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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块四 三角形
专题1 线段、直线、角、角平分线
【考点一】直线
1. 直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成，两点确定一条直线．
2. 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点．
3. 直线没有端点，没有长度，不可度量．
【考点二】射线
射线只有一个端点，没有长度，不可度量．如下图，“延长射线AB”的说法是错误的，但可以说“反向延长射线AB”．
【考点三】线段
1. 线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示．下图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a．
2. 线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．
3. 线段、射线、直线的区别与联系
线段 射线 直线
图形
表示 线段EF或线段FE 或线段l 射线CD 直线AB或直线BA或直线l
区别 端点 有两个端点 有一个端点 无端点
延伸 不可以延伸 一端可以无限延伸 可以无限延伸
度量 可以度量 不可以度量 不可以度量
联系 都属于“线”，都是直的；线段和射线是直线的一部分
基本事实 两点之间，线段最短 两点确定一条直线
4. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离．
5. 线段的比较：比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较．
6. 线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点．如图，若点O是线段AB的中点，则有AO＝BO＝AB．反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO＝BO＝AB，那么点O为线段AB的中点．
7. 线段的双中点模型：C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则
8. 线段的n等分点：若线段上（n－1）个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这（n－1）个点为这条线段的n等分点．
【考点四】用尺规作图
1. 作一条线段等于已知线段
作法：第一步，作射线AC．第二步，以点A圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AC于点B．则线段AB就是所求作的线段．
2. 作线段的和、差
在直线上作线段AB＝a，再在线段AB的延长线上作线段BC＝b，线段AC就是a与b的和，记作AC＝a+b；
设线段ab，如果在线段AB上作线段BD＝b，那么线段AD就是α与b的差，记作AD＝a－b．
【考点五】角的概念
1. 角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
2. 角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当射线的终止位置和起始位置成一条直线时，形成平角，继续旋转，当射线的终止位置和起始位置重合时，形成周角．
【考点六】角的表示方法
角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
【考点七】角的度量单位
1. 角度制的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制．
2. 角的换算：，；，．
1直角，1平角，1周角．
3. 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°
【考点八】方位角
方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方
位角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．
【考点九】角的平分线
1. 角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．如
图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
2. 角的n等分线：类似角的平分线，若从角的顶点引出的（n1）条射线，将这个角分成相等的n个角，则这（n1）条射线叫作这个角的n等分线．
【考点十】余角和补角
1. 余角和补角：一般地，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称两个角互补，其中一个角是另一个角的补角．
2. 余角和补角的性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．
【题型一】直线、射线、线段和角的概念
◇典例1：
如图，点A、B、C是直线l上的三个点，则图中共有线段、射线条数分别是（　　）
A．2，3 B．3，3 C．3，6 D．2，6
◆变式训练
1.如图，直线l上有A、B、C三点，下列说法正确的有（　　）
①直线AB与直线BC是同一条直线；②射线AB与射线BC是同一条射线；③直线AB经过点C；④射线AB与射线AC是同一条射线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　）
A． B． C． D．
【题型二】直线、射线、线段的性质
◇典例2：
在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（　　）
A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚
◆变式训练
1.如图，从学校A到书店B最近的是①号路线，得出这个结论的根据是（　　）
A．两点确定一条线段 B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短 D．两点之间，线段最短
2.如图，从小明家到学校有4条路，其中沿路线③走最近，其数学依据是　 　 ．
【题型三】直 两点间的距离
◇典例3：
线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，点N为线段BC的三等分点，求线段MN的长为　 　 cm．
◆变式训练
1.如图，点C在线段AB上，D、E分别为AC、AB的中点，若CB＝5cm，则DE的长为　 　 cm．
2.延长线段AB到点C，使得BC：AB＝1：2，则AC：AB的值是　 　 ．
【题型四】钟面角与角的换算
◇典例4：
如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，则时针与分针所成的角（小于平角）是　 　 ．
◆变式训练
1.如图所示，钟表上的时间下午3：30时，时针与分针之间所成的角的度数是 　 　 °．
2.．角的换算：108°20′42″＝　 　 度．
【题型五】 角平分线的定义
◇典例5：
如图所示，已知O是直线AB上的一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2＝　 　 ．
◆变式训练
1.如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∠MON等于 　 　 度．
2.如图，OB是∠AOD的角平分线，OD是∠BOE的角平分线，OC是∠BOD的角平分线，∠AOE＝60°，求∠BOC．
【题型六】余角和补角
◇典例6：
若∠α＝90°﹣m°，∠β＝90°+m°，则∠α与∠β（　　）
A．互余 B．互补 C．相等 D．和为周角
◆变式训练
1.如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝143°，则∠BOC等于（　　）
A．27° B．37° C．43° D．53°
2.如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，则下列表示∠α的余角的式子正确的有　 　 个．
①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③；④
【题型七】直的计算
◇典例7：
如图，∠AOB＝118°，∠COD＝28°，∠COD＝2∠DOB，则∠AOC的度数为 　 　 ．
◆变式训练
1.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，FO⊥CD．若∠AOF＝50°，则∠BOE的度数为　 　 ．
2.如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD．
（1）当∠AOC＝60°时，求∠DOE的度数；
（2）请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由．
一、单选题
1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏南通·中考真题）上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．

