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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第三章 变量与函数
3.2 一次函数
一 次 函 数 的 图 象与性质 一次 函数的定义 一般地，形如y＝k x+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 特别地，当b=0时 , y＝k x（k是常数且k≠0，），是正比例函数，所以说正比例函数是特殊的一次函数．
一次函数的图象与性质 当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
一次函数图象与系数的关系 当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴上，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
一次函数图象的平移 平移前解析式平移方式（）平移后解析式 y＝k x+b （k≠0，k、b是常数）向左平移m 个单位 向右平移m 个单位 向上平移m 个单位向下平移m 个单位=m
一次函数解析式的确定 方法和步骤 1．方法：待定系数法． 2．一般步骤： (1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)； (2)将图象上的两点代入函数解析式，得到关于k，b的二元一次方程组； (3)解方程组可得k，b的值； (4)将k，b的值代入所设解析式．
一 次 函 数 与 方程（组）、不 等 式 的 关 系 的 一次函数与一元一次方程的关系 （1）ax+b＝0（a≠0）的解函数 y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值. （2）ax+b＝0（a≠0）的解 直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标. ◆用一次函数的图象解一元一次方程的一般步骤： ①转化：将一元一次方程转化为一次函数； ②画图象：画出一次函数的图象； ③找交点：找出一次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为一元一次方程的解.
一次函数与一元一次不等式的关系 ◆1、一次函数与一元一次不等式的关系: 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． ◆2、用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或kx+b＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x； 当k＜0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x．
一次函数与二元一次方程（组）的关系 从“数”的角度看，解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；
从“形”的角度看，解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标.
一 次 函 数 的 实 际 应 用 一次函数图象的应用 一次函数图象的应用是指用一次函数的图象来表示题中的数量关系的应用题，解这类题的关键在于要弄清横、纵轴各表示什么量，图象上每一点表示什么实际意义，以及图象的变化趋势、倾斜度大小各表示什么含义等．
实际问题中的一次函数 1．一般步骤 (1)根据题意设定问题中的变量； (2)建立一次函数模型； (3)确定自变量的取值范围； (4)与方程(组)或不等式(组)结合解决实际问题． 2．常见类型 (1)简单应用：一般只涉及一个简单解析式的实际问题，要根据解析式求变量的值、求最大(小)值等； (2)分段函数问题：函数关系随自变量取值范围的变化而变化．如阶梯收费问题、促销问题、计算机程序等； (3)双图象问题：问题情境涉及两个相关解析式，如方案选择、相遇问题等．
■考点一　一次函数的相关概念
◇典例1：函数①y＝kx+b；②y＝2x；③；④；⑤y＝x2﹣2x+1．是一次函数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B．
【解析】【解答】解：①y＝kx+b，当k＝0时，不是一次函数；
②y＝2x是一次函数；
③不是一次函数；
④是一次函数；
⑤y＝x2﹣2x+1不是一次函数；
所以是一次函数的有2个．
故选：B．
【分析】根据一次函数的定义对各函数进行逐一分析即可．
◆变式训练
1.若函数是正比例函数，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得：，解得：m＝ 1．
故选：C．
【分析】本题考查实数、无理数及平方根的定义，需依据定义对每个选项进行辨析。选项A，根据平方根的定义，若，则x的值为±3，因此9的平方根是±3，而非仅3；选项B，π是无限不循环小数，符合无理数的定义，该说法正确；选项C，实数的分类包括正实数、0和负实数，原说法遗漏了0，表述不完整；选项D，，2是整数，属于有理数，并非无理数，因此该选项错误。
2．已知函数是关于x的一次函数，则m的值是(　　)
A． B．3 C． D．9
【答案】A
【解析】【解答】解：∵函数是关于x的一次函数
∴，解得：
∴m=-3
故答案为：A
【分析】根据一次函数的定义即可求出答案.
■考点二 正比例函数的图象与性质
◇典例1：如果正比例函数y＝（k﹣1）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是　 　．
【答案】k＜1．
【解析】【解答】解：正比例函数y＝（k﹣1）x的图象经过第二、四象限，
∴k﹣1＜0，
解得：k＜1．
故答案为：k＜1．
【分析】根据正比例函数的性质（正比例函数y＝kx（k≠0），当k＜0时，该函数的图象经过第二、四象限）解答．
◆变式训练
1.（2025八上·清远月考）点、都在直线 上，则与的关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：∵正比例函数中，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴，故B正确．
故答案为：B
【分析】本题考查正比例函数的增减性应用，对于正比例函数y=kx（k≠0），其增减性由k的符号决定，当k>0时，函数值y随自变量x的增大而增大。解题时先明确直线y=()x中k=>0，再比较点A、B的横坐标大小，-2<-1，根据增减性可直接判断对应的函数值y1＜y2。
2.在正比例函数y＝（m+1）x|m|﹣1中，若y随x的增大而减小，则m＝　 　．
【答案】﹣2．
【解析】【解答】解：∵|m|﹣1＝1，
∴m＝±2，
又∵y随x的增大而减小，
∴m+1＜0，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】x的次数为1且x的系数为负．
■考点三 一次函数的图象
◇典例2：一次函数与正比例函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数．故选项A不符合题意；
B、正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数．故选项B不符合题意；
C、正比例函数图象经过第一、三象限，则，那么一次函数经过二、三、四象限，故选项C不符合题意；
D、正比例函数图象经过第二、三象限，则，那么一次函数经过一、二、三象限，故选项D符合题意．
故选：D．
【分析】本题考查一次函数和正比例函数的图象性质，解题思路是通过分析的符号来确定两个函数的图象象限。首先观察正比例函数的图象，若图象经过第一、三象限，则，即；若经过第二、四象限，则，即。再根据的符号判断一次函数：当时，一次函数斜率为正、截距为正，经过第一、二、三象限；当时，斜率为负、截距为负，经过第二、三、四象限，结合选项中两个函数的象限分布即可选出答案。
◆变式训练
1.在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A、根据正比例函数图象得，则直线经过第一、二、三象限，故Ａ错误.
