资源简介

第二十四章 数据的分析
24.3 数据的四分位数
教学设计
课题 24.3 数据的四分位数 授课人
教学目标 1.理解四分位数的概念，掌握四分位数的计算方法. 2.理解箱线图的构成及其意义，能够绘制和解读箱线图. 3.能够通过四分位数和箱线图分析数据的分布特征.
教学重点 理解四分位数，掌握四分位数的算法
教学难点 通过四分位数分析数据的离散程度
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 回顾方差的计算公式，并说明方差的意义． 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小． 方差的适用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况． 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 某银行有 A 和 B 两个理财经营团队.近三年，这两个团队分别负责经营12项理财产品，收益率(单位：%)如下： A: 4.77 3.98 6.44 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10 B: 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91 如果你是一位购买理财产品的投资人，会选择哪个团队的产品？ 我们用产品收益率的平均数和方差来进行分析： ，可以看出团队B的平均收益率略高，但差别不大； ，可以看出团队B收益率的波动较小，产品收益率的稳定性要好于团队A. 因此，如果你是稳健性投资者，那么应该选择团队B经营的理财产品；如果你是激进型投资者，那么应该选择团队A经营的理财产品. 思考 如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情况，例如收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等信息，那么产品收益率的平均数和方差能反映出这些信息吗？ 平均数和方差虽然可以反映产品收益率的集中趋势和离散程度，但无法反映出投资客户关心的这些信息．因此，我们需要能反映产品收益率更多分布信息的统计量. 一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成2等份.将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数．相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息. 由于每个团队的产品收益率的数据个数不多，我们可以用三个特殊的百分位数来刻画. 如图所示，把团队A的产品收益率按从小到大的顺序排列，得到这组数据的中位数为3.915，这个值把所有数据分成2等份，所有数据中小于这个值的占50%，称3.915为这组数据的50%分位数． 在3.915左侧和右侧的数据中，还可以分别得到它们各自的中位数3.195和4.44，所有数据中小于这两个值的分别占25%和75%，称3.195和4.44分别为这组数据的25%分位数和75%分位数. 小结 由于3.195，3.915，4.44这三个值把这组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的四分位数，从小到大分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数（中位数）、第三四分位数，分别记为Q1，Q2，Q3. 由团队A产品收益率的三个四分位数，可以大致看出其产品收益率的分布情况.其产品收益率小于3.195%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.915%的项目数占总数的一半，产品收益率大于4.44%的项目数占总数的25%.产品收益率在3.195%至4.44%之间的项目数占总数的50%. 类似地，如图，可以得到团队B产品收益率的三个四分位数分别为3.635，3.89，4.125. 由团队B产品收益率的三个四分位数可以知道，其产品收益率小于3.635%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.89%的项目数占总数的一半，产品收益率大于4.125%的项目数占总数的25%.产品收益率在3.635%至4.125%之间的项目数占总数的50%. 为了更加直观地观察产品收益率的分布特征，我们可以用产品收益率的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图． 团队A产品收益率的箱线图如下图所示，它主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段（称为须线）构成. 箱线图中最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值，中间箱体的左端竖线表示第一四分位数，箱体中部的竖线表示第二四分位数（中位数），箱体的右端竖线表示第三四分位数，整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距.由箱线图，容易看出产品收益率分布的大致情况，如分布的范围、中位数的大小、集中的范围、分布是否对称等. 类似地，可以画出团队B产品收益率的箱线图，如下图所示. 箱线图也可以按竖直方向画.为了便于比较两个团队产品收益率的分布特征，把两个箱线图按竖直方向并列画在同一幅图中，如图所示. 从图中可以发现，两个团队产品收益率的中位数几乎相等（表示中位数的水平线段差不多高），但团队A的产品收益率波动明显比团队B的大（团队A的箱体和须线比团队B的长)，这与用平均数、方差比较的结果是一致的． 从箱线图中，还可以看出分布的一些其他特征，例如，团队B的产品收益率分布比团队A的更对称（中位数对应的水平线段在箱子的中间位置），团队A有约25%的产品收益率高于团队B的最高产品收益率，也有约25%的产品收益率低于团队B的最低产品收益率，等等. 小结 按从小到大的顺序排列的一组数据，可以按以下步骤确定其四分位数： 先找出这组数据的中位数，作为这组数据的第二四分位数；然后找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的第一四分位数和第三四分位数.利用一组数据的三个四分位数，以及最小值、最大值可以刻画这组数据的大致分布情况. （链接例题） 通过问题探究和讨论，帮助学生理解数据的四分位数.通过观察和讨论，帮助学生发现数据的四分位数，并掌握其应用.