10．（2025·青海西宁·中考真题）如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是 ．
11．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，中，在，上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，过点作，垂足为点，若，，，则的长为 ．

12．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ．
三、解答题
13．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为，且____________，____________，则____________．
给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．

14．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．

航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：________，________， ________海里；
(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：）
15．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．

(1)求证：；
(2)若平分，直接写出的形状．
一、单选题
1．关于线段的描述正确的有（　　）
①线段有两个端点；
②将线段向一个方向无限延长就形成了射线；
③画一条线段．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
2．在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ）
①木匠弹墨线；②打靶瞄准；③弯曲公路改直；④拉绳插秧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图所示的4个图中的线段（或直线、射线），能相交的图有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．现实生活中有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过，这里面包含的数学事实是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点能够确定多条直线 D．点动成线
5．如图，已知，，平分，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是北偏东方向的一条射线，若，则点在点的( )
A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西
7．如图，将两块同样的直角三角尺锐角的顶点A重合在一起，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．如果与互余，与互补，则与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，两个直角和有公共顶点O，下列结论：①；②；③和互补；④的平分线与的平分线是同一射线；⑤图中互余的角有两对．其中正确的个数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，点为线段的中点，，有下列结论：①；②的长度无法确定；③若，则；④若，则为的中点．其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，把弯曲的河道改直，A，B两地的河道就会变短．其蕴含的数学原理为 ．
12．射击是一项用枪支对准目标打靶的竞技项目，在正常情况下，射击时要保证瞄准点在准星和缺口确定的直线上（如图所示），才能射中目标，这样做的数学依据是 ．
13．如图，在直线上顺次取，，三点，使得，，是中点．点是直线上一点，且，线段的长为 ．
14．当时间为时，时针和分针的夹角是 度．
15．一个三角板两个锐角分别为和．这种三角板如图所示放置，且最小角的顶点O 在直线上，是 的平分线，若，则 的度数为 度．
16．如图所示，已知，，平分，平分．则 ．
三、解答题
17．如图所示，共有多少条直线、射线、线段？请依次指出．

