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第二十三章 一次函数
23.1 一次函数的概念
1.理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系.
2.能利用一次函数解决简单的实际问题.
(1)试用函数解析式表示y与x的关系.
某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃.
解：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加x km时，气温从5 ℃减少6x℃. 因此y与x的函数解析式为y＝5－6x.
这个函数也可以写为y＝－6x＋5.
(2)求当登山队员向上登高2 km时，他们所在位置的气温.
当登山队员由大本营向上登高2 km时，他们所在位置的气温就是当x＝2时函数 y＝－6x＋5 的值，即 y＝－6×2＋5 ＝-7(℃).
在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同特征？
（1）铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化.
（2）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化.
m=7.9V;
h=0.5n;
　 （3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以cm为单位量出身高 h ，再减去常数105，所得差是m 的值，m 随 h 的变化而变化.
（4）把一个长10 cm、宽5 cm的长方形的长减少 x cm，宽不变，长方形的面积 y（单位：cm2）随 x 的变化而变化．
y=－5x＋50
m=h－105
上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为：
(1)m=7.9V; (2)h=0.5n;
(3)m=h－105; (4)y＝－5x＋50.
上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
上面写出的几个函数解析式有哪些共同特征？
一般地，形如 y=kx+b(k，b 是常数，k≠0) 的函数，叫作一次函数.
特别地,当 b=0 时, y=kx+b 即 y=kx ，形如 y=kx ( k是常数，k≠0) 的函数，叫作正比例函数，其中 k 叫作比例系数.
特别提醒：
一次函数y=kx+b(k≠0) 的结构特征：
1.k ≠ 0；
2.自变量 x 的次数是1；
3.常数项 b 可以是任意实数 .
例1 下列函数中，哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
(1)y＝－2x2；(2)y＝; (3)y＝3x2－x(3x－2)；
(4)x2＋y＝1；(5)y＝.
分析：看函数式是否为整式，再经过恒等变形，根据一次函数和正比例函数的定义进行判断．
解：(1)因为 x 的指数是2，所以 y＝－2x2 不是一次函数．
(2)因为 y＝，k＝≠0，b＝，
所以y＝ 是一次函数.
(3)因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，所以它是一次函数，也是正比例函数．
(4)x2＋y＝1，即 y＝1－x2.因为 x 的指数是2，所以x2＋y＝1不是一次函数．
(5)因为 y＝ 中 不是整式，不符合y＝kx＋b的形式，所以它不是一次函数．
判断函数式是否为一次函数的方法：
先看函数式是否是整式的形式，再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：(1)k≠0；(2)自变量x的次数为1；(3)常数项b可以为任意实数．
思考：一次函数与正比例函数有什么关系？
（2）正比例函数是一种特殊的一次函数.
（1）当b=0时，y=kx+b 即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数.
例2 已知函数 y=(m－1)x＋1－m2.
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数
解：由题意可得m－1≠0，解得m≠1.
即m≠1时，这个函数是一次函数.
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数
解：由题意可得m－1≠0，1－m2=0，解得m=－1.
即m=－1时，这个函数是正比例函数.
例2 已知函数 y=(m－1)x＋1－m2.
例3 一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm.
（1）求弹簧的长度 y （单位：cm）关于所挂物体质量 x（单位：kg）的函数解析式；
（2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？
解：（1）由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂 x kg的物体时，弹簧伸长 2x cm.因此，y关于x的函数解析式为 y=2x+12.
（2）把 x=5 代入 y=2x+12，得 y=2×5+12=22.
因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm.
1.下列说法正确的是（ ）
A.一次函数是正比例函数
B.正比例函数不是一次函数
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.正比例函数是一次函数
D
2.已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是y关于x的一次函数，则m的值是(　　)
A．－3 B．3 C．±3 D．±2
3.一个正方形的边长为3 cm，它的各边边长减少 x cm后，得到的新正方形的周长为 y cm，y与x之间的函数解析式是(　　)
A．y＝12－4x B．y＝4x－12
C．y＝12－x D．以上都不对
A
A
4.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
(1) y＝－8x； (2)y＝ ；
(3) y＝5x2＋6； (4)y＝－0.5x－1.
解：(1)，(4)是一次函数；(1)是正比例函数．
5.如果长方形的周长是 30 cm，长是 x cm，宽是 y cm.
(1)写出 y 与 x 之间的函数解析式，它是一次函数吗？
(2)若长是宽的 2 倍，求长方形的面积.
解：(1)y=15－x，是一次函数.
(2)由题意可得x=2(15－x).解得x=10，所以y=15－x=5.
∴长方形的面积为10×5=50(cm2).