B、根据正比例函数图象得，则直线经过第一、三、四象限，故Ｂ错误.
C、根据正比例函数图象得，则直线经过第一、二、三象限，故Ｃ正确.
D、根据正比例函数图象得，则直线经过第一、三、四象限，故Ｄ错误.
故答案为：C．
【分析】根据正比例函数图象确定的取值范围，再确定一次函数的位置即可得出答案．
2.已知正比例函数y=m x（m≠0）中，y随x的增大而减小，那么一次函数y=m x﹣m的图象大致是如图中的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=mx（m≠0）中，y随x的增大而减小 ，
∴m<0，
∴一次函数y=mx-m的图象经过第一、二，四象限，
故答案为：B.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
■考点四 一次函数的性质
◇典例2：一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】【解答】∵一次函数的解析式为，
∴k=1>0，b=1>0，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴一次函数的图象不经过第四象限，
故答案为：D.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系求解即可。
◆变式训练
1.关于一次函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象过
B．当时，
C．图象过一、二、三象限
D．将其图象向下平移1个单位长度可得到的图象
【答案】D
【解析】【解答】解：对于A：∵当时，，
∴图象不过点，A错误，不符合题意；
对于B：∵，
∴，
∴，
∴当时，
B错误，不符合题意；
对于C：∵，
∴图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
C错误，不符合题意；
对于D：∵将向下平移1个单位，得，
∴可得到的图象，
D正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据一次函数图象上的点的特征可得出A不正确；根据一次函数的增减性可得出B不正确；根据一次函数的系数特征可判断出C不正确；根据一次函数的平移变换规律，可得出D正确。
2.已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
故选：．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
■考点五 待定系数法求一次函数的解析式
◇典例3：已知一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣2，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣5，则它的解析式是（　　）
A．y＝3x+5 B．y＝﹣3x﹣5 C．y＝﹣3x+5 D．y＝3x﹣5
【答案】D．
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣2，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣5，
∴，
解得：，
故它的解析式是：y＝3x﹣5．
故选：D．
【分析】直接利用待定系数法求出一次函数解析式得出答案．
◆变式训练
1.在平面直角坐标系中，已知点（1，2）与（2，4）在直线l上，则直线l必经过（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（6，3） D．（6，8）
【答案】B．
【解析】【解答】解：设直线的方程为：y＝kx+b，
将点（1，2）与（2，4）代入可得：，
解得：，
∴直线的方程为：y＝2x，
将四个选项代入，可知B符合要求．
故选：B．
【分析】根据点的坐标特征和待定系数法确定一次函数关系式，再进行判断．
2.已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点．
（1）求此一次函数表达式；
（2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上．
【答案】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（2，0），B（0，4）在函数图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣2x+4；
（2）由（1）知，函数解析式为：y＝﹣2x+4，
∴当x＝﹣1时，y＝6，
∴点（﹣1，6）在一次函数的图象上．
【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把A（2，0），B（0，4）代入求出k的值即可；
（2）把x＝﹣1代入（1）中函数解析式进行检验即可．
■考点六 一次函数与图形变换
◇典例1：将直线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到直线，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】【解答】解：直线向左平移个单位，变为，
再向上平移个单位，变为，
得到直线，
，，
，，
故选：．
【分析】根据直线向左平移个单位，变为，再向上平移个单位，变为，然后结合得到直线，即可解出和的值．
◆变式训练
1.在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向上平移3个单位后恰好经过原点，则b的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：将直线沿x轴向上平移3个单位后得到，
∵经过原点，
∴，解得，
故答案为：．
【分析】根据平移规律得到平移后的直线为，然后把代入解得即可．
2.在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x+2关于平行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点（6，2），则直线AB的表达式为（　　）
A．y＝2x﹣10 B．y＝﹣2x+14 C．y＝2x+2 D．yx+5
【答案】A．
【解析】【解答】解：由题意得，直线AB的解析式为y＝2x+b，
∵直线AB恰好过点（6，2），
∴2＝2×6+b，解得b＝﹣10，
∴直线AB的表达式为y＝2x﹣10，
故选：A．
【分析】根据题意可知它们的k值互为相反数，得到直线AB的解析式为y＝2x+b，把点（6，2）代入求得b的值，即可求得．
■考点七一次函数与方程（组）的关系
◇典例1：如图，直线与直线交于点P，则方程组的解是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：依题意，点P的横坐标为
将代入，
得，
∴点P坐标为，
∴方程组的解是．
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，两一次函数图象的交点坐标即为对应的二元一次方程组的解。由图可知点P的横坐标为-1，将代入直线，计算得，因此点P的坐标为，该坐标即为方程组的解。
◆变式训练
1.如果函数y=kx+b的图象与x轴交点的坐标是（3，0），那么一元一次方程kx+b=0的解是　 　.
