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第4章 平行四边形
4.5 三角形的中位线
八下数学 ZJ
1.了解三角形的中位线的概念。
2.探索并证明三角形的中位线定理，并能运用三角形的
中位线定理进行相关计算或证明。
三角形 中位线 的定义 内容 连结三角形两边中点的线段叫 作三角形的中位线。
符号 语言 三角形 的中位 线定理 内容 三角形的中位线平行于第三 边，并且等于第三边的一半。
符号 语言 应用 （1）位置关系：证明两直线平 行。 （2）数量关系：证明线段的相 等或倍分关系。 三角形的中位线与三角形的中线的区别与联系#3.1
三角形的中位线 三角形的中线 图示
区 别
联 系 教材延伸
中点四边形
教材第131页例题中的四边形是通过连结四边形 各边的
中点形成的，这样的四边形称为中点四边形，并且一定是平行四边
形，与四边形 的形状无关。#4.1.2
典例1 如图， 的对角线，相交
于点，是 的中点，连结，若
, ,则 的周长是( )
A
A. B. C. D.
解析：因为四边形是平行四边形，所以 。
因为是 的中点，
所以是 的中位线，所以 ，
所以的周长 。
反证法：在证明一个命题时，有时先假设命题不成立（即在原命题
的条件下，结论不成立），从这样的假设出发，经过推理得出与已
知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设
命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫作反
证法。
示例 反证法
注意：用反证法证明命题的常见形式：（1）结论以否定形式出现的命题，如直角三角形中不能有两个直角；（2）唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；（3）结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个三角形至少有两个锐角。
典例1 (2025·绍兴诸暨市期中)用反证法证明“在 中，如果
，那么 ”时，应先假设_________。
用反证法证明命题的一般步骤：
（1）假设命题：假设命题的反面成立;
（2）推出矛盾：从假设出发,经过推理得出与已知条件矛盾,或者与
定义、基本事实、定理等矛盾;
（3）肯定结论：得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。
如果命题的反面只有一种情况，那么只需要否定这种情况；如果命题的反面不止一种情况，那么需要把各种情况一一否定
敲黑板
常见的反设
是 等于 大于 都是 至少有一个 至少有2个
反设 不是 不等于 小于或等于 不都是 没有一个 至多有1个
典例2 已知：中，，求证： 。
下面给出运用反证法证明的四个步骤：
①所以 ，这与“三角形三个内角的和等于
”矛盾；
②因此假设不成立，所以 ；
③假设在中，,有 ；
④由，得 ，即 。
这四个步骤正确的顺序应是__________（按顺序填序号）。
③④①②
平行线的传递性：在同一平面内，如果两条直
线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互
相平行。如果 ,,那么 （如图）。
典例3 如图，直线和直线,, 分
别交于点，，，且 ，
，求证： 。
证明：因为， ,
所以，所以 。
因为 , ,
所以 ，所以 。
又因为，所以 。

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