18．计算：
(1)；
(2)．
19．如图，线段，点C在线段上，，点D是线段的中点，求线段长．
20．如图，点是直线上一点，，，平分．
(1)求的度数；
(2)若与互余，求的度数．
21．如图，已知直线与直线相交于点O，射线表示正北方向，射线表示正东方向．已知射线的方向是南偏东，．
(1)填空：① 射线的方向是 ；
② 图中与互余的角有 ；与 互补的角有 ．
(2)若射线是的角平分线，求的度数．
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块四 三角形
专题1 线段、直线、角、角平分线
【考点一】直线
1. 直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成，两点确定一条直线．
2. 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点．
3. 直线没有端点，没有长度，不可度量．
【考点二】射线
射线只有一个端点，没有长度，不可度量．如下图，“延长射线AB”的说法是错误的，但可以说“反向延长射线AB”．
【考点三】线段
1. 线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示．下图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a．
2. 线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．
3. 线段、射线、直线的区别与联系
线段 射线 直线
图形
表示 线段EF或线段FE 或线段l 射线CD 直线AB或直线BA或直线l
区别 端点 有两个端点 有一个端点 无端点
延伸 不可以延伸 一端可以无限延伸 可以无限延伸
度量 可以度量 不可以度量 不可以度量
联系 都属于“线”，都是直的；线段和射线是直线的一部分
基本事实 两点之间，线段最短 两点确定一条直线
4. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离．
5. 线段的比较：比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较．
6. 线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点．如图，若点O是线段AB的中点，则有AO＝BO＝AB．反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO＝BO＝AB，那么点O为线段AB的中点．
7. 线段的双中点模型：C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则
8. 线段的n等分点：若线段上（n－1）个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这（n－1）个点为这条线段的n等分点．
【考点四】用尺规作图
1. 作一条线段等于已知线段
作法：第一步，作射线AC．第二步，以点A圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AC于点B．则线段AB就是所求作的线段．
2. 作线段的和、差
在直线上作线段AB＝a，再在线段AB的延长线上作线段BC＝b，线段AC就是a与b的和，记作AC＝a+b；
设线段ab，如果在线段AB上作线段BD＝b，那么线段AD就是α与b的差，记作AD＝a－b．
【考点五】角的概念
1. 角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
2. 角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当射线的终止位置和起始位置成一条直线时，形成平角，继续旋转，当射线的终止位置和起始位置重合时，形成周角．
【考点六】角的表示方法
角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
【考点七】角的度量单位
1. 角度制的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制．
2. 角的换算：，；，．
1直角，1平角，1周角．
3. 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°
【考点八】方位角
方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方
位角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．
【考点九】角的平分线
1. 角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．如
图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
2. 角的n等分线：类似角的平分线，若从角的顶点引出的（n1）条射线，将这个角分成相等的n个角，则这（n1）条射线叫作这个角的n等分线．
【考点十】余角和补角
1. 余角和补角：一般地，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称两个角互补，其中一个角是另一个角的补角．
2. 余角和补角的性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．
【题型一】直线、射线、线段和角的概念
◇典例1：
如图，点A、B、C是直线l上的三个点，则图中共有线段、射线条数分别是（　　）
A．2，3 B．3，3 C．3，6 D．2，6
【解答】解：线段AB，线段AC，线段BC，射线AB，射线BA，射线AC，射线CA，射线BC，射线BC，
所以图中共有线段3条，射线6条，
故选：C．
◆变式训练
1.如图，直线l上有A、B、C三点，下列说法正确的有（　　）
①直线AB与直线BC是同一条直线；②射线AB与射线BC是同一条射线；③直线AB经过点C；④射线AB与射线AC是同一条射线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：根据直线，射线，线段的定义进行判断可得：
①直线AB与直线BC是同一条直线，正确，符合题意；
②射线AB与射线BC是同一条射线，端点不同，故错误，不符合题意；
③直线AB经过点C，正确，符合题意；
④射线AB与射线AC是同一条射线，端点相同，方向相同，故正确，符合题意．
故选：C．
2.下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、图中的∠1，可以用∠AOB表示，不能用∠O表示，故不符合题意；
B、图中的∠1，可以用∠AOB表示，也能用∠O表示，故符合题意；
C、图中的∠1，可以用∠AOB表示，不能用∠O表示，故不符合题意；
D、图中的∠1，可以用∠AOB表示，不能用∠O表示，故不符合题意；
故选：B．
【题型二】直线、射线、线段的性质
◇典例2：
在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（　　）
A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚
【解答】解：∵两点确定一条直线，
∴至少需要2枚钉子．
故选：B．
◆变式训练
1.如图，从学校A到书店B最近的是①号路线，得出这个结论的根据是（　　）
A．两点确定一条线段 B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短 D．两点之间，线段最短
【解答】解：最近的是①号路线，根据是两点之间，线段最短，
故选：D．
2.如图，从小明家到学校有4条路，其中沿路线③走最近，其数学依据是　 　 ．
【解答】解：依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
【题型三】直 两点间的距离
◇典例3：
线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，点N为线段BC的三等分点，求线段MN的长为　 　 cm．
【解答】解：∵线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，点N为线段BC的三等分点，
AM＝MC＝6÷2＝3，CM＝5或10，
当点B在点A右侧时，点N靠近C时，
MN＝3+5＝8，
当点B在点A右侧时，点N靠近B时，
MN＝3+10＝13，
当点B在点A左侧时，点N靠近C时，
MN＝6﹣5＝1，
当点B在点A左侧时，点N靠近B时，
MN＝15﹣5﹣3＝7，
故答案为：8或13或1或7．
◆变式训练
1.如图，点C在线段AB上，D、E分别为AC、AB的中点，若CB＝5cm，则DE的长为　 　 cm．
【解答】解：设AC＝xcm，
∵CB＝5cm，
∴AB＝AC+CB＝（x+5）cm，
∵D、E分别为AC、AB的中点，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：2.5．
2.延长线段AB到点C，使得BC：AB＝1：2，则AC：AB的值是　 　 ．
【解答】解：延长线段AB到点C，使得BC：AB＝1：2，
设AB＝2k（k＞0），则BC＝k，
