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第二十四章 数据的分析
24.1 数据的集中趋势
24.1.2 中位数和众数
第1课时 中位数和众数
教学设计
课题 第1课时 中位数和众数 授课人
教学目标 1.通过实例抽象出中位数和众数的定义，发展数学抽象能力； 2.经历数据排序、计算的过程，掌握中位数和众数的求解步骤，提升运算能力； 3.在真实问题中合理选择中位数、众数或平均数分析数据，培养统计意识和应用能力
教学重点 中位数和众数的概念及计算方法
教学难点 理解中位数和众数在不同情景中的意义
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 1.什么是算术平均数？怎么求一组数据的算术平均数？ 一般地，有 n 个数据 x1，x2，…，xn，我们把叫作这 n 个数据的平均数，记作“”，即. 2.怎么求一组数据的加权平均数？ 一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则 . 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 问题1 在第149页“问题1”中，计算得到甲和乙两组跳绳成绩的平均数分别为172次/min和180次/min.张华个人的跳绳成绩为175次/min，她认为自己的成绩在甲组中属于中上水平，在乙组中属于中下水平.你认可张华的说法吗？ 分析 张华的跳绳成绩要处于一个组的中上（或中下）水平，意味着她的成绩超过（或低于）这个组至少一半人数的成绩，即超过（或低于）这个组中成绩排名居中的人的成绩. 可以看出，张华的成绩在甲组中处于中下水平，在乙组中处于中上水平，这与她自己作出的判断正好相反. 小结 一般地，一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的数叫作这组数据的中位数. 求中位数的步骤： 1.将数据由小到大(或由大到小)排列； 2.当数据的个数为奇数时，处于中间位置的数就是中位数； 当数据的个数为偶数时，居中的数据有两个，取这两个数据的平均数为这组数据的中位数． 一组数据按大小排序后，位于中位数左、右两侧的数据个数相同，因此中位数反映了一组数据取值的中间水平. 思考 为什么甲组同学跳绳成绩的平均数比乙组的小，而中位数反而大呢？ 因为中位数是数据排序后的中间位置数值，而与数据中极端值的大小无关，这也是它与平均数的重要区别，平均数易受极端值影响. 如果一组数据中有极端数据，中位数能比平均数更合理地反映该组数据的整体水平． （链接例1） 一般采取少数服从多数的原则，把得票数最多的地点作为班级的集体意见，选择颐和园作为春游地点. 小结 一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数． 例如，在问题2中，颐和园就是全班同学意见的众数. 众数的求法： 1.一组数据中出现次数最多的那个数据； 2.如果一组数据中有两个或两个以上的数据出现的次数并列最多，那么把这几个数据都作为这组数据的众数； 3.如果一组数据中没有出现相同的数据那么就认为这组数据没有众数. （链接例2） 通过问题探究和讨论，帮助学生理解中位数和众数.通过观察和讨论，帮助学生发现中位数和众数，并掌握其应用.
典例精析 【例1】在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取12名选手所用的时间（单位: min)如下： 136 140 129 180 124 154 146 145 158 175 165 148 (1)这组样本数据的中位数是多少？ (2)一名选手所用的时间是142 min，推测他的成绩是否超过这次比赛中一半以上选手的成绩？ 【解】(1)先将样本数据按照由小到大的顺序排列：124 129 136 140 145 146 148 154 158 165 175 180 这组数据的中位数为处于中间的两个数146， 148的平均数，即 =147.因此样本数据的中位数是147. (2) 根据(1)中得到的样本数据的中位数，可以估计，在这次马拉松比赛中，大约有一半选手的成绩小于 147 min，有一半选手的成绩大于 147 min. 这名选手的成绩是142 min，小于中位数147 min，可以推测他的成绩比一半以上选手的成绩好. 【方法总结】一组数据的中位数是唯一的，它可能是这组数据中的某个数，也可能不是这组数据中的数 . 中位数是刻画一组数据的“中等水平”的一个代表，反映了一组数据的集中趋势 . 用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它不能充分利用所有的数据信息，但它不受极端值的影响，当一组数据中有个别数据变动较大时，可用中位数来描述这组数据的集中趋势. 【例2】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示.你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗？ 【解析】一般来讲，鞋店比较关心哪种尺码的鞋销售量最大，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数. 一段时间内卖出的30双女鞋的尺码组成一个样本数据，通过分析样本数据可以找出样本数据的众数. 进而可以估计这家鞋店销售哪种尺码的鞋最多. 【解】由表可以看出，在不同的尺码中，尺码为 23.5cm 的鞋销售量最大，即众数为 23.5，因此可以建议鞋店多进 23.5 cm的鞋. 【方法总结】(1)一组数据的众数一定出现在这组数据中； (2)一组数据的众数可能不止一个； (3)一组数据也可能没有众数，因为有可能数据出现的频数相同； (4)众数可以在某种意义上代表这组数据的整体情况． 一组数据的众数不一定唯一，可能有一个或几个，也可能没有. 众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数. 通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力.