典例精析 【例1】根据下表中的数据，分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点. 【解】将表中两地的气温（单位：℃）分别按从小到大的顺序排列，可得 甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 甲、乙两地气温各有13个数据.甲地气温的最小值为9，最大值为24，三个四分位数分别为 乙地气温的最小值为11，最大值为21，三个四分位数分别为 在同一幅图中画出两地气温的箱线图，如图所示. 可以看出，甲、乙两地气温的中位数相同，但甲地气温的波动明显比乙地的大，甲地约有25%时刻的气温高于乙地的最高温度，约有25%时刻的气温低于乙地的最低温度. 通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力.
随堂检测 1.若一组数据的平均数、中位数、众数都相等，则这组数据可能是（ B ） A. 1，2，3，4，5 B. 1，2，2，2，3 C. 1，1，1，2，2 D. 1，1，2，2，3 2.数据集{12, 15, 18, 22, 24, 27, 30}的第一四分位数是 15 ，第三四分位数是 27 . 3.某次考试分数的第90百分位数是95分，说明至少有 90 %的 学生分数不超过95分. 4.某小组 8 名学生的数学成绩分别为 75，80，85，90，90，95，100，100. (1) 求这组数据的平均数、中位数、众数； (2) 计算第三四分位数. 解：(1) 平均数： (75 + 80 + 85 + 90 + 90 + 95 + 100 + 100)÷8 = 90； 将数据从小到大排序为 75，80，85，90，90，95，100，100，中位数为(90 + 90)÷2 = 90；众数是 90 和 100. (2)8×75% = 6，第三四分位数是第 6 个数和第 7 个数的平均值，即(95 + 100)÷2 = 97.5. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 24.3 数据的四分位数 例题解析
教学反思(共24张PPT)
24.3 数据的四分位数
1.理解四分位数的概念，掌握四分位数的计算方法.
2.理解箱线图的构成及其意义，能够绘制和解读箱线图.
3.能够通过四分位数和箱线图分析数据的分布特征.
回顾方差的计算公式，并说明方差的意义．
方差的适用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况．
方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小．
某银行有 A 和 B 两个理财经营团队.近三年，这两个团队分别负责经营12项理财产品，收益率(单位：%)如下：
A: 4.77 3.98 6.44 4.89 2.15 3.85
3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B: 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60
4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
如果你是一位购买理财产品的投资人，会选择哪个团队的产品？
我们用产品收益率的平均数和方差来进行分析：
A≈3.862,B≈3.863,可以看出团队B的平均收益率略高，但差别不大；
s2A≈1.327,s2B≈0.117,可以看出团队B收益率的波动较小，产品收益率的稳定性要好于团队A.
因此，如果你是稳健性投资者，那么应该选择团队B经营的理财产品；如果你是激进型投资者，那么应该选择团队A经营的理财产品.
如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情况，例如收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等信息，那么产品收益率的平均数和方差能反映出这些信息吗？
平均数和方差虽然可以反映产品收益率的集中趋势和离散程度，但无法反映出投资客户关心的这些信息．因此，我们需要能反映产品收益率更多分布信息的统计量.
一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成2等份.将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数．相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息.
由于每个团队的产品收益率的数据个数不多，我们可以用三个特殊的百分位数来刻画.
如图所示，把团队A的产品收益率按从小到大的顺序排列，
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.80 6.44
3.915
3.195
4.44
得到这组数据的中位数为3.915，这个值把所有数据分成2等份，所有数据中小于这个值的占50%，称3.915为这组数据的50%分位数．
在3.915左侧和右侧的数据中，还可以分别得到它们各自的中位数3.195和4.44，所有数据中小于这两个值的分别占25%和75%，称3.195和4.44分别为这组数据的25%分位数和75%分位数.
由于3.195，3.915，4.44这三个值把这组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的四分位数，从小到大分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数（中位数）、第三四分位数，分别记为Q1，Q2，Q3.
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.80 6.44
3.915
3.195
4.44
第一四分位数
第二四分位数
第三四分位数
由团队A产品收益率的三个四分位数，可以大致看出其产品收益率的分布情况.其产品收益率小于3.195%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.915%的项目数占总数的一半，产品收益率大于 4.44%的项目数占总数的25%.产品收益率在3.195%至4.44%之间的项目数占总数的50%.