∴AC＝AB+BC＝2k+k＝3k，
∴，
故答案为：．
【题型四】钟面角与角的换算
◇典例4：
如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，则时针与分针所成的角（小于平角）是　 　 ．
【解答】解：如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，则时针与分针所成的角（小于平角）是：4×30°﹣10×0.5°＝120°﹣5°＝115°．
故答案为：115°．
◆变式训练
1.如图所示，钟表上的时间下午3：30时，时针与分针之间所成的角的度数是 　 　 °．
【解答】解：由题意得：2.5×30°＝75°，
∴钟表上的时间下午3：30时，时针与分针之间所成的角是75°，
故答案为：75．
2.．角的换算：108°20′42″＝　 　 度．
【解答】解：108°20′42″＝108°+20′+（42÷60）′＝108°+（20.7÷60）°＝108.345°．
故答案为：108.345．
【题型五】 角平分线的定义
◇典例5：
如图所示，已知O是直线AB上的一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2＝　 　 ．
【解答】解：∵∠1＝40°，
∴∠COB＝180°﹣40°＝140°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠2∠BOC140°＝70°．
故答案为70°．
◆变式训练
1.如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∠MON等于 　 　 度．
【解答】解：∵∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，
∴∠COD＝90°（互为补角）
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠MOC+∠NOD（30°+60°）＝45°（角平分线定义）
∴∠MON＝90°+45°＝135°．
故答案为135．
2.如图，OB是∠AOD的角平分线，OD是∠BOE的角平分线，OC是∠BOD的角平分线，∠AOE＝60°，求∠BOC．
【解答】解：∵OB是∠AOD的角平分线，
∴∠AOB＝∠BOD，
∵OD是∠BOE的角平分线，
∴∠BOD＝∠DOE，
∴∠AOB＝∠BOD＝∠DOE，
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOD+∠DOE＝3∠BOD，
∵∠AOE＝60°，
∴∠BOD＝60°÷3＝20°，
∵OC是∠BOD的角平分线，
∴．
【题型六】余角和补角
◇典例6：
若∠α＝90°﹣m°，∠β＝90°+m°，则∠α与∠β（　　）
A．互余 B．互补 C．相等 D．和为周角
【解答】解：∵∠β＝90°+m°，∠α＝90°﹣m°，
∴∠α+∠β＝90°+m°+90°﹣m°＝180°，
∴∠α＝90°﹣m°，∠β＝90°+m°，则∠α与∠β互补，
故选：B．
◆变式训练
1.如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝143°，则∠BOC等于（　　）
A．27° B．37° C．43° D．53°
【解答】解：由题意得∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠AOD＝143°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠COD＝143°﹣90°＝53°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣53°＝37°．
故选：B．
2.如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，则下列表示∠α的余角的式子正确的有　 　 个．
①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③；④
【解答】解：①∵∠α+（90°﹣∠α）＝90°，
∴90°﹣∠α是∠α的余角，选项说法正确，符合题意；
②∵∠α和∠β互补，
∴∠α＝180°﹣∠β，∠α+∠β＝180°，
∴∠α+（∠β﹣90°）＝（180°﹣∠β）+（∠β﹣90°）＝90°，选项说法正确，符合题意；
③∵∠α+∠β＝180°，
∴，选项说法错误，不符合题意；
④∵∠α+∠β＝180°，
∴，选项说法正确，符合题意．
综上所述，正确的有3个．
故答案为：3．
【题型七】直的计算
◇典例7：
如图，∠AOB＝118°，∠COD＝28°，∠COD＝2∠DOB，则∠AOC的度数为 　 　 ．
【解答】解：∵∠COD＝28°，∠COD＝2∠DOB，
∴，
∴∠COD+∠DOB＝∠BOC＝28°+14°＝42°，
∵∠AOB＝118°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC
＝118°﹣42°
＝76°．
故答案为：76°．
◆变式训练
1.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，FO⊥CD．若∠AOF＝50°，则∠BOE的度数为　 　 ．
【解答】解：∵FO⊥CD，∠AOF＝50°，
∴∠AOC＝90°﹣∠AOF＝40°，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE70°．
故答案为：70°．
2.如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD．
（1）当∠AOC＝60°时，求∠DOE的度数；
（2）请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∵OB平分∠COD，
∴∠BOC＝∠BOD＝30°，
∴∠DOE＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
（2）∠DOE＝2∠AOC，
理由如下：∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣∠AOC，
∵OB平分∠COD，
∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠AOC，
∴∠DOE＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2（90°﹣∠AOC）＝2∠AOC．
一、单选题
1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行判断即可．
【详解】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短；
故选C．
2．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答．
【详解】解：∵平分，
∴，
∴，
故选：A．
3．（2025·江苏南通·中考真题）上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先明确钟表表盘的特征，即被分成个大格，每个大格对应角度固定，再看上午时整时针和分针的位置，计算间隔大格数，进而求出夹角．本题主要考查钟面角的计算，熟练掌握钟表表盘大格对应的角度（每大格 ）以及特定时刻时针和分针的位置关系是解题的关键．
【详解】解：每一个大格对应的角度是 ．上午时整，时针指向，分针指向，它们之间间隔个大格．
所以时针和分针构成的角的度数为 ．
故选：．
4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角板的应用，平行线的性质，根据题意得，再根据平行线的性质得，再根据可得答案．
【详解】解：如答图，
由题意，得，
，
，
，
，
．
故选：B．
5．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题目主要考查平行线的性质及三角板角度的计算，根据平行线的性质得出，然后结合图形求解即可．
【详解】解：∵将一副三角尺平放在桌面上，，
∴．
∴．
故选：D．
6．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，掌握这些是解题的关键．
由垂直求得的度数，再根据平角定义，计算的度数即可．
【详解】解：点在直线上，，
，
，
，
．
故选B．
7．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆柱的侧面展开和最短路径问题，掌握求解的方法是关键；
根据圆柱的侧面展开图是长方形结合两点之间线段最短解答即可．
【详解】解：现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线应该是：
，
故选：B．
8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键．
由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故选C．
二、填空题
9．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．