随堂检测 1.某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表： 则这10名篮球运动员年龄的中位数为(　B　) A．12 B．13 C．13.5 D．14 2.要调查多数同学们喜欢看的电视节目，应关注的是哪个数据的代表（ C ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D ．三个数都可以 3.在演讲比赛中，你想知道自己在所有选手中处于什么水平，应该选择哪个数据的代表（ B ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D ．三个数都可以 4.一组数据18，22，15，13，x，7，它的中位数是16，则x的值是__17__. 5.已知一组数据10，10，x，8(由大到小排列)的中位数与平均数相等，求x值及这组数据的中位数. 解：∵10，10，x，8的中位数与平均数相等， ∴ (10+x)÷2＝ (10+10+x+8)÷4，∴x＝8，(10+x)÷2＝9. ∴这组数据的中位数是9. 6.为了了解开展“孝敬父母,从家务事做起”活动的实施情况,某校抽取八年级某班50名学生,调查他们一周做家务所用时间,得到一组数据,并绘制成下表,请根据下表完成各题: (1)填写表格中未完成的部分； (2)该班学生每周做家务的平均时间是 2.44 . (3)这组数据的中位数是 2.5 ,众数是 3 . 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第1课时 中位数和众数 中位数 众数 例题解析
教学反思(共23张PPT)
24.1.2.1 中位数和众数（1）
1.理解中位数和众数的概念.会求一组数据的中位数.
2.会求一组数据的中位数和众数.（重点）
1.什么是算术平均数？怎么求一组数据的算术平均数？
2.怎么求一组数据的加权平均数？
一般地，有 n 个数据 x1，x2，…，xn，我们把叫作这 n 个数据的平均数，记作“”，即
一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则 .
问题1 在第149页“问题1”中，计算得到甲和乙两组跳绳成绩的平均数分别为172次/min和180次/min.张华个人的跳绳成绩为175次/min，她认为自己的成绩在甲组中属于中上水平，在乙组中属于中下水平.你认可张华的说法吗？
分析 张华的跳绳成绩要处于一个组的中上（或中下）水平，意味着她的成绩超过（或低于）这个组至少一半人数的成绩，即超过（或低于）这个组中成绩排名居中的人的成绩.
按从小到大的顺序分别排列两组跳绳成绩，甲组为
143 156 182 185 194
处在中间位置的数是182，它的左侧和右侧各有2个数．乙组为
141 148 170 199 242
处在中间位置的数是170，它的左侧和右侧各有2个数.
可以看出，张华的成绩在甲组中处于中下水平，在乙组中处于中上水平，这与她自己作出的判断正好相反.
175
175
143 156 182 185 194
141 148 170 199 242
分别是甲组数据和乙组数据集中趋势的一种刻画.
一般地，一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的数叫作这组数据的中位数.
求中位数的步骤：
1.将数据由小到大(或由大到小)排列；
2.当数据的个数为奇数时，处于中间位置的数就是中位数；
当数据的个数为偶数时，居中的数据有两个，取这两个数据的平均数为这组数据的中位数．
一组数据按大小排序后，位于中位数左、右两侧的数据个数相同，因此中位数反映了一组数据取值的中间水平.
为什么甲组同学跳绳成绩的平均数比乙组的小，而中位数反而大呢？
因为中位数是数据排序后的中间位置数值，而与数据中极端值的大小无关，这也是它与平均数的重要区别，平均数易受极端值影响.
