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第3章 数据分析初步
3.3 离差平方和与方差
八下数学 ZJ
1.了解离差平方和、方差的概念。
2.会计算一组简单数据的离差平方和、方差，知道离差平方和、方
差都能刻画这组数据的离散程度。
3.经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数
据进行分类的方法。
4.体会样本与总体的关系，能用样本方差估计总体方差，感悟通过
样本特征估计总体特征的思想，形成数据观念，发展模型观念。
定义
公式
特点 可以刻画一组数据的离散程度，在比较两组数据的离散程
度时，只适用于数据个数相同的情况。
因为离差平方和除了和离差有关，还和数据个数相关，所以在用离差平方和比较两组数据的离散程度时，前提是两组数据的个数相同
典例1 体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高
（单位： ），数据如下：
八（2）班：154，161，149，158，162，155，160，152，156，163；
八（5）班：148，150，166，168，152，155，158，149，165，159。
（1）分别计算两组数据的离差平方和；
解：计算平均身高：
八（2）班：
。
八（5）班： 。
计算离差平方和：八（2）班： 。
八（5）班：
。
（2）根据离差平方和判断哪个班的身高数据离散程度更大。
解：因为 ，
所以八（5）班身高数据离散程度更大。
定义
公式
特点 方差能较好地反映出数据的离散程度，方差越大，说明数
据的波动越大（即离散程度越大），越不稳定；在利用方
差比较两组数据的离散程度时，不受数据个数的限制。
在求总体方差时，若所要考察的总体包含很多个体或考
察对象带有破坏性，常常用样本方差来估计总体方差。
典例2 甲进行了10次射击训练，平均成绩为9环，且前9次的成绩
（单位：环）依次为：8，10，9，10，7，9，10，8，10。
（1）求甲第10次的射击成绩；
解：根据题意，得甲第10次的射击成绩为
（环）。
（2）求甲这10次射击成绩的方差；
解：甲这10次射击成绩的方差为
(环 )。
（3）乙在相同情况下也进行了10次射击训练，平均成绩为9环，
方差为1.6环 ，请问甲和乙两人中谁的射击成绩更稳定？
解：因为甲、乙两人的平均成绩相等，且 ，所以甲的射击
成绩更稳定。
定义 一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。
公式
特点 标准差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
典例3 一组数据2，5，4， ，3的平均数是4，则这组数据的标准差
是____。
解析：因为数据2，5，4， ，3的平均数是4，
所以，所以 ，
所以这组数据的方差为
，
所以这组数据的标准差为 。
1.组内离差平方和与组间离差平方和
一般地，设有个数据，，， ，，它们的平均数为 ，
离差平方和为。如果把这些数据分为两组，第1组有 个数据，
平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为 ，
离差平方和为，其中。
通常称 为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的
离散程度；称 为组间离差平方和，它表
达了两个组之间的差异。#3.1.2
2.数据分组原则
合理的分组原则是使 最小，同时使
最大。由于总离差平方和 不变，所以
只需考虑 最小，即组内离差平方和最小即可。
在大数据分析中，数据分组是重要的方法之一。数据分
组方法有许多种，其中使得“组内离差平方和最小”的方法最为常见。
典例4 生物小组测量了10株新栽树苗的高度（单位：厘米），数据
按从小到大的顺序排列为12，15，18，20，22，25，28，30，33，
35。老师按照前5株、后5株 的方式将树苗分成了
2组。
（1）请计算该分组下的组内离差平方和。
解： ，
。
， ，
。
（2）请计算该分组下的组间离差平方和。
解：因为 。
所以该分组下的组间离差平方和为
。
第3章 数据分析初步
3.4 四分位数与箱线图
八下数学 ZJ
1.知道百分位数和四分位数，能计算一组数据的四分位数，正确理
解四分位数如何刻画数据的取值特征，会用样本数据的数字特征分
析相关问题。
2.了解四分位数和箱线图的关系，知道箱线图可以直观反映数据分
布的信息，感悟百分位数的意义，形成和发展数据观念。
1.百分位数#3
定义 一组数据按从小到大的顺序排列，将数据分成100等份的每
一分点处的值叫作这组数据的百分位数。
意义 百分位数是一类关于数据整体分布的统计量，它可以较全
面地反映出数据的分布信息。
一般地,处于位置的数据称第百分位数,记为 。
①第50百分位数：一般地，一组数据中至少有 的数小于或等于
中位数，也至少有 的数大于或等于中位数。中位数也叫作第50
百分位数，记为 。#3.1.2
②第25百分位数和第75百分位数：进一步地，将一组数据按从小到
大排列，中位数把这组数据分成左右两部分，用和 分别表
示左右两部分数据的中位数，那么，所有数据中，至少有 的数
小于或等于（也至少有的数大于或等于 ），至少有
的数小于或等于（也至少有的数大于或等于 ）。
和 分别叫作第25百分位数和第75百分位数。#3.1.3
2.四分位数
在一组从小到大排列的数据中，，， 这三个数值把所
有数据分为个数相等的四个部分，这三个数叫作四分位数。其中第
25百分位数也称为下四分位数，第75百分位数也称为上四分位数。
示例 四分位数
典例1 某班8名学生寒假阅读书籍的数量（单位：本）如下：
8,7,9,7,8,6,9,8。
求这组数据的四分位数。
解：将该组数据按从小到大的顺序排列为：6,7,7,8,8,8,9,9。
所以该组数据的中位数 ，
下四分位数 ，
上四分位数 。
解题通法
确定一组数据的四分位数的步骤
（1）先将数据按照从小到大的顺序进行排列；
（2）找出这组数据的中位数；
（3）找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组
数据的下四分位数和上四分位数。
概念
图示
图示
意义 “箱子”越扁，说明中间的数据越集中；
“箱子”越高，说明中间的数据越分散。
箱线图大多用于多组数据的比较。箱体越扁，中间的竖
线（也就是常说的“须”）越短，说明数据越集中。#8.1
典例2 某书店一个月内每天的书籍销售量的箱线图
如图所示。
（1）这个月书籍销售量的最大值、最小值及四分位数分别是多少？
解：
最小值 最大值
70 80 90 93 96
（2）请分析这个月书籍的销售情况。
解：从箱线图中可以看出，每天书籍销售量的分布不对称，有一半
的天数销售量集中在 ；数据的上四分位数与下四分位数之
差为 ，说明数据的波动比较大。（答案不唯一，言之
有理即可）

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