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第5章 特殊平行四边形
5.3 正方形
八下数学 ZJ
1.理解正方形的概念，发展几何直观。
2.探索并证明正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行计
算和证明，发展推理能力。
3.理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。
1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的
平行四边形叫作正方形。
2.正方形的判定
正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，因此可分
别从平行四边形、矩形、菱形出发，寻找判定正方形的方法，总结
如下表：#1.2.1
从平行四边形 出发 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四
边形是正方形。
有一组邻边相等，并且对角线相等的平行四边形
是正方形。
有一个角是直角，并且对角线互相垂直的平行四
边形是正方形。
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
从矩形出发 有一组邻边相等的矩形是正方形。
对角线互相垂直的矩形是正方形。
从菱形出发 有一个角是直角的菱形是正方形。
对角线相等的菱形是正方形。
敲黑板
四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系#1.2.1.3
典例1 如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便
得到正方形：
.两组对边分别相等 .一组对边平行且相等
.一组邻边相等 .一个角是直角
顺次添加的条件： ;
; 。
则正确的是( )
A.仅① B.仅③ C.①② D.②③
解析：
序号 判断过程 判断
① 两组对边分别相等 平行四边形一组邻边相等 菱形一个角是直角 正方形 正确
② 一组对边平行且相等 平行四边形一个角是直角 矩形一组邻边相等 正方形 正确
③ 两组对边分别相等 平行四边形 一组对边平行且 相等 平行四边形一组邻边相等 菱形 错误
典例1 如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便
得到正方形：
.两组对边分别相等 .一组对边平行且相等
.一组邻边相等 .一个角是直角
顺次添加的条件： ;
; 。
则正确的是( )
C
A.仅① B.仅③ C.①② D.②③
正方形既是菱形，又是矩形，因此它同时具有菱形、矩形的一切性
质。具体如下表：#4.1
性质 符号语言 图示
边 定理1:正方形的四条边相等。 因为四边形 是正方形， 所以 。
角 定理1:正方形的四个角都是直角。 因为四边形 是正方形, 所以 。 性质 符号语言 图示
对 角 线 定理2：正方形的 对角线相等，并 且互相垂直平 分。 因为四边形 是正方形, 所以, ， 。
对 称 性 轴对称图形。 直线,，, 是正方形 的对称轴。 敲黑板
正方形的其他性质
（1）正方形的每条对角线都平分一组对角。
（2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角
形；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角
形。
（3）周长相等的四边形中，正方形的面积最大。#4.1.3.3
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比
类型 平行四边形 _______________ 矩形 ___________________ 菱形 ___________________ 正方形
_______________
边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都 是直角 四个角都
是直角
类型 平行四边形 _______________ 矩形 ___________________ 菱形 ___________________ 正方形
_______________
对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相 等 对角线互 相垂直 对角线相
等且互相
垂直
类型 平行四边形 _______________ 矩形 ___________________ 菱形 ___________________ 正方形
_______________
对称性 共性 都是中心对称图形 特性 轴对称图形 至少有2条 对称轴 至少有2条 对称轴 4条对称轴
典例2 如图，在正方形中，点 是边上的一
点，点是 的延长线上一点，且 。
（1）求证： ；
解：证明：因为四边形 是正方形，
所以， 。
在和中，
所以 ，所以 。
（2）若，，求 的面积。
解：因为四边形是正方形，所以 。
由（1）知 ，
所以，所以 ，
所以 。
在中， 。
因为，所以 ，
所以的面积为 。

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