如果一组数据中有极端数据，中位数能比平均数更合理地反映该组数据的整体水平．
例1 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取12名选手所用的时间（单位: min)如下：
136 140 129 180 124 154
146 145 158 175 165 148
(1)这组样本数据的中位数是多少？
(2)一名选手所用的时间是142 min，推测他的成绩是否超过这次比赛中一半以上选手的成绩？
124 129 136 140 145 146
148 154 158 165 175 180
解：(1)先将样本数据按照由小到大的顺序排列：
这组数据的中位数为处于中间的两个数146， 148的平均数，即
因此样本数据的中位数是147.
(2) 根据(1)中得到的样本数据的中位数，可以估计，在这次马拉松比赛中，大约有一半选手的成绩小于 147 min，有一半选手的成绩大于 147 min. 这名选手的成绩是142 min，小于中位数147 min，可以推测他的成绩比一半以上选手的成绩好.
特别提醒：
一组数据的中位数是唯一的，它可能是这组数据中的某个数，也可能不是这组数据中的数 .
中位数是刻画一组数据的“中等水平”的一个代表，反映了一组数据的集中趋势 .
用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它不能充分利用所有的数据信息，但它不受极端值的影响，当一组数据中有个别数据变动较大时，可用中位数来描述这组数据的集中趋势.
问题2 班级春游有三个备选地点，经全班一人一票投票，每个地点的得票数如下表所示.
地点 北京故宫 颐和园 香山公园
票数 10 26 4
你认为班级的春游地点应该选择哪里？
一般采取少数服从多数的原则，把得票数最多的地点作为班级的集体意见，选择颐和园作为春游地点.
对全班同学作了一次全面调查
是投票结果，与前面见到的数据都是数值不同，无法进行计算和排列
一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数．
众数的求法：
1.一组数据中出现次数最多的那个数据；
2.如果一组数据中有两个或两个以上的数据出现的次数并列最多，那么把这几个数据都作为这组数据的众数；
3.如果一组数据中没有出现相同的数据那么就认为这组数据没有众数.
例如，在问题2中，颐和园就是全班同学意见的众数.
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 1 2 5 11 7 3 1
例2 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示.你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗？
分析：一般来讲，鞋店比较关心哪种尺码的鞋销售量最大，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数. 一段时间内卖出的30双女鞋的尺码组成一个样本数据，通过分析样本数据可以找出样本数据的众数. 进而可以估计这家鞋店销售哪种尺码的鞋最多.
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 1 2 5 11 7 3 1
例2 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示.你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗？
解：由表可以看出，在不同的尺码中，尺码为 23.5cm 的鞋销售量最大，即众数为 23.5，因此可以建议鞋店多进 23.5 cm的鞋.
(1)一组数据的众数一定出现在这组数据中；
(2)一组数据的众数可能不止一个；
(3)一组数据也可能没有众数，因为有可能数据出现的频数相同；
(4)众数可以在某种意义上代表这组数据的整体情况．
特别提醒：
一组数据的众数不一定唯一，可能有一个或几个，也可能没有.
众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数.
1.某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表：
则这10名篮球运动员年龄的中位数为(　　)
A．12 B．13
C．13.5 D．14
年龄(岁) 12 13 14 15
人数(名) 2 4 3 1
B
2.要调查多数同学们喜欢看的电视节目，应关注的是哪个数据的代表（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D ．三个数都可以
C
3.在演讲比赛中，你想知道自己在所有选手中处于什么水平，应该选择哪个数据的代表（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D ．三个数都可以
B
4.一组数据18，22，15，13，x，7，它的中位数是16，则x的值是_______.
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5.已知一组数据10，10，x，8(由大到小排列)的中位数与平均数相等，求x值及这组数据的中位数.
解：∵10，10，x，8的中位数与平均数相等，
∴ (10+x)÷2＝ (10+10+x+8)÷4，∴x＝8，(10+x)÷2＝9.
∴这组数据的中位数是9.
6.为了了解开展“孝敬父母,从家务事做起”活动的实施情况,某校抽取八年级某班50名学生,调查他们一周做家务所用时间,得到一组数据,并绘制成下表,请根据下表完成各题:
每周做家务的时间(小时) 0 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
人数 2 2 6 12 13 4 3
(1)填写表格中未完成的部分；
(2)该班学生每周做家务的平均时间是 .
2.44
(3)这组数据的中位数是 ,众数是 .
2.5
3
8
中位数和众数
中位数：中间的一个数，或中间的两个数的平均数.
众数：出现次数最多的数.

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