【答案】3
【解析】【解答】解：∵函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是（3，0），∴方程kx+b=0的解是x=3．
故答案为：3．
【分析】根据一元一次方程方程kx+b=0的解与一次函数的y=kx+b的图象与x轴交点之间的关系，可直接得出答案。
2.已知一次函数与的交点坐标为，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：把代入得，
可化为，可化为，
方程组的解为，
故选B．
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，核心知识点是“二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标”。解题时先将交点坐标代入，求出，得到完整的交点坐标；再观察方程组，发现两个方程分别是两个一次函数整理后的形式，因此交点坐标即为方程组的解。
■考点八 一次函数与不等式的关系
◇典例1：若一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：不等式的解集可以理解为一次函数的函数值小于0时，
自变量的取值范围.
如图，
根据图像，一次函数的函数值小于0时，自变量的取值范围为：.
∴不等式的解集为.
故答案为：Ａ.
【分析】不等式的解集可以理解为一次函数的函数值小于0时，
自变量的取值范围，根据图像可得不等式的解集为.
◆变式训练
1.已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解∶∵不等式的解集是，
∴当时，，
观察各个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
【分析】根据一次函数是图像结合题意即可得到就是要找到当函数图象位于x轴的下方的图象，进而即可求解。
2.如图，一次函数 (b是常数)，与正比例函数 (k是常数，) 的图象相交于点 M(2， 1)，则关于x的不等式 的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：不等式的解集，对应函数图象中的图象在图象上方时的取值，
两函数交于，观察图象可知，当时，在上方，即，所以解集是.
故答案为： .
【分析】将不等式转化为函数图象的位置关系（在上方 ），通过交点的横坐标，确定满足条件的范围.
■考点九 一次函数的应用
◇典例1：快捷运输公司运输货物，货物的质量大于一定质量时起运，总运费（元）与货物的质量（）之间满足一次函数关系（为常数），其图象如图所示，则图象中的值为　 　．
【答案】40
【解析】【解答】解：把代入中得：，
解得：，
，
把代入中得：，
解得：．
故答案为：．
【分析】结合函数图象中的数据利用待定系数法求出函数解析式，再将点代入解析式求出a的值即可.
◆变式训练
1.某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，如图所示是某水库蓄水量（万立方米）与干旱时间（天）之间的关系图．
请你根据此图填空：
（1）水库原蓄水量是_______万立方米，若水库的蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱预报，问持续干旱_______天后，发出严重干旱预报；
（2）若该水库在此旱情下干涸时，计算旱情持续的天数．
【答案】（1）1000，30
（2）解：设关于的函数表达式为：，
由题意可得，
解得，
所以函数表达式为．
当时，，
解得．
故持续干旱50天时，水库的水将干涸．
【解析】【解答】（1）解：由图象可知，水库原蓄水量是1000万立方米，当时，，故持续干旱30天后，发出严重干旱预报；
故答案为：1000；30
【分析】（1）根据函数图象信息即可求出答案.
（2）设关于的函数表达式为：，根据待定系数法将t=0，V=1000及t=10，V=800代入解析式可得函数表达式为，再将V=0代入解析式即可求出答案.
（1）解：由图象可知，水库原蓄水量是1000万立方米，当时，，故持续干旱30天后，发出严重干旱预报；
（2）设关于的函数表达式为：，
由题意可得，
解得，
所以函数表达式为．
当时，，
解得．
故持续干旱50天时，水库的水将干涸．
2.目前，龙岗区以“打造低空经济产业生态建设示范区”为目标，抢抓低空经济发展先机．某航模店看准商机，推出了A和B两款飞机模型．该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍．A、B两款飞机模型的售价，进价如下表所示：
进价 售价
A模型 20元 30元
B模型 30元 45元
（1）该航模店至少购进多少个A款飞机模型？
（2）如果B模型的进价上调2元，A模型的进价不变，但限定B模型的数量不少于A模型的数量，两种模型的售价均不变．请求出航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润．
【答案】（1）解：设该航模店购进x个A款飞机模型，则购进(200-x)个B款飞机模型
由题意可得：200-x≤2x
解得：
∵x为正整数
∴x的最小值为67
∴该航模店至少购进x个A款飞机模型
（2）解：由题意可得：200-x≥x
解得：x≤100
∵，且x为正整数
∴67≤x≤100
设该航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的利润为y元
∴y=(30-20)x+(45-30-2)(200-x)=-3x+2600
∵-3<0
∴y随x的增大而减小
所以当x=67时，y取得最大值，最大值为2399
∴ 航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润为2399元
【解析】【分析】（1）设该航模店购进x个A款飞机模型，则购进(200-x)个B款飞机模型，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（2）根据B模型的数量不少于A模型的数量建立不等式，解不等式可得67≤x≤100，设该航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的利润为y元，根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
■考点十 一次函数的综合问题
◇典例1：如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点
（1）直接写出点B的坐标为　 　；
（2）求出的面积；
（3）在直线BC上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）解：点，
的面积；
（3）解：存在；
设，
，
，
，
，
或
【解析】【解答】解：(1)在中，令，则，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征将x=0代入解析式即可求出答案.
（2）根据三角形面积即可求出答案.
