资源简介

第二十二章 函数
22.2 函数的表示
第3课时 函数的三种表示方法
教学设计
课题 第3课时 函数的三种表示方法 授课人
教学目标 1.能掌握函数的三种表示方法 2.能掌握函数的三种不同表示方法之间的相互转化并运用
教学重点 能掌握函数的三种表示方法
教学难点 能掌握函数的三种不同表示方法之间的相互转化并运用
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 问题1：有根弹簧原长10 cm，每挂1kg重物，弹簧伸长0.5 cm，设所挂的重物为m kg，受力后弹簧的长度为l cm，根据上述信息完成下表，并思考：受力后弹簧的长度l是所挂重物m的函数吗？ 是，y=0.5x+10 问题2：有一辆出租车，前3公里内的起步价为8元，每超过1公里收2元，有一位乘客坐了x（x＞3）公里，他付费y元.用含x的式子表示y，y是x的函数吗？ 是，y=2x+2 问题3：如图是某地某一天的气温变化图. （1）指出其中的两个变量是_气温T_，__时间t__. （2）其中_气温T__是_时间t_的函数，自变量是__时间t__. 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 从上面的三个问题中，可以发现表示函数有哪三种方法？这三种表示函数的方法各有什么优点？ 根据前面的三个问题，可以发现函数有三种表示方法，分别是解析式法，列表法和图象法. 小结 1.解析式法：准确地反映了函数与自变量之间的数量关系. 2.列表法：具体地反映了函数与自变量的数值对应关系. 3.图象法：直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律. 表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要同时使用几种方法. （链接例1、例2） 通过问题探究和讨论，帮助学生理解函数的表示.通过观察和讨论，帮助学生发现函数的表示，并掌握其应用.
典例精析 【例1】一水库的水位在最近5 h内持续上涨，下表记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y 表示水位高度. (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你发现水位变化有什么规律吗？ (2)水位高度y是否为时间t的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象.这个函数能表示水位的变化规律吗？ (3)据估计这种上涨规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高度将为多少米. 【解】（1）如图，描出表中数据对应的点.可以看出，这6个点在一条直线上.再结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3m.由此猜想，如果画出这5 h内其他时刻 (如 t＝2.5 h等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的. （2）由于水位在最近5 h内持续上涨，对于时间 t 的每一个确定的值，水位高度 y 都有唯一的值与其对应，所以 y 是 t 的函数.开始时水位高度为3 m，以后每小时水位上升0.3 m.函数y＝0.3t＋3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数，它表示经过 t h水位上升0.3t m，即水位 y 为(0.3t＋3)m. 其图象是上图中点A(0，3) 和点B(5，4.5)之间的线段AB. 如果在这5 h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3m/h，那么函数y＝0.3t＋3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律.即使在这5 h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3 m是确定的，因此这个函数也可以近似地表示水位的变化规律. （3）如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2 h，t＝5＋2＝7(h)时，水位高度y＝0.3×7＋3＝5.1(m). 【例2】如图，要做一个面积为12 m2的小花坛，该花坛的一边长为 x m，周长为 y m． （1）变量 y 是变量 x 的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围； （2）能求出这个问题的函数解析式吗？ （3）当 x 的值分别为1，2，3，4，5，6 时，请列表表示变量之间的对应关系； （4）能画出函数的图象吗？ 【解】（1）y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围是x＞0． （2）y =2（x + ）. （3） （4） 小结 本例说明三种函数表示方法之间有互补性，是可以相互转化的，体现了数形结合思想的应用． 并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来.如气温与时间的函数关系，只可用列表法和图象法表示，而无法用解析式法表示 . 在实际问题中,若纵轴和横轴上的点表示的是不同意义的量, 则两轴可以取不同单位长度，但每条坐标轴上的单位长度必须要一致． 特别需要注意的是不论用哪种表示方法都应使自变量的取值符合实际意义. 通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力.
随堂检测 1．某省遭受台风袭击，大部分地区发生强降雨，某河受暴雨袭击，某天的水位记录如表，观察表中数据，水位上升最快的时段是(　D　) A．8～12时 B．12～16时 C．16～20时 D．20～24时 2．用列表法与解析式法表示n边形的内角和m (单位：度)关于边数n的函数. 解：列表法： 解析式法：m＝(n－2)·180°(n≥3，n为正整数)． 3．用解析式法与图象法表示等边三角形的周长l是边长a的函数. 解：∵等边三角形的周长l是边长a的3倍， ∴周长l与边长a的函数关系可表示为l=3a（a＞0）. 4．甲车速度为20m／s，乙车速度为25m／s．现甲车在乙车前面500m，设x s后两车之间的距离为y m．求y随x（0≤x≤100）变化的函数解析式，并画出函数图象. 解：由题意可知，x s后两车行驶路程分别为甲车20x m，乙车25x m，两车行驶路程差为25x－20x=5x(m)，两车之间距离为(500-5x)m.所以y随x变化的函数关系式为y=500－5x（0≤x≤100）. 用描点法画图，列表 描点、连线. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第3课时 函数的三种表示方法 解析式法 列表法 图象法 例题解析
教学反思(共22张PPT)
22.2.3 函数的三种表示方法
1．了解函数的三种表示方法及其优点.
2．能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系.
3．能对函数关系进行分析，对变量的变化情况进行初步讨论.
m/kg 0 1 2 3 3.5 …
l/cm …
11.75
11.5