【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．
【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，
其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短
故答案为：两点之间，线段最短．
10．（2025·青海西宁·中考真题）如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查方向角有关的计算，根据方向角的定义，结合角的和差关系进行计算即可．
【详解】解：如图，由题意，得：，
∴；
故答案为：．
11．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，中，在，上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，过点作，垂足为点，若，，，则的长为 ．

【答案】
【分析】由线段垂直平分线的性质定理得到，因此，由角平分线定义推出，又，推出，得到，代入有关数据，即可求出的长．
【详解】由题中作图可知：平分，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了尺规作图，角平分线定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，得到 ，从而求出的长，
12．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解，过点，作，交于点，结合，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
过点，作，交于点，

∵AD平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点B到的距离为；
故答案为：10．
三、解答题
13．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为，且____________，____________，则____________．
给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．

【答案】②③，①或①②，③；证明见详解
【分析】情况一：根据题意补全图形，连接、，根据线段垂直平分线的性质可得出，最后利用全等三角形的判定与性质即可解答；
情况二：根据题意补全部图形，连接、，根据线段垂直平分线的性质可得出，再利用全等三角形的判定与性质可知，最后利用角平分线的定义及全等三角形的判定与性质即可解答．
【详解】情况一：，，
证明：根据题意补全图形如图所示：
∵垂直平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴平分；
故答案为：．
情况二：，，
证明：根据题意补全图形如图所示：
∵垂直平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：②③，①或①②，③
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，角的和差关系，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
14．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．

航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：________，________， ________海里；
(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：）
【答案】(1)30；75；5
(2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区
【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理：
（1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度；
（2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D，
由题意得， ，
∴；
∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴海里．
（2）解：设海里，
在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9时时，船距离A的距离为海里，
∵，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．
15．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．