（3）设，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
◆变式训练
1.如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，．在边上取一点E，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点D处．
（1）直接写出点D和点E的坐标：D（ ），E（ ）；
（2）求直线的表达式；
（3）若直线与平行，当它过长方形的顶点C时，且与y轴相交于点F时，求的面积．
【答案】（1）4，8；0，5
（2） 解：设、两点所在的直线的解析式为(k≠0)，将，E(0，5)代入
得，
解得，
所以过、两点的直线函数表达式为．
（3）解：直线与平行，
，
直线过长方形的顶点，
，
，
直线的解析式为，
时，，
，
，
的面积．
【解析】【解答】（1）解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴，
在中，，，
由勾股定理，得，
，
．
在△中，由勾股定理，得，
又，，
，
解得，
．
，；
故答案为：4，8；0，5；
【分析】（1）在中，由勾股定理解得，，则．由勾股定理得出，解得，则（0，5）；
（2）设DE所在直线为y=kx+b(k≠0)，将将，E(0，5)代入解析式，确定k，b的值，回代解析式确定为．；
（3）由 直线与平行则K值相等为，由OC=10，则C(10，0) 代入求出b=-，则直线的解析式，点的坐标（0，-），的面积 ．
2.如图，直线和相交于点，、分别在轴的正半轴和负半轴，且，点坐标为．
（1）求直线的函数表达式；
（2）在线段上找点，使得，求点的坐标；
（3）在轴上找点，使得，直接写出点坐标．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
点的坐标为，
，
，
直线的解析式为；
（2）解：如图1，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
将点，代入中，
得，
，
直线的解析式为，
设点的坐标为，
，
，
；
（3）点的坐标为或
【解析】【解答】（3）解：如图2，
在中，，，
，
，，
，
，
①当点在轴正半轴上时，
，
，
以为直角边，点为直角顶点在下方作等腰直角三角形，过点作轴于，
即：，，
，，
，
，
，，
，
，
，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
②当点在轴负半轴时，根据对称性得，，
即：点的坐标为或．
【分析】（1）根据两点间，则，再根据点的坐标可得，设直线的解析式为，再根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得，再根据三角形面积可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，设点的坐标为，再根据，结合三角形面积建立方程，解方程可得，即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得AC，再根据边之间的关系可得，则，分情况讨论：①当点在轴正半轴上时，根据三角形外角性质可得，以为直角边，点为直角顶点在下方作等腰直角三角形，过点作轴于，即：，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系可得OE，根据点的坐标可得，求出直线的解析式为，再根据x轴上点的坐标特征将y=0代入解析式可得，②当点在轴负半轴时，根据对称性得，，即可求出答案.
1．（2025·白云模拟）若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵直线经过一、二、四象限，
，
，
∴直线的图象经过第一、二、三象限.
故答案为：B．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0）中，当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；据此结合题意先判断出k、b的符号，进而得出-k的符号，即可判断得出答案.
2．（2025·封开模拟）已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵不等式的解是，
∴直线与x轴交点为且y随x增大而减小，
故答案为：D．
【分析】由不等式的解是可得直线与x轴交点的交点坐标，同时可得到y随x增大而减小，进而求解．
3．（2025·广州）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：
将直线向上平移d个单位长度后得到y=x+d
若过点A，则-3+d=1，解得：d=4
若过点B，则-1+d=1，解得：d=2
∴将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则
故答案为：D
【分析】根据函数图象的平移性质可得将直线向上平移d个单位长度后得到y=x+d，分别代入A，B的坐标，即可求出答案.
4．（2025·高要模拟）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：直线经过点和，
可得：，
解得：，
为，
当时，，
一次函数与的交点坐标是，
由图象可知，一次函数的随增大而减小，
当时，．
故答案为：A．
【分析】
先利用待定系数法求出直线的解析式为，根据解析式可以求出当时，，由图象可知，一次函数的随增大而减小，所以当时，；解答即可．
5．（2025·河源模拟）生菜是一种常见的蔬菜，其生长过程分为发芽期、幼苗期、莲座期、结球期四个时期，小明记录劳动种植园的生菜生长过程，发现其中一株生菜的高近似是生长时间天的一次函数，部分数据如8表所示，则与之间的关系式为（　　）
生长时间/天 30 35
高度 10 15
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设y与x之间的关系式为（k、b为常数，且），
将，和，分别代入，
得，
解得，
∴y与x之间的关系式为．
故答案为：B．
【分析】
根据利用待定系数法：设y与x之间的关系式为（k、b为常数，且）再把，和，代入计算即可解答 ．
6．（2025·南山模拟）如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论正确的有
①两城相距600千米；
②乙车比甲车晚出发2小时，却早到2小时；
③乙车出发后5小时追上甲车；
④甲乙两车相距50千米时，或．
A．3个 B．4个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】【解答】解：由图象可得，两城相距600千米，故①正确
乙车比甲车晚出发2小时，却早到2小时，②正确
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把(10，600)代入可求得k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n
把（2，0)和(8，600）代入可得
解得
∴y乙=100t-100，
令y甲=y乙可得：60t=100t-100，
解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③错误；
当乙追上甲后，令y乙-y甲=50，100t-100-60t=50
解得
当乙到达目的地，甲自己行走时，y甲＝60t=250
解得
∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或，故④错误
综上可知正确的有①②，共2个.
故答案为：C
【分析】根据图象信息逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025·潮安模拟）已知点在一次函数的图象上，则　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵点在一次函数的图象上，
∴
解得：
故答案为：．
【分析】根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
8．（2025·广州模拟）一次函数图象上有两点，，则　 　（填，，）
【答案】
【解析】【解答】解：∵中，，
∴随的增大而增大，
∵一次函数的图象上有两点，，且，
∴，
故答案为：．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，据此比较两点横坐标的大小即可判断出对应函数值的大小.
