资源简介

第二十三章 一次函数
23.3 一次函数与方程（组）、不等式
第2课时 一次函数与二元一次方程组
教学设计
课题 第2课时 一次函数与二元一次方程组 授课人
教学目标 1.理解一元一次方程、不等式及二元一次方程组与一次函数之间的联系，能用函数图象解释方程（组）和不等式的解；
2.经历从代数解法到函数图象解法的探究过程，掌握通过函数图象求解方程（组）和不等式的方法； 3.运用函数思想解决生活实际问题，发展数学建模能力和应用意识
教学重点 理解一次函数与二元一次方程组的关系，并能够利用函数图像解决二元一次方程组的问题
教学难点 理解一次函数与二元一次方程组的关系，并能够利用函数图像解决二元一次方程组的问题
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 由于每个含未知数 x 和 y 的二元一次方程都可以转化为 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解（x，y）为坐标的点都在这条直线上. 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 思考 对于二元一次方程组你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？ 分析 方程组中两个二元一次方程组分别对应一次函数y=2x-1与y= x+，解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标.因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解. 如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=2x-1与y= x+的图象. 这两条直线的交点坐标为（1，1），由此得出方程组的解是 小结 由上可知，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看， 解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解. （链接例1、例2） 通过问题探究和讨论，帮助学生理解一次函数.通过观察和讨论，帮助学生发现函数一次，并掌握其应用.
典例精析 【例1】同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升;2号气球从距离地面15 m高处出发，以0.5 m/s的速度上升.两个气球都上升了1 min. (1)分别写出表示两个气球所在位置的高度 y(单位：m)关于上升时间 x(单位：s)的函数解析式. (2)两个气球在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 【解】(1)气球上升时间x满足0≤x≤60. 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y＝x＋5. 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y＝0.5x＋15. (2)两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于x的某个值 (0≤x≤60)，函数y＝x＋5和y＝0.5x＋15有相同的值y.由此可以列二元一次方程组 解这个方程，得 这就是说，当上升20 s时，两个气球都距离地面25 m. 还可以用一次函数的图象解决问题. 如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数y＝x＋5和y＝0.5x＋15的图象. 这两条直线的交点坐标为(20，25)，这也说明当上升20 s时，两个气球都距离地面25 m. 【变式训练】如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组的解是多少？ 【解】此方程组的解是 【例2】如图，求直线l1与l2 的交点坐标. 【解析】由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标. 【解】因为直线l1过点(-1，0)，(0，2) ，用待定系数法可求得直线l1的解析式为 y=2x+2.同理可求得直线l2的解析式为y=-x+3. 即直线l1与l2 的交点坐标为(，). 通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力.
随堂检测 1.已知二元一次方程组的解为则在同一平面直角坐标系中，直线 l1：y＝x＋5与直线 l2：y＝－x－1的交点坐标为__(－4，1)_． 2.若直线y＝－x＋a与直线y＝x＋b的交点坐标为(2，8)，则a－b的值为(　B　) A．2 B．4 C．6 D．8 解：画出函数 y = -x+3与y = x+1的图象，可知这两条直线的交点坐标为(1，2)， ∴ 原方程组的解为 4. 如图，直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点 P（1，b）. （1）求 b 的值； （2）直接写出方程组的解： ； （3）直线l3: y =nx +m是否经过点 P？请说明理由. 解:(1)把P(1，b)代入y=x+1，得b = 1+1=2. (3)由(1)可知,P(1，2)在直线y=mx+n上， ∴m + n = 2. ∵把P(1，2)代入l3:y=nx+m的左右两边，即当x=1时，y=n+m= 2， ∴直线y=nx+m经过点P. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第2课时 一次函数与二元一次方程组 例题解析
教学反思(共18张PPT)
23.3.2 一次函数与二元一次方程组
1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组.
2.会利用两个一次函数图象的交点求不等式的解集.
3.体验数形结合的思想，学会用函数的观点去认识问题.
一次函数与二元一次方程(组)的关系
二元一次方程
2x - y = 1
一次函数
y=2x-1
可转化为
有相同的解
图象是一条直线，直线上每个点的坐标(x,y)
方程2x-y=1的解为(x,y)，以(x,y)为坐标的点
点都在这条直线上
点的坐标都是方程的解
由于每个含未知数 x 和 y 的二元一次方程都可以转化为 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解（x，y）为坐标的点都在这条直线上.
思考 对于二元一次方程组你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？
分析 方程组中两个二元一次方程组分别对应一次函数y=2x-1与y=，解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标.因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解.
如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=2x-1与y=的图象.
y=2x-1
y=
P(1,1)
这两条直线的交点坐标为（1，1），由此得出方程组的解是
由上可知，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看， 解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.
例1 同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升;2号气球从距离地面15 m高处出发，以0.5 m/s的速度上升.两个气球都上升了1 min.
(1)分别写出表示两个气球所在位置的高度 y(单位：m)关于上升时间 x(单位：s)的函数解析式.
(2)两个气球在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
解：(1)气球上升时间x满足0≤x≤60.
对于1号气球，y关于x的函数解析式为y＝x＋5.
对于2号气球，y关于x的函数解析式为y＝0.5x＋15.
解：(2)两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于x的某个值 (0≤x≤60)，函数y＝x＋5和y＝0.5x＋15有相同的值y.由此可以列二元一次方程组
解这个方程，得
这就是说，当上升20 s时，两个气球都距离地面25 m.
还可以用一次函数的图象解决问题.
如图，在同一直角坐标系中，画出一次函
数y＝x＋5和y＝0.5x＋15的图象.
这两条直线的交点坐标为(20， 25)，这也说明当上升20 s时，两个气球都距离地面25 m.
如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组的解是多少？
解：此方程组的解是
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-3
-4
-5
2
O
-2
1
4
-6
x
y
P
y=ax+b
y=cx+d
例2 如图，求直线l1与l2 的交点坐标.
分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.
解方程组
解：因为直线l1过点(-1，0)，
(0，2) ，用待定系数法可求得
直线l1的解析式为 y=2x+2.同理
可求得直线l2的解析式为
y=-x+3.
得
即直线l1与l2 的交点坐标为(，).
1.已知二元一次方程组的解为则在同一平面直角坐标系中，直线 l1：y＝x＋5与直线 l2：y＝－x－1的交点坐标为___________．
(－4，1)
2.若直线y＝－x＋a与直线y＝x＋b的交点坐标为(2，8)，则a－b的值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
B
3. 用图象法解方程组：
1
1
2
2
3
3
-3
-3
-2
-2
-1
-1
解：画出函数 y = -x+3与
y = x+1的图象，可知这
两条直线的交点坐标为
(1，2)，
∴ 原方程组的解为
（1，2）
4. 如图，直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点 P（1，b）.
（1）求 b 的值；
（2）直接写出方程组的解： ；
（3）直线l3: y =nx +m是否经过点 P？请说明理由.
解:(1)把P(1，b)代入y=x+1，得b = 1+1=2.
(3)由(1)可知,P(1，2)在直线y=mx+n上，
∴m + n = 2.
∵把P(1，2)代入l3:y=nx+m的左右两边，
即当x=1时，y=n+m= 2，
∴ 直线y=nx+m经过点P.
一次函数与二元一次方程组的关系：
(1)二元一次方程组中的每个方程均可看作函数解析式.
(2)求二元一次方程组的解可看作求两个一次函数的交点坐标.

展开更多......

收起↑