定理，有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形，同时需满足三角形三边关系．
【详解】解：选项A：∵,
∴, 三个角均不相等,
∴不能判定为等腰三角形；
选项B：∵,
∴,
∴,
∴,
∴为等腰三角形；
选项C：∵,
∴, 不满足三角形三边关系,
∴不能构成三角形, 故不能判定；
选项D：∵, 周长为13,
∴,
∴，但, 不满足三角形三边关系,
∴不能构成三角形, 故不能判定．
故选：B．
2．等腰三角形一个角为，则顶角的度数可能为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
等腰三角形中，已知角可能为顶角或底角，分两种情况讨论顶角度数即可．
【详解】∵等腰三角形有两个角相等，
∴若为顶角，则顶角为；
若为底角，则另一底角也为，顶角为：；
∴顶角为或，
故选：D．
3．已知等腰三角形的周长为，，与全等，则的边（ ）
A．2 B．5或8 C．2或5或8 D．2或7或8
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，根据等腰三角形的性质，分为腰和为底两种情况，求出三角形的边长，再根据全等三角形的性质，可能等于三角形的任意一边．
【详解】解：∵等腰三角形的周长为，，
当为腰时，另一腰长为8，底边长为；
当为底时，两腰长均为；
∴三角形的边长可能为8，8，2或5，5，8；
∵，
∴可能等于三角形的任意一边，即或5或8．
故选：C．
4．如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
【答案】C
【分析】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的性质，解决本题的核心是直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半．
根据为等边三角形和，可得，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，即可求解．
【详解】解：为等边三角形，
，
，
，
，
，
D为AB的中点，
，
等边三角形的边长为．
故选：．
5．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．先利用等腰三角形等边对等角的性质得出，再根据作图步骤得出直线是线段的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质得到，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
根据作图痕迹，可知是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
6．如图，已知是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，，交于点F，，若，且，则BE的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质，过点D作交于点．先证明，可得，求出，设，则，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后代入求解即可．
【详解】解：如图，过点D作交于点Ｈ．
∵是等边三角形，
∴
∵
∴，
∴是等边三角形
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴
∵是等边三角形，
∴
∴
∴
设
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴．
故选：A．
7．如果等腰三角形的一边长为2，一边长为5，那么它的周长是（ ）
A．14 B．9 C．9或12 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，掌握相关的知识点是解题的关键．
根据等腰三角形的定义，两边可能相等，需结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断有效性，再计算其周长．
【详解】解：∵等腰三角形有两边相等，
∴作分类讨论：①腰为2，底为5；②腰为5，底为2，
对于①：三边为2、2、5，
∵，
不满足三角形三边关系，
∴该情况不存在，
对于②：三边为5、5、2，
∵，，
∴满足三角形三边关系，
∴周长为，
故选D．
8．如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后根据旋转的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据角的和差关系求解即可．
【详解】解：在等腰中，，
∴，
∵绕点C逆时针旋转得到，点A的对应点D落在上，
∴，，，
∴，
∴，
故选：B．
9．如图，在中，是角平分线的交点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，和正切的定义，利用角平分线的性质定理构造相等线段求出是解题关键．
过点O作的垂线，先利用三线合一和勾股定理，求出和，再利用角平分线定理，通过线段关系求出，即可求出正切值．
【详解】解：∵，是角平分线，
∴，，
∴，
如图，过点O作，交于点F，
∵是角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
10．如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（）
A．9 B．13 C．12 D．14
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质等知识，掌握将军饮马模型是解题关键．
连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题．
【详解】解：连接，，
∵直线垂直平分线段．
，
∵点为边的中点，，
周长，
周长的最小值为，
，点为边的中点，
∵,，
，
解得，
周长的最小值为，
故选：C．
二、填空题
11．已知等腰三角形的两边长，满足，这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的定义，三角形的三边关系．根据绝对值和平方的非负性，可得，，再根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，利用三角形三边关系判断，即可求解．
【详解】解：
∴
因为且，所以且，解得，．
当腰为时，三边为，，，但，不满足三角形三边关系，故舍去；
当腰为时，三边为，，，满足三角形三边关系，
周长为．
故答案为：．