9．（2025·深圳模拟）滑雪是冬季运动爱好者的喜爱项目之一，滑雪者从山坡滑下，其滑行距离（单位：）是滑行时间（单位：）的二次函数．滑雪爱好者小聪从山坡滑下，同学小敏帮他测得一些数据，记录于下表．
滑行时间 0 1 2 3 4
滑行距离 0 4.5 14 38.5 48
（1）在上表t，的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点、连线的方法，画出函数的大致图象，并观察判断哪一对是错误的？
（2）根据（1）中结果，求出关于的函数表达式；并求出当滑行时间为时，小聪在山坡上滑行的距离是多少？
【答案】解：（1）描点，连线，如图所示．
根据图像可知，数据（3，38.5）是错误的；
（2）设关于的函数表达式为
显然当时，．
将、两点坐标代入，
有解得
关于的函数表达式为
当时，
即小聪在山坡上滑行的距离是102米
【解析】【分析】（1）根据描点法作出函数图象即可求出答案.
（2）设关于的函数表达式为，根据待定系数法将点(0，0)，、代入解析式可得关于的函数表达式为，再将t=6代入解析式即可求出答案.
10．（2025·广州）如图，曲线过点．
（1）求t的值；
（2）直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
（3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
【答案】（1）解：∵曲线过点．
∴
（2）解：由（1）得，
故，
∵直线也经过点P，
∴把代入，得，
解得，
∴；
令，则，
∴l与y轴交点的坐标为；
直线l的函数图象，如图所示；
（3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是，
∵曲线，
则，
∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，
即该格点在曲线G上的概率．
【解析】【分析】（1）将点P坐标代入曲线解析式即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点P坐标代入直线l解析式可得，根据y轴上点的坐标特征可得l与y轴交点的坐标为，再根据描点法作出图象即可.
（3）根据函数图象可得在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，再将各点坐标代入直线解析式求出有两个格点在曲线G上，再根据概率公式即可求出答案.
11．（2025·南山模拟）据以下素材，探索完成任务．
如何设计销售方案？
素材1 互联网时代，越来越多大山里的农产品，能够通过丰富多元的网络渠道走出大山、远销全国各地．直播助销就是运用“互联网”的一种销售方式．小明为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元．
素材2 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
素材3 花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，小明计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．
问题解决
任务1 假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，请协助解决右边问题． 问题：_____（用含的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出茶叶和花生的售价．
任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，求出在此次助销活动中，哪种方案（分别销售花生、茶叶多少千克）可使商家获得最大利润．
【答案】解：任务1：∵假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，
∴每千克花生的售价为元/千克，即。
任务2：∵ 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同，即，
解得：，
将x=50代入，得到（元），
答：每千克茶叶50元，每千克花生10元；
任务3：设花生销售m千克，茶叶销售千克获利最大，利润w元，
由题意得：，
解得：，
，
∴w随m的增大而减小，
即时，利润最大，
此时花生销售30千克，茶叶销售（千克），
∴当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大．
【解析】【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的实际应用．
任务1，根据每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，即，此时即可表示出来．
任务2，根据题意50千克花生对应的售价为50（x-40）元，10千克茶叶对应的售价为10x元，此时可以列出关于x的一元一次方程，求解即可．
任务3，设花生销售m千克，茶叶销售千克获利最大，利润w元，根据题意列出关于m的一元一次不等式组求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数，根据函数的性质即可得出答案．
12．（2025·从化模拟）如图，已知直线过点，且与直线相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）当且时，自变量的取值范围是______；
（3）若双曲线与直线相交于两点，求的面积．
【答案】（1）解：把代入得，，∴，
把和点代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）
（3）解：联立方程组，得，解得（舍去）或，
∴另一个交点B的坐标为，
如图，作轴于点E，轴于点，
∴，，，，
∴．
【解析】【解答】
（2）
解：∵且，
∴，
解得：，
故答案为：；
【分析】
（）先由一次函数图象上点的坐标特征求出，然后利用待定系数法即可求解；
（）由题意联立不等式组得，然后解出不等式组即可；
（）联立方程组，求出另一个交点B的坐标为，作轴于点E，轴于点，然后割补法求面积的方法求解即可．
（1）解：把代入得，，
∴，
把和点代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵且，
∴，
解得：，
故答案为：；
（3）解：联立方程组，得，
解得（舍去）或，
∴另一个交点B的坐标为，
如图，作轴于点E，轴于点，
∴，，，，
∴．
1．（2025·香洲模拟）一次函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】【解答】解：一次函数中，，，
∴该函数图象经过一，二，三象限，
∴一次函数不经过第四象限．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的图象与系数之间的关系“当k＞0时，直线经过一、三象限；k＜0时，直线经过二、四象限；b＞0时，直线交于y轴正半轴；b＜0时，直线交于y轴负半轴”并结合一次函数的解析式即可判断求解．
2．（2025·天河模拟）已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如表，这个函数的表达式可以是（　　）
… 0 1 2 …
… 0 3 6 …
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：观察表格可以发现，对于自变量x的每一个值，对于的函数y的值恰好是x的3倍，这是一个正比例函数，且函数关系式是；
故答案为：A.
【分析】利用表中数据可知：对于自变量x的每一个值，对于的函数y的值恰好是x的3倍，这是一个正比例函数，进而求解.
3．（2025·潮南模拟）已知直线经过点，则的值等于（　　）
A．5 B． C．7 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵直线经过点，
∴，解得：；
故选：D．
【分析】
利用待定系数法把点的坐标代入函数解析式求解即可．
4．（2025·顺德模拟）若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵在一次函数中，自变量系数，
∴在一次函数中，y随x的增大而减小，
∵点，在一次函数的图象上，且，
∴，
故答案为：A．
【分析】在一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，据此结合题意判断A、B两点横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系.
