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第1章 二次根式
1.3 二次根式的运算
八下数学 ZJ
1.了解二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则，
会用它们进行简单的四则运算，提升运算能力。
2.通过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中
的应用，体验迁移、化归等数学思想。
3.会用二次根式的运算解决实际问题，发展应用意识。
1.二次根式的乘法法则：#4
符号 语言 （, ）。
文字 语言 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根。
拓展 (1)二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式相乘的情况，如 。
(2)乘法交换律、结合律、乘法公式在二次根式的乘法中仍然适用。类比单项式乘以单项式，可得 0, 。
此法则成立的前提条件
典例1 计算:
（1） ；
解： 。
（2） ；
解： 。
结果中有开得尽方的因数一定要开方
（3） ；
解：
（4） 。
解： 。
。
2.二次根式的除法法则：#2
符号 语言 （,）。
文字 语言 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方
根。
拓展 二次根式的除法法则可推广到多个二次根式相除的情况，
如 。
注意此处 的取值范围与乘法法
则中 的取值范围不同
典例2 计算：
（1） ；
解：方法一 。
方法二 。
（2） ；
解：方法一 。
方法二 。
（3） ；
解： 。
不能写成
（4） ;
解：方法一
方法二 。
（5） 。
解： 。
1.可以合并的二次根式：将二次根式化成最简二次根式，若被开方
数相同，则这样的二次根式可以合并。如和，化成最简二
次根式是，所以和 可以合并。
2.同类二次根式的合并方法：
只把系数相加减，根指数和被开方数不变。如
。
当二次根式的系数是假分数时，不要写成带分数。
根号外面的因数或因式
也叫同类二次根式
3.二次根式的加减运算：
二次根式加减运算的实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次
根式化成最简二次根式，再把其中含有相同被开方数的二次根式的
项进行合并。（在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的
交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用）
4.二次根式加减运算的步骤：
步骤 示例：
（1）化：将每个二次根式都化成最简二 次根式。
（2）找：找出被开方数相同的二次根 式。
（3）合：类似于合并同类项，将被开方 数相同的二次根式合并。
。
典例3 计算：
（1） ；
解：
；
（2） 。
解：
。
1.二次根式的混合运算顺序：与实数中的运算顺序一样，先乘方，
后乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的。
2.二次根式的混合运算依据：实数的运算律、整式的乘法公式和运
算法则在二次根式的运算中仍然适用。#3
3.二次根式混合运算的结果：二次根式混合运算的结果要写成最简
形式。#4
4.二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） ;
（5） 。#5.5
典例4 计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） 。
解：原式 。
1.二次根式的应用常表现在两个方面：一是用二次根式或含二次根
式的代数式表示未知量；二是通过二次根式的四则混合运算求出未
知量，并化简。
2.坡比：如图,坡面的铅垂高度 和水平距
离的比叫作坡面的坡比,记作,即
（坡比通常写成 的形式）。
典例5 河堤横断面如图所示，堤高
米，迎水坡的坡比为，则 的长为
____米。
12
解析：因为中， 米，迎水坡
的坡比为，即 ,
所以 米，
所以 （米）。

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