12．如图，在中，，，作的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长度是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．连接，由线段垂直平分线的性质可知，，结合已知的，根据等边对等角可得，可证，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半进行计算即可求解．
【详解】解：连接，
，，
，
，
垂直平分，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
故答案为：．
13．在等腰中，，，点在射线上，连接，，则 度．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，分情况讨论是解题的关键．
根据点在射线上的不同位置，分两种情况讨论．当射线在内部时，，结合，可得；当射线在外部时，，结合，可得．
【详解】解：∵在等腰中，，，
∴，
∵点在射线上，
∴，
当射线在内部时，如图，
，
∴；
当射线在外部时，如图，
，
∴；
故答案为：或．
14．等腰中，，边的垂直平分线交边于点D，连接，若为等腰三角形，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可以求得，然后分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可．
【详解】解：∵点D在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
若，则，
∵，，
∴，矛盾，故不可能；
若，则，
在中，
，即，
∴，
又，，
∴，
解得；
若，则，
又，
∴，，
解得，
综上，为或，
故答案为：或．
15．如图，等边三角形的边长是，动点分别从两点同时出发，沿边匀速运动，的运动速度分别是，当点N到达点B时，两点均停止运动．当是直角三角形时，点M的运动时间的值为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质和判定，
设t秒后，是直角三角形，表示，，可得．分两种情况：若时，根据，列出方程，求出解；同理可得若时，根据，可得方程，求出解即可．
【详解】解：设t秒后，是直角三角形，
则，，
∴．
若时，如图，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
即N到达B点时；
同理可得若时，如图，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
综上可得：当或时，是直角三角形．
故答案为：或．
16．如图，是等腰三角形，是底边上任意一点，过作于，作于，若，的面积为，则
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式可得，即可求出的长度．
【详解】解：如下图所示，连接，
，
是等腰三角形，是底边，
，
又，的面积为，
，
．
故答案为：．
三、解答题
17．如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）由等边三角形的性质可得，，从而可证得；
（2）由全等三角形的性质可得，，再根据角的和差关系等量代换可得，从而得到，最后根据含角直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，，
在和中，
，
；
（2）解：，
，，
，
又，
，
，
．
18．如图，等边的边长为4，点D、B、C、E在同一直线上，，．
(1)求证：；
(2)直接写出的长为 ．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质．
（1）根据等边三角形的性质可得，从而得到，即可求证；
（2）根据，列出比例式，进而可得．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵等边的边长为4，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
19．如图，为等边三角形，点为边上一点，连接，在右侧作，且，分别连接．猜想的形状，并说明理由．
【答案】等边三角形，理由见解析
【分析】本题等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质，证明，得到，，即可得出结论．解题的关键是证明．
【详解】解：是等边三角形．
理由如下：
∵为等边三角形，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∴是等边三角形．
20．如图1，在中，点，在上，，连接，，．
(1)求证：是等腰三角形：
(2)如图2，在（1）的条件下，于点，，，，交于点，若是的中线，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中面积等于的面积的2倍的所有三角形．
【答案】(1)见解析
(2)面积等于的面积的2倍的三角形为，，，．
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，全等三角形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）根据等边对等角得出，再根据“”证，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质、中线的性质以及平行四边形的性质可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
又
∴，
∴，即是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
综上，面积等于的面积的2倍的三角形为，，，．
21．如图，中，，点D在边上，以为边在右侧作等边，连接．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)，理由见详解
【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和平行线的判定，解题的关键是熟悉全等三角形的性质．
（1）根据题意可得为等边三角形，结合已知可得和，即有，可利用证明；
（2）由（1）知，，则，设和交于点F，则，由等边三角形得，则，即可判定．
【详解】（1）证明：∵，
∴为等边三角形，
∵为边在右侧作等边，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，，则，
如图，设和交于点F，
则，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
则
，
则．
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