5．（2025·金平模拟）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（　　）
A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】A
【解析】【解答】解：直线 与轴的交点为，与轴的交点为；
∴点关于直线的对称点为，
点关于直线的对称点为，
将点和点代入，得到：，
解得：，，
故答案为：A．
【分析】根据题意得到直线与x轴、y轴的交点，并求出其关于直线的对称点，然后利用待定系数法即可得出答案．
6．（2025·东莞模拟）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：一次函数的图象与x轴相交于点，
关于x的方程的解为．
故选：C．
【分析】
根据一次函数与一元一次方程的关系：方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标，即可利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为解答即可.
7．（2025·福田模拟）已知反比例函数（为常数且），当时，的最大值是-2，则当时，的最小值为　 　。
【答案】
【解析】【解答】解：∵当时，的最大值是-2
∴反比例函数图象在第三象限，y随x的增大而减小
∴反比例函数图象过（-3，-2）
∴m=-3×(-2)=6
∴反比例函数的解析式为
∴当时，y在x=4上取得最小值为
故答案为：
【分析】根据反比例函数的性质可得反比例函数图象在第三象限，y随x的增大而减小，则反比例函数图象过（-3，-2），再根据待定系数法求出反比例函数的解析式为，再根据其性质即可求出答案.
8．（2025·赤坎模拟）如图，一次函数与的图象都经过点，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意知，一次函数与的图象都经过点，
由于，
所以．
故答案为：．
【分析】当一次函数的图象在的图象下方时，有，几何函数图象即可求出答案.
9．（2025·江门模拟）下表给出的是关于某个一次函数的自变量x及其对应的函数值y的部分对应值，
x … ﹣2 ﹣1 0 …
y … m 2 n …
则m+n的值为　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：设一次函数解析式为，
将，，代入解析式，得，，，
∴，
故答案为：4．
【分析】设一次函数解析式为，然后将表格中的三个点坐标代入解析式中，最后把m+n看作一个整体，进行计算即可.
10．（2025·海珠模拟）如图，已知直线：与：都经过轴上的点，分别与轴交于，两点，且，两点关于原点对称，则直线的解析式是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：当时，，
解得：，
，
当时，，
∴，
B，C关于x轴对称，
∴，
把，代入，
解得：，b=5，
直线的解析式为，
故答案为：．
【分析】
由l1表达式可求得A和C点坐标，根据对称性可得B点坐标，由B和A两点根据待定系数法可求得l2表达式．
11．（2025·惠州模拟）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
（1）在图1中描出表中数据对应的点；
（2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：由图可知：随着的增大而增大，因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，
将点代入得：
，
解得：
∴
（3）解：将代入得：
∴估计这个人身高
【解析】【分析】本题主要对一次函数的应用进行考查．
（1）根据题干表格信息进行描点；
（2）根据描点走势可以看出随着的增大而增大，根据待定系数法设函数，将点代入解得：，所以函数解析式为；
（3）将代入解得；
（1）解：如图所示：
（2）解：由图可知：随着的增大而增大，
因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，
将点代入得：
，
解得：
∴
（3）解：将代入得：
∴估计这个人身高
12．（2025·广州模拟）某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节的干电池（总电压为3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了．
知识小链接：①导体两端的电压U（），导体的电阻，通过导体的电流I（A），满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求滑动变阻器的最大电阻；
（2）由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？
【答案】（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是．
由题意可列方程：，
解得：，
经检验，是原方程的根．
答：滑动变阻器的最大电阻为。
（2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．由题意知：
，
解得：，
总费用，
即，
∵，
∴y随m的增大而减小．
∵m是整数，
∴当时，y最小，此时，（元），
答：学校买这批仪器至少要花费670元。
【解析】【分析】（1）设滑动变阻器最大电阻为，根据“若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了0.1A”，由此可建立方程：，然后解方程，求出x的值，最后再将x的值代入原式中进行验证即可。
（2）设购买电流表个，总花费为元，则购买滑动变阻器个．根据“滑动变阻器数量不少于电流表数量的倍”，建立不等式：，求出m的解集，然后再根据，最后再对该式子进行整理，然后再根据一次函数的性质，即可求出y的最小值。
（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是．
由题意可列方程：，
解得：，
经检验，是原方程的根．
答：滑动变阻器的最大电阻为．
（2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．
由题意知：，解得：，
总费用，即，
∵，∴y随m的增大而减小．
∵m是整数，∴当时，y最小，此时，（元），
答：学校买这批仪器至少要花费670元．
13．（2025·新兴模拟）【模型建立】
如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点．
【模型探索】
（1）如图2，求证：是等腰直角三角形．
（2）如图3，是直线上的两动点，连接．若，求的长的最小值．
【模型应用】
（3）如图4，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式．
【答案】（1）证明：对于，
当时，，当时，，
即点、的坐标分别为：、，
，
为直角，
是等腰直角三角形；
（2）解：如图，当时，最小，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
即的长的最小值为8；
（3）解：如图，过点作于点，过点作轴交于点，交过点和轴的平行线于点，
，
为等腰直角三角形，，
同（2）中原理可得，，
，
四边形为矩形，
，
当时，，
，即，
设，
，，
根据，，
可得，
解得：，即点，
设直线的解析式为
把代入可得，
解得，
所以直线的解析式为．
【解析】【分析】
（1）对于，当时，；当时，，即，又，故结论成立；
（2）由“一线三垂直”模型知，，则，即可求解；
（3）如图，过点作于点，过点作轴交于点，交过点和轴的平行线于点，由“一线三垂直”模型知，，设点，则，，即且，解得：，即点，进而求解．
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第三章 变量与函数
3.2 一次函数
一 次 函 数 的 图 象与性质 一次 函数的定义 一般地，形如 （k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 特别地，当b=0时 , y＝k x（k是常数且k≠0，），是正比例函数，所以说正比例函数是特殊的一次函数．
一次函数的图象与性质 当k＞0时，y随x的增大而 ，函数从左到右 ； 当k＜0时，y随x的增大而 ，函数从左到右 ．
一次函数图象与系数的关系 当b＞0时，（0，b）在y轴的 上，直线与y轴交于 ； 当b＜0时，（0，b）在y轴的 上，直线与y轴交于 ． ①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在 象限； ②k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在 象限； ③k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在 象限； ④k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在 象限．
一次函数图象的平移 平移前解析式平移方式（）平移后解析式 y＝k x+b （k≠0，k、b是常数）向左平移m 个单位 向右平移m 个单位 向上平移m 个单位 向下平移m 个单位=m
一次函数解析式的确定 方法和步骤 1．方法： ． 2．一般步骤： (1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)； (2)将图象上的两点代入函数解析式，得到关于k，b的二元一次方程组； (3)解方程组可得k，b的值； (4)将k，b的值代入所设解析式．
一 次 函 数 与 方程（组）、不 等 式 的 关 系 的 一次函数与一元一次方程的关系 （1）ax+b＝0（a≠0）的解函数 y＝ax+b（a≠0）中， 时， 的值. （2）ax+b＝0（a≠0）的解 直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的 . ◆用一次函数的图象解一元一次方程的一般步骤： ①转化：将一元一次方程转化为一次函数； ②画图象：画出一次函数的图象； ③找交点：找出一次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为一元一次方程的解.
