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第5章 特殊平行四边形
5.1 矩形
八下数学 ZJ
1.经历矩形的概念的发现过程，理解矩形的概念，以及它与平行四
边形的关系，发展几何直观。
2.探索并证明矩形的性质定理和判定定理，发展推理能力。
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。
示例 平行四边形与矩形的 关系
两个条件缺一不可
2.矩形的性质
矩形是特殊的平行四边形，它除具有一般平行四边形的性质外，还
具有一些特殊的性质，总结如下表：#4.1
文字语言 符号语言 图示
角 定理1：矩形 的四个角都是 直角。 因为四边形 是 矩形，所以 。
文字语言 符号语言 图示
对角线 定理2：矩形 的对角线相 等。 因为四边形 是 矩形，所以 。
对称 性 轴对 称图 形 至少有两条对 称轴：过每组 对边中点的直 线。 直线,是矩形 的两条对称轴。 敲黑板
矩形的其他性质
（1）矩形的任意一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形,如
上表中图示：， 。
（2）矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，
并且相对的两个等腰三角形全等，如上表中图示：
， 。
典例1 如图，在矩形中，对角线，相交于点 ，且
。若，则 的长为( )
C
A.B.1 C. D.2
解析：因为四边形 是矩形，
所以 , 。
因为 ， ，所以 ，
所以是等边三角形，所以 。
因为，所以，所以 。
判定方法 符号语言 图示
角 定义 法 有一个角是 直角的平行 四边形是矩 形。 在 中，因为 ，所以 是矩形。
判定方法 符号语言 图示
角 判定 定理1 三个角是直 角的四边形 是矩形。 在四边形 中， 因为 ,所以四边形 是矩形。
对角 线 判定 定理2 对角线相等 的平行四边 形是矩形。 在 中，因为 = ,所以 是矩形。 典例2 如图，在 中，，平分交
于点 ，分别过点,作,，与
相交于点 ，连结。求证：四边形 是矩形。
证明：因为, ，
所以四边形 是平行四边形,所以 。
因为，平分 ，
所以， ，
所以， ，
又因为 ，
所以四边形 是平行四边形，
又因为 ，
所以四边形 是矩形。
也可以写成：
所以BD=CD,所以AE=CD 。
又因为AE//BC ，
所以四边形ADCE 是平行四边形。
因为四边形ABDE 是平行四边形，
所以AB=DE 。
又因为AB=AC，所以AC=DE ，
所以四边形ADCE 是矩形。
第5章 特殊平行四边形
5.2 菱形
八下数学 ZJ
1.经历菱形的概念的发现过程，理解菱形的概念，以及它与平行四
边形的关系，增强几何直观。
2.探索并证明菱形的性质定理和判定定理，并能灵活运用菱形的性
质定理和判定定理进行计算和证明，提升推理能力。
3.经历菱形性质与判定的“探索—归纳与猜想—证明”过程，提高数
学学习能力。
1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
2.菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，它除具有一般平行四边形的性质外，还
具有一些特殊的性质，总结如下表：#1.2.1
性质 符号语言 图示
边 定理1：菱形的四条边相 等。 因为四边形 是菱 形，所以 。
性质 符号语言 图示
对角 线 定理2：菱形的对角线互 相垂直。 因为四边形 是菱 形,所以 。
对称 性 轴对 称图 形 至少有两条对称 轴：两条对角线 所在的直线。 直线， 是菱形 的两条对称轴。 敲黑板
菱形的其他性质
（1）菱形的每条对角线都平分一组对角；
（2）菱形的任意一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，如上表中图示：与为等腰三角形， ；
（3）菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形，如上表中图示： 。#1.2.2.1.12
典例1 如图，菱形 的两条对角线相交于点
。若，，则菱形 的周长是
( )
D
A.24 B.16 C. D.
解析：因为四边形是菱形，, ，
所以，， ，
所以 ,
所以菱形的周长为 。
3.菱形的面积#1.3
公式由 来 文字语 言 数学语言 图示
菱形的 面积公 式 菱形是 平行四 边形。 菱形的 面积 底 高。 。
公式由来 文字语言 数学语言 图示
菱形的面积公 式 菱形的 对角线 互相垂 直。 菱形的 面积 两 条对角 线长的 乘积的 一半。 。 推导过程（方法不唯一） ）
对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于两条对角线
长的乘积的一半，如图，在四边形中， ，可得
。#1.3.1.1
典例2 如图，将一个长为 、宽为 的矩形纸片对折两次后，
沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到菱形，则
菱形的面积为____ 。
10
解析：根据题意，得所得菱形的两条对角线的长分别为原矩形长和
宽的一半，即，，所以菱形 的面积为
。
判定方法 符号语言 图示
边 定 义 法 一组邻边相等 的平行四边形 是菱形。 在中，因为 ， 所以 是菱形。
定 理 1 四边相等的四 边形是菱形。 在四边形 中，因为 ，所以四 边形 是菱形。 判定方法 符号语言 图示
对 角 线 定 理 2 对角线互相垂 直的平行四边 形是菱形。 在中，因为 ， 所以 是菱形。
典例3 已知的对角线， 相交于点，请你添加一个适
当的条件，使 成为一个菱形。你添加的条件是_________。
（填一个即可）
解析：因为四边形 是平行四边形，所以只要添加一组邻边相
等，或者使得对角线互相垂直的条件就可以，故答案可以为
或或或或 等。
典例4 如图，在中，，分别是，
上的点，且， 。
求证：四边形 是菱形。
证明： 因为四边形 是平行四边形，
所以， 。
因为，所以 。
又因为 ，所以四边形 是平行四边形。
又因为 ，所以四边形 是菱形。

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