一次函数
一次函数的概念
简单应用
y＝kx＋b， x是自变量，
y是x的函数
自变量取值满足实际意义第二十三章 一次函数
23.1 一次函数的概念
教学设计
课题 23.1 一次函数的概念 授课人
教学目标 1.理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系； 2.能利用一次函数的相关知识解决简单的实际问题
教学重点 理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系
教学难点 能利用一次函数的相关知识解决简单的实际问题
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃. (1)试用函数解析式表示y与x的关系. (2)求当登山队员向上登高2 km时，他们所在位置的气温. 解：（1）y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加x km时，气温从5 ℃减少6x℃. 因此y与x的函数解析式为y＝5－6x. 这个函数也可以写为y＝－6x＋5. （2）当登山队员由大本营向上登高2 km时，他们所在位置的气温就是当x＝2时函数 y＝－6x＋5 的值，即 y＝－6×2＋5 ＝-7(℃). 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同特征？ （1）铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化. （2）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化. （3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以cm为单位量出身高 h ，再减去常数105，所得差是m 的值，m 随 h 的变化而变化. （4）把一个长10 cm、宽5 cm的长方形的长减少 x cm，宽不变，长方形的面积 y（单位：cm2）随 x 的变化而变化． 解：（1）m=7.9V； （2）h=0.5n； （3）m=h－105； （4）y=－5x＋50 上面写出的几个函数解析式有哪些共同特征？ 上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为： (1)m=7.9V; (2)h=0.5n; (3)m=h－105; (4)y＝－5x＋50. 上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式. 小结 一般地，形如 y=kx+b(k，b 是常数，k≠0) 的函数，叫作一次函数. 特别地,当 b=0 时, y=kx+b 即 y=kx ，形如 y=kx ( k是常数，k≠0) 的函数，叫作正比例函数，其中 k 叫作比例系数. 注意 一次函数y=kx+b(k≠0) 的结构特征： 1.k ≠ 0； 2.自变量 x 的次数是1； 3.常数项 b 可以是任意实数 . （链接例1） 思考 一次函数与正比例函数有什么关系？ （1）当b=0时，y=kx+b 即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数. （2）正比例函数是一种特殊的一次函数. （链接例2、例3） 通过问题探究和讨论，帮助学生理解一次函数的概念.通过观察和讨论，帮助学生发现一次函数的概念，并掌握其应用.
典例精析 【例1】下列函数中，哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ (1)y＝－2x2；(2)y＝; (3)y＝3x2－x(3x－2)； (4)x2＋y＝1；(5)y＝ . 【解析】看函数式是否为整式，再经过恒等变形，根据一次函数和正比例函数的定义进行判断． 【解】(1)因为 x 的指数是2，所以 y＝－2x2 不是一次函数． (2)因为 y＝＝x+，k＝≠0，b＝， 所以y＝ x+是一次函数. (3)因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，所以它是一次函数，也是正比例函数． (4)x2＋y＝1，即 y＝1－x2.因为 x 的指数是2，所以x2＋y＝1不是一次函数． (5)因为 y＝ 中不是整式，不符合y＝kx＋b的形式，所以它不是一次函数． 【方法总结】判断函数式是否为一次函数的方法： 先看函数式是否是整式的形式，再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：(1)k≠0；(2)自变量x的次数为1；(3)常数项b可以为任意实数 【例2】已知函数 y=(m－1)x＋1－m2. （1）当m为何值时，这个函数是一次函数 （2）当m为何值时，这个函数是正比例函数 【解】（1）由题意可得m－1≠0，解得m≠1. 即m≠1时，这个函数是一次函数. （2）由题意可得m－1≠0，1－m2=0，解得m=－1. 即m=－1时，这个函数是正比例函数. 【例3】一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm. （1）求弹簧的长度 y （单位：cm）关于所挂物体质量 x（单位：kg）的函数解析式； （2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？ 【解】（1）由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂 x kg的物体时，弹簧伸长 2x cm.因此，y关于x的函数解析式为 y=2x+12. （2）把 x=5 代入 y=2x+12，得 y=2×5+12=22. 因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm. 通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力.
随堂检测 1.下列说法正确的是（ D ） A.一次函数是正比例函数 B.正比例函数不是一次函数 C.不是正比例函数就不是一次函数 D.正比例函数是一次函数 2.已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是y关于x的一次函数，则m的值是(　A　) A．－3 B．3 C．±3 D．±2 3.一个正方形的边长为3 cm，它的各边边长减少 x cm后，得到的新正方形的周长为 y cm，y与x之间的函数解析式是(　A　) A．y＝12－4x B．y＝4x－12 C．y＝12－x D．以上都不对 4.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ (1) y＝－8x； (2)y＝； (3) y＝5x2＋6； (4)y＝－0.5x－1. 解：(1)，(4)是一次函数；(1)是正比例函数． 5.如果长方形的周长是 30 cm，长是 x cm，宽是 y cm. (1)写出 y 与 x 之间的函数解析式，它是一次函数吗？ (2)若长是宽的 2 倍，求长方形的面积. 解：(1)y=15－x，是一次函数. (2)由题意可得x=2(15－x).解得x=10，所以y=15－x=5. ∴长方形的面积为10×5=50(cm2). 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 23.1 一次函数的概念 例题解析
教学反思

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