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第4章 平行四边形
4.2 平行四边形及其性质
八下数学 ZJ
1.理解平行四边形、梯形的概念，增强几何直观。
2.了解四边形的不稳定性。
3.探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等，对
角相等，对角线互相平分。能运用平行
四边形的性质定理进行证明和计算，提升推理能力。
4.理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离。
1.平行四边形的定义及表示
定义 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
图示
表示 方法 平行四边形用符号“ ”表示，如图，平行四边形 可记
作“ ”。
注意 事项 1.表示平行四边形时一定要按顺（或逆）时针依次书写表
示各顶点的字母；
2.“ ”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用。
2.平行四边形的基本元素（边、角、对角线）#6
基本元素 主要内容 图示
边 邻边
对边 角 邻角 ∠ 和∠ ，∠ 和∠ ，∠ 和 ∠ ，∠ 和∠ ，共有四组。 对角 ∠ 和∠ ，∠ 和∠ ，共有两组。 对角线 典例1 如图，已知 ，， ，
图中共有几个平行四边形？把它们表示出来，并
说明理由。
解：图中共有3个平行四边形，分别是
，， 。
理由：由题意知， ，根据平行四边形的定义可以
判定四边形 是平行四边形。同理可判定四边形、四边
形 都是平行四边形。
性质定理 符号语言 图示
边 平行四边形 的对边相 等。
角 平行四边形 的对角相 等。 性质定理 符号语言 图示
对 角 线 平行四边形 的对角线互 相平分。
教材延伸
由平行四边形的性质得到的几条重要结论
（1）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成了两个全等的
三角形；（2）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半；（3）平
行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，都等于平
行四边形面积的，且相邻两个小三角形的周长之差的绝对值等于
平行四边形两邻边之差的绝对值；（4）过平行四边形两条对角线
交点的直线，平分平行四边形的周长和面积。
举例：
（1） , ;
（2） ;
（3） ,
;
（4） ，
典例2 如图，在平行四边形中，已知 ，
，，则 的长为 ( )
A
A. B. C. D.
解析：因为四边形是平行四边形，
所以， 。
因为，所以 ，
所以 ，
所以 。
四边形的不稳定性指的是确定四边形的各条边的长，
并不能确定四边形的形状和大小。如图，,
, 的边长都对应相等，但它们的形状却不相同。
各边边长都确定的平行四边形的形状改变时，其周长、
内角和及外角和均不变，对边的平行性不变。
1.平行线的性质定理及推论
文字叙述 符号语言 图示
平行 线的 性质 定理 夹在两条平 行线间的平 行线段相 等。
文字叙述 符号语言 图示
推论 夹在两条平 行线间的垂 线段相等。
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条
直线的距离都相等。
2.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到
另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离。
三种距离之间的区别
类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离
区别 连结两点的线 段的长度。 点到直线的垂线 段的长度。 两条平行线中，一条直线
上任意一点到另一条直线
的垂线段的长度。
教材延伸
（1）平行四边形的面积底×高，如图，在中，
于点，则。
（2）如图，内任意一点 与各顶点的
连线将 分成四个三角形，这四个三角
形的面积关系为
。
典例3 如图，已知，在 上，并且，为垂足，，
是上任意两点，点在 上。设的面积为，的
面积为，的面积为 ，小颖认为 ，请帮小颖
说明理由。
解：因为 ，所以，，的边 上的高
相等，
所以，， 这三个三角形同底等高，
所以，， 这三个三角形的面积相等，
即 。

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