资源简介

第二十四章 数据的分析
24.2 数据的离散程度
第1课时 离差平方和与方差
教学设计
课题 第1课时 离差平方和与方差 授课人
教学目标 1.通过实例理解离差平方和与方差的统计意义，能解释离差平方和与方差与数据波动性的关系；
2.掌握离差平方和与方差的计算公式，能正确计算数据集的离差平方和与方差，并比较不同数据集的稳定性；
3.综合运用离差平方和与方差分析实际问题，形成数据驱动的决策能力
教学重点 掌握离差平方和与方差的计算方法
教学难点 根据问题情景正确使用离差平方和与方差
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 在统计学中，除了平均数、中位数、众数这类刻画数据集中趋势的量以外，数据的波动情况也是人们经常关注的特征，统计中把它称为数据的离散程度. 本节我们将学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量——离差平方和、方差. 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 问题 某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量 (单位：t) 如下表所示. 根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢 上面两组数据的平均数分别是 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量 相差不大.由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大. 由样本平均数估计总体平均数 怎样直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况呢？ 可以画出统计图如图所示： 比较上面的两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好. 如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？ 正如上图所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小，反过来也成立.这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画. 小结 一般地，有 n 个数据 x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，我们把 xi-(i=1，2，…，n）叫作 xi 关于平均数的离差或偏差. 思考 可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？ 用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由 可知，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异. 为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.我们把 叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”. 把离差的平方的平均数 叫作这组数据的方差，记作“s2”. 小结 方差的意义 方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好的反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量. 方差越大，数据的离散程度越大； 方差越小，数据的离散程度越小. 你能利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度吗？ 　显然，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好. 据样本估计总体的统计思想，种乙种甜玉米产量较稳定． 思考 用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？ 离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制. （链接例1） 如何使用计算器求方差？ 使用计算器的统计功能可以求方差.操作时需要参阅计算器的使用说明书，通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态，然后依次输入数据，最后按动求方差的功能键，计算器便会求出方差的值. （链接例2） 通过问题探究和讨论，帮助学生理解离差平方和与方差.通过观察和讨论，帮助学生发现离差平方和与方差，并掌握其应用.
典例精析 【例1】甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示. 哪名射击运动员的发挥更稳定？ 【解】两名运动员射击成绩的平均数分别为 两名运动员射击成绩的方差分别为 由可知，乙射击运动员的发挥更稳定. 【例2】人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：，则成绩较为稳定的班级是( B ) A．甲班 B．乙班 C．两班成绩一样稳定 D．无法确定 【解析】稳定性，也就是指成绩的波动．成绩波动越小，成绩越稳定．根据“方差越大，数据的波动越大：方差越小，数据的波动越小，我们很容易发现乙班的方差比甲班的小，所以乙班的成绩较稳定． 【方法总结】在利用方差比较两组数据的波动情况时，一定要先计算两组数据的平均数．一般说来，平均数可能反映数据的优劣程度，如果在平均数上已经能够区分几组数据的优劣，那么就不用再考虑方差的大小了．但在实际的习题中，往往都是平均值相同，那么此时就要考虑数据的方差情况了．由此可得到：在解决问题时，要先算平均数，当平均值不同时，择优选取；当平均数相同时，比较方差，选择波动较小的一组数据． 通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力.
随堂检测 1.对于一组统计数据3，3，6，5，3.下列说法错误的是(　D　) A．众数是3 B．平均数是4 C．方差是1.6 D．中位数是6 2.设数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，若s2＝0，则(　D　) A．x＝0 B．x1＋x2＋…＋xn＝0 C．x1＝x2＝…＝xn＝0 D．x1＝x2＝…＝xn 3.甲、乙两名射击手的100次测试的平均成绩都是9环，方差分别是0.8和0.35，则成绩比较稳定的是___乙___ (填“甲”或“乙”). 4.一组数据1，2，a，4，5的平均数是3,则这组数据的方差是_2__. 5.甲、乙两班举行计算机打字比赛，参赛学生每分钟打字的个数统计结果如下表： 某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟打字个数≥150为优秀)；③甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的有 ①②③ . 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第1课时 离差平方和与方差 离差平方和 方差 例题解析
