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第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
八下数学 ZJ
1.理解因式分解法、开平方法、配方法及一元二次方程求根公式的
推导过程。会用因式分解法、开平方法、配方法、公式法解数字系
数的一元二次方程，发展运算能力。
2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根及两个实数
根是否相等，能根据方程根的情况确定方程中字母的值或取值范围。
1.因式分解法：先对方程 的左边因式分解，
使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式
分别等于0，从而实现降次。像这种利用因式分解解一元二次方程的
方法叫作因式分解法。
依据：若，则或
2.因式分解法解一元二次方程的基本步骤：
（1）移项：将方程的右边化为0。
（2）分解：将方程的左边因式分解为两个一次因式的乘积。
（3）转化：令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程。
（4）求解：解两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解。
3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型
常见类型 因式分解 方程的解
典例1 解下列方程：
（1） ；
解：移项，得 ，
将方程的左边分解因式，得 ，
则,或 ，解得， 。
（2） ;
解：将方程的左边分解因式，得 ,
则,
解得。 表示一元二次方程有两个相等的实数根
（3） 。
解：移项，得 。
将方程的左边分解因式，得 ,
则,或 ,
解得, 。
注意：原方程两边不能同时约去 ，否则变形后的结果为,会导致漏掉这个根
1.开平方法：一般地，对于形如 的方程，根据平方根
的定义，可得, 。这种解一元二次方程的方法叫作
开平方法。
2.适用类型#3
适用类型 方程的解
敲黑板
形如 的方程的解的情况：
（1）当 时，方程有两个不相等的实数根，，
或 。
（2）当时，方程有两个相等的实数根， 。
（3）当 时，方程没有实数根。#3.1.2.3
典例2 解下列方程：
（1） ；
解：移项，得 ，
方程两边同除以2，得 ，
解得， 。
（2） ；
解：两边直接开平方，得，或 ，
解得， 。
（3） 。
解：两边直接开平方，得,或 ，
解得， 。
1.配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一
个非负常数，即将方程转化为 的形式，然后用
开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法。
配方法的依据是完全平方公式 和直接开平方法，其实质是对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的形式，从而把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解
2.用配方法解一元二次方程的步骤：#3
一般步骤 方法
一化 二次项系 数化为1 左、右两边同时除 以二次项系数。
二移 移项 将常数项移到等号 右边，含未知数的 项移到等号左边。
一般步骤 方法
三配 配方 左、右两边同时加 上一次项系数一半 的平方。
四开 开平方求 根 直接开平方。
典例3 用配方法解一元二次方程：
（1） ;
解：移项，得 ，
方程两边同时加上，得 ，
即 ，
则,或 ，
解得， 。
方程两边同时加上一次项系数一半的平方（前提是二次项系数为1）
降次（转化为两个一元一次方程）
（2） ;
解：方程两边同时除以4，得 ,
移项，得 ，
方程两边同时加上，得 ,
即 。
则，或 ，解得, 。
（3） 。
解：移项，得。 把 看作一个整体
方程两边同时加上，得 ,
即 。
则，或 ,
解得, 。
1.求根公式：
问题提出
在学习了配方法之后，如何解用一般形式表示的一元二次方程

【问题分析】
一元二次方程的二次项系数不一定为1，
但只要在方程的两边同除以二次项系数，就化归为我们已能求解
的一元二次方程类型。#2.1.2.1
【推导过程】#2.1.3
方程
求解 过程 一化
二移
三配
四开
【结论归纳】
对于一元二次方程，当时，
它的两个根为。这个公式叫作一元二次方程的求根
公式。
2.公式法：利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数,,的
值，直接求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫作公式法。
3.用公式法解一元二次方程的步骤：
（1）化：把方程化为一般形式。
（2）定：确定，，的值。
（3）算：求出的值。
（4）判：判断的值的符号。
（5）求根：当时，把，，的值代入一元二次方程
的求根公式，求出方程的根；当时，方程没有实数根。
一元二次方程解法的比较#4.1
方法 理论依据 适用方程 关键步 骤 主要特点
因式分 解法 右边化为0后，左 边易分解为两个 一次因式的积的 形式的方程。 分解因 式。 求解迅速，但适
用范围较小。
方法 理论依据 适用方程 关键步 骤 主要特点
开平方 法 平方根的 定义。 开平 方。 求解迅速，但只
适用于一些特殊
结构的方程。
配方法 完全平方 公式。 所有一元二次方 程。 配方。 解法烦琐，当二
次项系数为1时用
此法较简单。
方法 理论依据 适用方程 关键步 骤 主要特点
公式法 配方。 所有一元二次方 程。 代入求 根公 式。 计算量大，易出
现符号错误。
典例4 用公式法解下列一元二次方程：
（1） ；
解：因为，，，
所以，
所以方程无实数根。
（2） ；
解：原方程化为，则，， 。
所以 ，
所以，
解得， 。
（3） 。
解：因为，， ，
所以 ，
所以 ，
解得， 。
1.一元二次方程的根的判别式：从一元二次方程
的求根公式的推导过程中不难看出，方程的
根的情况由代数式的值决定。因此 叫作一元二次方
程的根的判别式。
2.利用一元二次方程根的判别式判定一元二次方程根的情况：
方程 有两个不相等的实
数根;
方程 有两个相等的实数
根;（不能说“方程只有一个根”）
方程 没有实数根。
方程在实数范围内无根，不能说“方程无根”
典例5 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：
（1） ；
解：因为，， ，
所以 ，
所以方程有两个不相等的实数根。
（2） ；
解：因为，， ，
所以 ，
所以方程有两个相等的实数根。
（3） 。
解：原方程化为 ，
因为，， ，
所以 ，
所以原方程没有实数根。

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