(1)求证：；
(2)若平分，直接写出的形状．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形
【分析】（1）由平行线的性质得到，已知则，可判定即可得到；
（2）由，得到，由平分，得到，进一步可得，即可证明是等边三角形．
【详解】（1）证明：，
∴，
，
．
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
一、单选题
1．关于线段的描述正确的有（　　）
①线段有两个端点；
②将线段向一个方向无限延长就形成了射线；
③画一条线段．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】B
【分析】本题考查线段和射线的定义及表示方法．
根据线段的定义判断①正确，根据射线的形成判断②正确，根据线段的表示规范判断③错误．
【详解】解：线段有两个端点，①正确；
将线段向一个方向无限延长就形成了射线，②正确；
线段应该用大写字母表示，如线段，而“”用小写字母表示错误，③错误；
∴正确的有2个．
故选：B．
2．在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ）
①木匠弹墨线；②打靶瞄准；③弯曲公路改直；④拉绳插秧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了“两点确定一条直线”，指通过两个点能唯一确定一条直线，需判断每个现象是否基于此原理．准确区分“两点确定一条直线”与“两点之间线段最短”是解题关键．
【详解】解：∵①木匠弹墨线是通过固定两个点弹墨形成直线，符合“两点确定一条直线”；
∵②打靶瞄准是通过眼睛、准星和目标三点一线，但本质是两点确定瞄准线，符合；
∵③弯曲公路改直是应用“两点之间线段最短”的原理，不符合“两点确定一条直线”；
∵④拉绳插秧是通过拉直绳子两点之间确定直线，符合；
∴不可以用该基本事实解释的只有1个．
故选：A．
3．如图所示的4个图中的线段（或直线、射线），能相交的图有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟记各概念并准确识图是解题的关键．根据直线、射线、线段的定义对各项分析判断即可．
【详解】解：直线与直线能相交；
射线与直线不能相交；
线段与线段不能相交；
射线与直线不能相交；
则能相交的图有，共1个．
故选：A．
4．现实生活中有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过，这里面包含的数学事实是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点能够确定多条直线 D．点动成线
【答案】A
【分析】此题考查了线段的性质，正确理解两点之间线段最短是解题的关键．
根据两点之间线段最短解答即可．
【详解】解：现实生活中有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过，其原因是：两点之间线段最短，
故选A．
5．如图，已知，，平分，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的定义和角的运算．
先求出，再根据角平分线的定义求得的度数，把对应的数值代入即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴．
故选：A．
6．如图，是北偏东方向的一条射线，若，则点在点的( )
A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西
【答案】B
【分析】此题主要考查了方向角，过点作，垂足为，依题意得，由此得，再根据得，进而得点在点南偏东的方向上，据此即可得出答案．
【详解】解：过点作，垂足为，如图所示：
是北偏东方向的一条射线，
，
，
，
，
，
点在点南偏东的方向上．
故选：B．
7．如图，将两块同样的直角三角尺锐角的顶点A重合在一起，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查角的和差，三角板中角度的计算．根据角的和差可得结论．
【详解】解：∵，
，
，
故选：B．
8．如果与互余，与互补，则与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了互余与互补的概念，根据互余和互补的定义列出等式，通过代入求解与的关系即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵与互余，
∴，
∴，
∵与互补，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9．如图，两个直角和有公共顶点O，下列结论：①；②；③和互补；④的平分线与的平分线是同一射线；⑤图中互余的角有两对．其中正确的个数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了互余，互补的定义，角平分线的定义，
根据垂直的定义可得，进而得，即可说明①②⑤；再根据，可解答③；
然后作平分，可得，进而说明，解答④．
【详解】解：因为两个直角和，
所以，
所以，
所以，互余的角有两对，则①正确，②不正确，⑤正确；
因为，，
所以，
所以和互补，则③正确；
如图，作平分，
所以．
因为，
所以，
即，
可知平分，
所以的平分线与的平分线是同一条射线，则④正确．
所以正确的有4个．
故选：D．
10．如图，点为线段的中点，，有下列结论：①；②的长度无法确定；③若，则；④若，则为的中点．其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了两点间的距离，掌握线段中点的概念和性质，灵活运用数形结合思想方法是解此题的关键．根据线段的中点性质，结合图形解答即可．
【详解】解：∵点为线段的中点，
∴，
∵，
∴，故①正确，②错误；
若，则
∴，故③正确；
④若，点为线段的中点，
∴
又∵；
∴，则为的中点，故④正确，
正确的是①③④
故选：C．
二、填空题
11．如图，把弯曲的河道改直，A，B两地的河道就会变短．其蕴含的数学原理为 ．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度比原来变短，其数学原理是两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
12．射击是一项用枪支对准目标打靶的竞技项目，在正常情况下，射击时要保证瞄准点在准星和缺口确定的直线上（如图所示），才能射中目标，这样做的数学依据是 ．
【答案】两点确定一条直线
【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，根据两点确定一条直线进行判断即可．
【详解】解：在正常情况下，射击时要保证瞄准点在准星和缺口确定的直线上（如图所示），才能射中目标，这样做的数学依据是两点确定一条直线，
故答案为：两点确定一条直线．
13．如图，在直线上顺次取，，三点，使得，，是中点．点是直线上一点，且，线段的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了线段的和差关系，线段的中点的定义，分类讨论是解题的关键．根据线段的和差关系求出，然后根据线段的中点的定义求出，再分点E在点B的左侧和右侧讨论即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵D是中点，
∴；
当点E在点B的左侧时，如图，
∵，，，
∴；
当点E在点B的右侧时，如图，
∵，，，
∴；
综上，线段的长为或．
故答案为：或．
14．当时间为时，时针和分针的夹角是 度．
【答案】
【分析】本题考查了钟面角，根据时钟上一大格是进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：当时间为时，时针和分针相距大格，
∴，
∴当时间为时，时针与分针所夹的角是．
故答案为：．
15．一个三角板两个锐角分别为和．这种三角板如图所示放置，且最小角的顶点O 在直线上，是 的平分线，若，则 的度数为 度．
【答案】76
【分析】本题考查了角的和差运算，角平分线的定义，掌握角的和差运算是解题关键
先通过已知角，计算出的度数，再通过角平分线的定义计算出的度数，最后用平角180°减去其余角计算出即可
【详解】解：由题意，得，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
故答案为： 76．
16．如图所示，已知，，平分，平分．则 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的运算，数形结合是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，进而得到，则，即可求出的度数．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴
，
∴．
故答案为：．
三、解答题
17．如图所示，共有多少条直线、射线、线段？请依次指出．