一次函数与一元一次不等式的关系 ◆1、一次函数与一元一次不等式的关系: 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的 ； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． ◆2、用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或kx+b＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为： ，不等式kx+b＜0的解为： ； 当k＜0时，不等式kx+b＞0的解为： ，不等式kx+b＜0的解为： ．
一次函数与二元一次方程（组）的关系 从“数”的角度看，解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；
从“形”的角度看，解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标.
一 次 函 数 的 实 际 应 用 一次函数图象的应用 一次函数图象的应用是指用一次函数的图象来表示题中的数量关系的应用题，解这类题的关键在于要弄清横、纵轴各表示什么量，图象上每一点表示什么实际意义，以及图象的变化趋势、倾斜度大小各表示什么含义等．
实际问题中的一次函数 1．一般步骤 (1)根据题意设定问题中的变量； (2)建立一次函数模型； (3)确定自变量的取值范围； (4)与方程(组)或不等式(组)结合解决实际问题． 2．常见类型 (1)简单应用：一般只涉及一个简单解析式的实际问题，要根据解析式求变量的值、求最大(小)值等； (2)分段函数问题：函数关系随自变量取值范围的变化而变化．如阶梯收费问题、促销问题、计算机程序等； (3)双图象问题：问题情境涉及两个相关解析式，如方案选择、相遇问题等．
■考点一　一次函数的相关概念
◇典例1：函数①y＝kx+b；②y＝2x；③；④；⑤y＝x2﹣2x+1．是一次函数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◆变式训练
1.若函数是正比例函数，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
2．已知函数是关于x的一次函数，则m的值是(　　)
A． B．3 C． D．9
■考点二 正比例函数的图象与性质
◇典例1：如果正比例函数y＝（k﹣1）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是　 　．
◆变式训练
1.（2025八上·清远月考）点、都在直线 上，则与的关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
2.在正比例函数y＝（m+1）x|m|﹣1中，若y随x的增大而减小，则m＝　 　．
■考点三 一次函数的图象
◇典例2：一次函数与正比例函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（　　）
A． B．
C． D．
2.已知正比例函数y=m x（m≠0）中，y随x的增大而减小，那么一次函数y=m x﹣m的图象大致是如图中的（　　）
A． B．
C． D．
■考点四 一次函数的性质
◇典例2：一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
◆变式训练
1.关于一次函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象过
B．当时，
C．图象过一、二、三象限
D．将其图象向下平移1个单位长度可得到的图象
2.已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
■考点五 待定系数法求一次函数的解析式
◇典例3：已知一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣2，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣5，则它的解析式是（　　）
A．y＝3x+5 B．y＝﹣3x﹣5 C．y＝﹣3x+5 D．y＝3x﹣5
◆变式训练
1.在平面直角坐标系中，已知点（1，2）与（2，4）在直线l上，则直线l必经过（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（6，3） D．（6，8）
2.已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点．
（1）求此一次函数表达式；
（2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上．
■考点六 一次函数与图形变换
◇典例1：将直线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到直线，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
◆变式训练
1.在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向上平移3个单位后恰好经过原点，则b的值为 ．
2.在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x+2关于平行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点（6，2），则直线AB的表达式为（　　）
A．y＝2x﹣10 B．y＝﹣2x+14 C．y＝2x+2 D．yx+5
■考点七一次函数与方程（组）的关系
◇典例1：如图，直线与直线交于点P，则方程组的解是　 　．
◆变式训练
1.如果函数y=kx+b的图象与x轴交点的坐标是（3，0），那么一元一次方程kx+b=0的解是　 　.