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.80 6.44
3.915
3.195
4.44
第一四分位数
第二四分位数
第三四分位数
3.18 3.40 3.60 3.67 3.84 3.87 3.91 3.99 4.10 4.15 4.21 4.44
3.89
3.635
4.125
第一四分位数
第二四分位数
第三四分位数
类似地，如图，可以得到团队B产品收益率的三个四分位数分别为3.635，3.89，4.125.
由团队B产品收益率的三个四分位数可以知道，其产品收益率小于3.635%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.89%的项目数占总数的一半，产品收益率大于4.125%的项目数占总数的25%.产品收益率在3.635%至4.125%之间的项目数占总数的50%.
为了更加直观地观察产品收益率的分布特征，我们可以用产品收益率的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图．
2 3 4 5 6 7 收益率/%
最小值
最大值
第一四分位数
第二四分位数
第三四分位数
团队A产品收益率的箱线图如下图所示，它主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段（称为须线）构成.
箱线图中最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值，中间箱体的左端竖线表示第一四分位数，箱体中部的竖线表示第二四分位数（中位数），箱体的右端竖线表示第三四分位数，整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距.由箱线图，容易看出产品收益率分布的大致情况，如分布的范围、中位数的大小、集中的范围、分布是否对称等.
2 3 4 5 6 7 收益率/%
最小值
最大值
第一四分位数
第二四分位数
第三四分位数
类似地，可以画出团队B产品收益率的箱线图，如下图所示.
2 3 4 5 6 7 收益率/%
箱线图也可以按竖直方向画.为了便于比较两个团队产品收益率的分布特征，把两个箱线图按竖直方向并列画在同一幅图中，如右图所示.
从图中可以发现，两个团队产品收益率的中位数几乎相等（表示中位数的水平线段差不多高），但团队A的产品收益率波动明显比团队B的大（团队A的箱体和须线比团队B的长)，这与用平均数、方差比较的结果是一致的．
从箱线图中，还可以看出分布的一些其他特征，例如，团队B的产品收益率分布比团队A的更对称（中位数对应的水平线段在箱子的中间位置），团队A有约25%的产品收益率高于团队B的最高产品收益率，也有约25%的产品收益率低于团队B的最低产品收益率，等等.
归纳 按从小到大的顺序排列的一组数据，可以按以下步骤确定其四分位数：
先找出这组数据的中位数，作为这组数据的第二四分位数；然后找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的第一四分位数和第三四分位数.利用一组数据的三个四分位数，以及最小值、最大值可以刻画这组数据的大致分布情况.
例 根据下表中的数据，分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点.
解：将表中两地的气温（单位：℃）分别按从小到大的顺序排列，可得
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
甲、乙两地气温各有13个数据.甲地气温的最小值为9，最大值为24，三个四分位数分别为
Q2=16，Q1==11.5，Q3==21.
乙地气温的最小值为11，最大值为21，三个四分位数分别为
Q2=16，Q1==13.5，Q3==18.5.
在同一幅图中画出两地气温的箱线图，如图所示.
可以看出，甲、乙两地气温的
中位数相同，但甲地气温的波动明
显比乙地的大，甲地约有25%时刻的气温高于乙地的最高温度，约有25%时刻的气温低于乙地的最低温度.
1.若一组数据的平均数、中位数、众数都相等，则这组数据可能是（ ）
A. 1，2，3，4，5
B. 1，2，2，2，3
C. 1，1，1，2，2
D. 1，1，2，2，3
B
3.某次考试分数的第90百分位数是95分，说明至少有 %的
学生分数不超过95分.
2.数据集{12, 15, 18, 22, 24, 27, 30}的第一四分位数是 ，第三四分位数是 .
90
15
27
4.某小组 8 名学生的数学成绩分别为 75，80，85，90，90，95，100，100.
(1) 求这组数据的平均数、中位数、众数；
(2) 计算第三四分位数.
解：(1) 平均数：
(75 + 80 + 85 + 90 + 90 + 95 + 100 + 100)÷8 = 90；
将数据从小到大排序为 75，80，85，90，90，95，100，100，中位数为(90 + 90)÷2 = 90；众数是 90 和 100.
(2)8×75% = 6，第三四分位数是第 6 个数和第 7 个数的平均值，即(95 + 100)÷2 = 97.5 .
百分位数
数据的四分位数
四分位数
箱线图

展开更多......

收起↑