11
10.5
10
是，y=0.5x+10
问题1：有根弹簧原长10 cm，每挂1kg重物，弹簧伸长0.5 cm，设所挂的重物为m kg，受力后弹簧的长度为l cm，根据上述信息完成下表，并思考：受力后弹簧的长度l是所挂重物m的函数吗？
是，y=2x+2
问题2：有一辆出租车，前3公里内的起步价为8元，每超过1公里收2元，有一位乘客坐了x（x＞3）公里，他付费y元.用含x的式子表示y，y是x的函数吗？
问题3：如图是某地某一天的气温变化图.
T/
（1）指出其中的两个变量是_________，___________.
（2）其中_________是_______的函数，自变量是________.
气温T
时间t
气温T
时间t
时间t
从上面的三个问题中，可以发现表示函数有哪三种方法？这三种表示函数的方法各有什么优点？
根据前面的三个问题，可以发现函数有三种表示方法，分别是解析式法，列表法和图象法.
1.解析式法：准确地反映了函数与自变量之间的数量关系.
2.列表法：具体地反映了函数与自变量的数值对应关系.
3.图象法：直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律.
表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要同时使用几种方法.
t/h 0 1 2 3 4 5
y /m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你发现水位变化有什么规律吗？
例1　一水库的水位在最近5 h内持续上涨，下表记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y 表示水位高度.
解：如图，描出表中数据对应的点.可以看出，这6个点在一条直线上.再结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3m.由此猜想，如果画出这5 h内其他时刻 (如 t＝2.5 h等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的.
O
1
x
y
1
2
3
4
5
4
3
2
5
A
B
(2)水位高度y是否为时间t的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象.这个函数能表示水位的变化规律吗？
解：由于水位在最近5 h内持续上涨，对于时间 t 的每一个确定的值，水位高度 y 都有唯一的值与其对应，所以 y 是 t 的函数.开始时水位高度为3 m，以后每小时水位上升0.3 m.函数y＝0.3t＋3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数，它表示经过 t h水位上升0.3t m，即水位 y 为(0.3t＋3)m.
O
1
x
y
1
2
3
4
5
4
3
2
5
A
B
其图象是上图中点A(0，3) 和点B(5，4.5)之间的线段AB.
O
1
x
y
1
2
3
4
5
4
3
2
5
A
B
如果在这5 h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3m/h，那么函数y＝0.3t＋3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律.即使在这5 h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3 m是确定的，因此这个函数也可以近似地表示水位的变化规律.
(2)水位高度y是否为时间t的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象.这个函数能表示水位的变化规律吗？
(3)据估计这种上涨规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高度将为多少米.
解：如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2 h，t＝5＋2＝7(h)时，水位高度y＝0.3×7＋3＝5.1(m).
例2　如图，要做一个面积为12 m2的小花坛，该花坛的一边长为 x m，周长为 y m．
（1）变量 y 是变量 x 的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围；
（2）能求出这个问题的函数解析式吗？
x
解：（1）y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围是x＞0．
　（2）y =2（x + ）.　
（3）当 x 的值分别为1，2，3，4，5，6 时，请列表表示变量之间的对应关系；
（4）能画出函数的图象吗？
x/m 1 2 3 4 5 6
y/m 26 16 14 14 14.8 16
40
35
30
25
20
15
10
5
10
O
x
y
（3）
（4）
本例说明三种函数表示方法之间有互补性，是可以相互转化的，体现了数形结合思想的应用．
并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来.如气温与时间的函数关系，只可用列表法和图象法表示，而无法用解析式法表示 .
在实际问题中,若纵轴和横轴上的点表示的是不同意义的量, 则两轴可以取不同单位长度，但每条坐标轴上的单位长度必须要一致．
特别需要注意的是不论用哪种表示方法都应使自变量的取值符合实际意义.
1．某省遭受台风袭击，大部分地区发生强降雨，某河受暴雨袭击，某天的水位记录如表，观察表中数据，水位上升最快的时段是(　　)
A. 8～12时 B．12～16时
C．16～20时 D．20～24时
时间/时 0 4 8 12 16 20 24
水位/米 2 2.5 3 4 5 6 8
D
2．用列表法与解析式法表示n边形的内角和m (单位：度)关于边数n的函数.
解：列表法：
多边形的边数n 3 4 5 6 …
内角和m 180° 360° 540° 720° …
解析式法：m＝(n－2)·180°(n≥3，n为正整数)．
3．用解析式法与图象法表示等边三角形的周长l是边长a的函数.
解：∵等边三角形的周长l是边长a的3倍，
∴周长l与边长a的函数关系可表示为l=3a（a＞0）.
a … 1 2 3 4 …
l … 3 6 9 12 …
描点、连线：
列表：
O
2
x
y
1
2
3
4
8
6
4
10
12
4．甲车速度为20m／s，乙车速度为25m／s．现甲车在乙车前面500m，设x s后两车之间的距离为y m．求y随x（0≤x≤100）变化的函数解析式，并画出函数图象.
解：由题意可知，x s后两车行驶路程分别为甲车20x m，乙车25x m，两车行驶路程差为25x－20x=5x(m)，两车之间距离为(500-5x)m.所以y随x变化的函数关系式为y=500－5x（0≤x≤100）.
描点、连线.
x … 10 20 30 40 … 100 …
y=500-5x … 450 400 350 300 … 0 …
用描点法画图，列表：
O
100
x
y
10
20
30
40
400
300
200
500
100
60
70
80
90
50
解析式法
函数的表示方法
函数与自变量之间的数量关系
函数与自变量的数值对应关系
列表法
图象法
函数随自变量的变化而变化的规律

展开更多......

收起↑