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第1章 二次根式
1.2 二次根式的性质
八下数学 ZJ
1.经历二次根式的性质：（1） ;（2）
（3） ;（4）
的发现过程，体验归纳、猜想、类比的思想
方法，理解二次根式的上述四个性质。
2.了解最简二次根式的概念。
3.会运用二次根式的性质进行有关计算或化简，提升运算能力。
性质 文字语言 应用
（ ） 一个非负数的算 术平方根的平方 等于它本身。 （1）正用,如 ；
（2）逆用,如 。
对于 ,无论是正用，还是逆用，都要注意前提条件:。如只有当 时，才成立
性质 文字语言 应用
一个任意实数 平方的算术平 方根等于它本 身的绝对值。 化简形如 的式子时，先
写成，再根据 的符号去
掉绝对值符号，如
。
可以是任意实数，但计算结果不一定是
,的不同点和相同点#5.1
不同 点 表示的意 义 表示一个非负数的算术 平方根的平方。 表示一个任意实数平方
的算术平方根。
的取值 范围 非负数。 全体实数。
运算顺序 先开方，后平方。 先平方，后开方。
不同 点 运算结果 。
相同点 与 的结果都是非负数，且当 时， 。 典例1 计算：
（1） ；
解： ；
（2） ；
解： ；
（3） ;
解： ;
（4） ；
解： ；
（5） ；
解： ；
（6） 。
解：方法一 。
方法二 。
文字语言 符号语言
二次根 式的积 的性质 两个非负数的积的算术平方 根等于这两个非负数的算术 平方根的积。 （， ）。
二次根 式的商 的性质 一个非负数除以一个正数， 商的算术平方根等于算术平 方根的商。
）。
勿忘前提条件
若二次根式的被开方数是两个负数的乘积（商），则应用
二次根式的性质化简时，应先将每个因数（分子和分母）化为正数，
如 应写成
； ，应写成
。
典例2 化简：
（1） ；
解： ；
（2） ；
解： ；
（3） ；
解： ；
（4） ；
解： ；
（5） ；
解： ；
（6） 。
解： 。
1.最简二次根式的概念：在根号内不含分母，也不含开得尽方的因
数或因式,这样的二次根式我们就说它是最简二次根式。
典例3 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？
不是最简二次根式的，说明理由。
（1）;（2）;（3）;（4） ;
（5）；（6） 。
解：
序号 是不是最简二次根式 理由
（1） 是 满足最简二次根式的条件。
（2） 不是 ,被开方数含有分母。
（3） 不是 被开方数含有分母。
（4） 不是 被开方数含有能开得尽方的因数4。
（5） 是 满足最简二次根式的条件。
（6） 不是 ，
所以被开方数含有能开得尽方的因式。
2.化简二次根式的一般方法#5
方法 举例
将被开方数中能开得尽 方的因数或因式进行开 方。 , 。
方法 举例
化去根 号内的 分母。 若被开方数中 含有带分数， 则应先将带分 数化成假分 数。 或
。
方法 举例
化去根 号内的 分母。 若被开方数中 含有小数，则 应先将小数化 成分数。 或
。
被开方数是多项式的要 先进行因式分解。 。
典例4 化简：
（1） ；
解：原式 ;
（2） ；
解：原式 ;
（3） ；
解：原式 ；
（4） 。
解：原式
。

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