教学反思(共22张PPT)
24.2.1 数据的离散程度（1）
1.理解离差平方和和方差的概念及统计学意义.
2.会计算一组数据的方差.
3.能够运用方差判断数据的波动程度，并解决简单的实际问题.
在统计学中，除了平均数、中位数、众数这类刻画数据集中趋势的量以外，数据的波动情况也是人们经常关注的特征，统计中把它称为数据的离散程度.
本节我们将学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量——离差平方和、方差.
问题 某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量 (单位：t) 如下表所示.
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量 相差不大.由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大.
由样本平均数估计总体平均数
上面两组数据的平均数分别是
甲=7.537，乙=7.515.
怎样直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况呢？
可以画出统计图如图所示：
甲种甜玉米的产量
乙种甜玉米的产量
甲种甜玉米的产量
乙种甜玉米的产量
比较上面的两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好.
如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？
正如上图所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小，反过来也成立.这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画.
一般地，有 n 个数据 x1，x2，…，xn，用 表示它们的平均数，我们把 xi- (i=1，2，…，n）叫作 xi 关于平均数 的离差或偏差.
思考 可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？
用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由
(x1- )+(x2- )+…+(xn- )=x1+x2+…+xn-n=0
可知，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异.
为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.我们把
(x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2
叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”.
把离差的平方的平均数
叫作这组数据的方差，记作“s2”.
方差的意义
方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好的反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.
方差越大，数据的离散程度越大；
方差越小，数据的离散程度越小.
你能利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度吗？
　　据样本估计总体的统计思想，种乙种甜玉米产量较稳定．
　　显然 　＞ 　，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好.
思考 用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？
离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制.
例1 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示.
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
哪名射击运动员的发挥更稳定？
解：两名运动员射击成绩的平均数分别为
甲==8.7,
乙==8.6.
两名运动员射击成绩的方差分别为
s2甲= =2.41,
s2乙= =1.04.
由s2甲＞s2乙可知，乙射击运动员的发挥更稳定.
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
如何使用计算器求方差？
使用计算器的统计功能可以求方差.操作时需要参阅计算器的使用说明书，通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态，然后依次输入数据，最后按动求方差的功能键，计算器便会求出方差的值.
例2 人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：甲=乙=80，s2甲=240，s2乙=180，则成绩较为稳定的班级是( )
A．甲班 B．乙班 C．两班成绩一样稳定 D．无法确定
B
解析：稳定性，也就是指成绩的波动．成绩波动越小，成绩越稳定．根据“方差越大，数据的波动越大：方差越小，数据的波动越小，我们很容易发现乙班的方差比甲班的小，所以乙班的成绩较稳定．
在利用方差比较两组数据的波动情况时，一定要先计算两组数据的平均数．一般说来，平均数可能反映数据的优劣程度，如果在平均数上已经能够区分几组数据的优劣，那么就不用再考虑方差的大小了．但在实际的习题中，往往都是平均值相同，那么此时就要考虑数据的方差情况了．由此可得到：在解决问题时，要先算平均数，当平均值不同时，择优选取；当平均数相同时，比较方差，选择波动较小的一组数据．
1.对于一组统计数据3，3，6，5，3.下列说法错误的是(　　)
A．众数是3 B．平均数是4
C．方差是1.6 D．中位数是6
D
2.设数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，若s2＝0，则(　　)
A．x＝0
B．x1＋x2＋…＋xn＝0
C．x1＝x2＝…＝xn＝0
D．x1＝x2＝…＝xn
D
4.一组数据1，2，a，4，5的平均数是3,则这组数据的方差是_____.
　2　
乙
3.甲、乙两名射击手的100次测试的平均成绩都是9环，方差分别是0.8和0.35，则成绩比较稳定的是_______ (填“甲”或“乙”).
5.甲、乙两班举行计算机打字比赛，参赛学生每分钟打字的个数统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟打字个数≥150为优秀)；③甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的有 .
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
①②③
离差平方和
数据的离散程度
d2=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2
方差
s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]

展开更多......

收起↑