2.已知一次函数与的交点坐标为，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
■考点八 一次函数与不等式的关系
◇典例1：若一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是( )
A． B． C． D．
◆变式训练
1.已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
2.如图，一次函数 (b是常数)，与正比例函数 (k是常数，) 的图象相交于点 M(2， 1)，则关于x的不等式 的解集是（　　）
A． B． C． D．
■考点九 一次函数的应用
◇典例1：快捷运输公司运输货物，货物的质量大于一定质量时起运，总运费（元）与货物的质量（）之间满足一次函数关系（为常数），其图象如图所示，则图象中的值为　 　．
◆变式训练
1.某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，如图所示是某水库蓄水量（万立方米）与干旱时间（天）之间的关系图．
请你根据此图填空：
（1）水库原蓄水量是_______万立方米，若水库的蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱预报，问持续干旱_______天后，发出严重干旱预报；
（2）若该水库在此旱情下干涸时，计算旱情持续的天数．
2.目前，龙岗区以“打造低空经济产业生态建设示范区”为目标，抢抓低空经济发展先机．某航模店看准商机，推出了A和B两款飞机模型．该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍．A、B两款飞机模型的售价，进价如下表所示：
进价 售价
A模型 20元 30元
B模型 30元 45元
（1）该航模店至少购进多少个A款飞机模型？
（2）如果B模型的进价上调2元，A模型的进价不变，但限定B模型的数量不少于A模型的数量，两种模型的售价均不变．请求出航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润．
■考点十 一次函数的综合问题
◇典例1：如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点
（1）直接写出点B的坐标为　 　；
（2）求出的面积；
（3）在直线BC上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
◆变式训练
1.如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，．在边上取一点E，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点D处．
（1）直接写出点D和点E的坐标：D（ ），E（ ）；
（2）求直线的表达式；
（3）若直线与平行，当它过长方形的顶点C时，且与y轴相交于点F时，求的面积．
2.如图，直线和相交于点，、分别在轴的正半轴和负半轴，且，点坐标为．
（1）求直线的函数表达式；
（2）在线段上找点，使得，求点的坐标；
（3）在轴上找点，使得，直接写出点坐标．
1．（2025·白云模拟）若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·封开模拟）已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·广州）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·高要模拟）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·河源模拟）生菜是一种常见的蔬菜，其生长过程分为发芽期、幼苗期、莲座期、结球期四个时期，小明记录劳动种植园的生菜生长过程，发现其中一株生菜的高近似是生长时间天的一次函数，部分数据如8表所示，则与之间的关系式为（　　）
生长时间/天 30 35
高度 10 15
A． B． C． D．
6．（2025·南山模拟）如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论正确的有
①两城相距600千米；
②乙车比甲车晚出发2小时，却早到2小时；
③乙车出发后5小时追上甲车；
④甲乙两车相距50千米时，或．
A．3个 B．4个 C．2个 D．1个
7．（2025·潮安模拟）已知点在一次函数的图象上，则　 　．
8．（2025·广州模拟）一次函数图象上有两点，，则　 　（填，，）
9．（2025·深圳模拟）滑雪是冬季运动爱好者的喜爱项目之一，滑雪者从山坡滑下，其滑行距离（单位：）是滑行时间（单位：）的二次函数．滑雪爱好者小聪从山坡滑下，同学小敏帮他测得一些数据，记录于下表．
滑行时间 0 1 2 3 4
滑行距离 0 4.5 14 38.5 48
（1）在上表t，的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点、连线的方法，画出函数的大致图象，并观察判断哪一对是错误的？
（2）根据（1）中结果，求出关于的函数表达式；并求出当滑行时间为时，小聪在山坡上滑行的距离是多少？
10．（2025·广州）如图，曲线过点．
（1）求t的值；
（2）直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
（3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
11．（2025·南山模拟）据以下素材，探索完成任务．
如何设计销售方案？
素材1 互联网时代，越来越多大山里的农产品，能够通过丰富多元的网络渠道走出大山、远销全国各地．直播助销就是运用“互联网”的一种销售方式．小明为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元．
素材2 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
素材3 花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，小明计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．
问题解决
任务1 假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，请协助解决右边问题． 问题：_____（用含的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出茶叶和花生的售价．
任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，求出在此次助销活动中，哪种方案（分别销售花生、茶叶多少千克）可使商家获得最大利润．
12．（2025·从化模拟）如图，已知直线过点，且与直线相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）当且时，自变量的取值范围是______；
（3）若双曲线与直线相交于两点，求的面积．
1．（2025·香洲模拟）一次函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025·天河模拟）已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如表，这个函数的表达式可以是（　　）
… 0 1 2 …
… 0 3 6 …
A． B． C． D．
3．（2025·潮南模拟）已知直线经过点，则的值等于（　　）
A．5 B． C．7 D．
4．（2025·顺德模拟）若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·金平模拟）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（　　）
A．、 B．、 C．、 D．、
6．（2025·东莞模拟）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·福田模拟）已知反比例函数（为常数且），当时，的最大值是-2，则当时，的最小值为　 　。
8．（2025·赤坎模拟）如图，一次函数与的图象都经过点，则不等式的解集为　 　．
9．（2025·江门模拟）下表给出的是关于某个一次函数的自变量x及其对应的函数值y的部分对应值，
x … ﹣2 ﹣1 0 …
y … m 2 n …
则m+n的值为　 　．
10．（2025·海珠模拟）如图，已知直线：与：都经过轴上的点，分别与轴交于，两点，且，两点关于原点对称，则直线的解析式是　 　．
11．（2025·惠州模拟）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
（1）在图1中描出表中数据对应的点；
（2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
12．（2025·广州模拟）某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节的干电池（总电压为3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了．
知识小链接：①导体两端的电压U（），导体的电阻，通过导体的电流I（A），满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求滑动变阻器的最大电阻；
（2）由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？
13．（2025·新兴模拟）【模型建立】
如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点．
【模型探索】
（1）如图2，求证：是等腰直角三角形．
（2）如图3，是直线上的两动点，连接．若，求的长的最小值．
【模型应用】
（3）如图4，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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