【答案】见解析
【分析】根据直线、射线和线段的定义进行判断即可得到答案．
【详解】题图中共有2条直线，即直线，；
13条射线，即射线，射线，射线，射线，射线，射线，射线，还有6条不可以表示的；
6条线段，即线段，线段，线段，线段，线段，线段．
【点睛】本题考查直线、线段和射线的定义，直线：能够向两端无限延伸的线；射线：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点；线段：直线上两点和中间的部分叫做线段，这两个点叫线段的端点．
18．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角的单位与角度制，角度的四则运算，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据度分秒的计算方法进行计算即可；
（）根据度分秒的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．如图，线段，点C在线段上，，点D是线段的中点，求线段长．
【答案】
【分析】本题考查了线段的和差计算和有关线段中点的计算．先由求出，再根据线段中点的意义求解即可．
【详解】解：，，，
．
点D是线段的中点，
．
，
．
20．如图，点是直线上一点，，，平分．
(1)求的度数；
(2)若与互余，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查平面几何中角度的计算与角平分线的应用，解决本题的关键在于利用邻补角、余角关系及角平分线性质求解未知角．
（1）结合平角定义和角度的和差求解即可；
（2）先根据角平分线求解的度数，利用“互余”条件即可求解．
【详解】（1）解：∵点是直线上一点，且，，
∴
又∵，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴
∵与互余，
∴．
21．如图，已知直线与直线相交于点O，射线表示正北方向，射线表示正东方向．已知射线的方向是南偏东，．
(1)填空：① 射线的方向是 ；
② 图中与互余的角有 ；与 互补的角有 ．
(2)若射线是的角平分线，求的度数．
【答案】(1)①北偏东；②，；，
(2)
【分析】本题主要考查邻补角，余角，方向角，角平分线的定义．
（1）①根据题意得，可得，由，计算、的度数，即可得出答案；
②根据余角和补角的定义进行求解即可得出的答案；
（2）根据题意可得、的度数，根据角平分线的定义可得的度数，再由计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵射线的方向是南偏东，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴射线的方向是北偏东，
故答案为：北偏东；
②∵，，
∴，，
∴图中与互余的角有和；
由①知，
∴，
∴与互补的角有和．
故答案为：，；，．
（2）解：由题意可知：，，，
∴，
，
又∵射线是的角平分线，
∴，
∴．
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