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第二十四章 数据的分析
24.4 数据的分组
教学设计
课题 24.4 数据的分组 授课人
教学目标 1.掌握计算组内离差平方和的方法 2.通过组内离差平方和分析数据的分散程度
教学重点 理解离差平方和的概念
教学难点 会用离差平方和对数据进行分组
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 在社会生活中，分类现象普遍存在．例如，超市里各种商品按用途不同分类摆放，宾馆根据硬件设施、服务水平等分成不同的星级，等等．在实际问题中，当面临的对象复杂多样时，分类往往可以为我们处理问题带来方便．对于一组取值多样的数据，对其进行合理分组，也会有助于我们解决问题. 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下： 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 你认为哪一部分应聘者应当进入面试 自然，应当选择笔试成绩好的应聘者进人面试．那么笔试成绩怎样才算好呢？可以有不同的标准．例如，前三名或85分及以上等，不管哪种标准，目的都是把笔试成绩分成好和差两组. 对笔试成绩进行分组，上面提到的标准各有其合理性，在实际中也经常被采用．但这些标准都没有考虑数据自身的特点，这可能导致两个很接近的笔试成绩被分到不同的组.例如，83分与85分的差距很小，若以“85分及以上”为好成绩的标准，则85分属于好成绩，而83分属于差成绩．而从公司确定面试应聘者的角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较合理的做法.因此，笔试成绩可以根据组内差异最小的原则进行分组. 将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩都挨在了一起，因此，要使分组后的组内差异最小，只需在已排序数据的基础上寻找分组方法，可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成9个间隔，如图所示， 每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，共有9种分法. 思考 怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？ 在前面的学习中，我们知道，离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组. 一般地，设有 n 个数据 x1，x2，…，xn，其平均数记为，则离差平方和为 如果把这组数据分为两组，前m（m典例精析 【例】10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示. 根据平均高温的组内离差平方和最小的原则：把这10个城市分为两组. 【解】将表中的数据按从小到大排列：可得-11 -3 3 3 9 10 12 17 21 22 将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表所示 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}和{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}. 通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力.
随堂检测 1．科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率（单位：μmol m 2 s 1）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由 小 到 大 排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成 7 种情况． 2．甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩（单位：分）如下：15，18，15，24，按照“组内离差平方和最小”的方法，将竞赛成绩分成两组． 解：将4个数据从小到大排序：15，15，18，24．将它们分成两组共有3种情况，分别计算组内离差平方和，如表所示 所以第三种情况的组内离差平方和最小， 所以将竞赛成绩分成的两组是{15,15,18}和{24}． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 24.4 数据的分组 例题解析
教学反思(共17张PPT)
24.4 数据的分组
1.理解离差平方和的概念.（重点）
2.会用离差平方和对数据进行分组.（难点）
在社会生活中，分类现象普遍存在．例如，超市里各种商品按用途不同分类摆放，宾馆根据硬件设施、服务水平等分成不同的星级，等等．在实际问题中，当面临的对象复杂多样时，分类往往可以为我们处理问题带来方便．对于一组取值多样的数据，对其进行合理分组，也会有助于我们解决问题.
问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下：
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
你认为哪一部分应聘者应当进入面试
自然，应当选择笔试成绩好的应聘者进人面试．那么笔试成绩怎样才算好呢？可以有不同的标准．例如，前三名或85分及以上等，不管哪种标准，目的都是把笔试成绩分成好和差两组.
对笔试成绩进行分组，上面提到的标准各有其合理性，在实际中也经常被采用．但这些标准都没有考虑数据自身的特点，这可能导致两个很接近的笔试成绩被分到不同的组.例如，83分与85分的差距很小，若以“85分及以上”为好成绩的标准，则85分属于好成绩，而83分属于差成绩．而从公司确定面试应聘者的角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较合理的做法.因此，笔试成绩可以根据组内差异最小的原则进行分组.
将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩都挨在了一起，因此，要使分组后的组内差异最小，只需在已排序数据的基础上寻找分组方法，可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成9个间隔，如图所示，
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，共有9种分法.
在前面的学习中，我们知道，离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组.
思考 怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？
一般地，设有 n 个数据 x1，x2，…，xn，其平均数记为 ，则离差平方和为
d2=(x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2.
如果把这组数据分为两组，前m（md21=(x1-1)2+(x2-1)2+…+(xm-1)2,
d22=(xm+1-2)2+(xm+2-2)2+…+(xn-2)2,
那么d2=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2
=(x1-1+1-)2+(x2-1+1-)2+…+(xm-1+1-)2+
(xm+1-2+2-)2+(xm+2-2+2-)2+…+(xn-2+2-)2
=(x1-1)2+(x2-1)2+…+(xm-1)2+(xm+1-2)2+(xm+2-2)2+…+(xn-2)2
+m(1-)2+(n-m)(2-)2
=d21+d22+m(1-)2+(n-m)(2-)2.
其中d 1+d 2称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度；记
d 12=m(1-)2+(n-m)(2-)2,
d 12是m个第一组数据平均数、（n-m）个第二组数据平均数关于总体数据平均数的离差平方和，称为组间离差平方和，表示两个组间的差异．根据组内离差平方和最小的原则进行分组时，由于d 不变，既可以按d 1+d 2最小来分组，也可以按d 12最大来分组.
这样，根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较小的应聘者分在同一组．利用计算器或信息技术工具，可以计算出图中的9种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表所示.
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第三组离差平方和
第1个间隔 0 799.6 799.6
第2个间隔 18 503.5 521.5
第3个间隔 50.7 271.4 322.1
第4个间隔 152.8 170.8 323.6
第5个间隔 228.8 54.8 283.6
第6个间隔 411.3 26 437.3
第7个间隔 587.4 4.7 592.1
第8个间隔 819.5 2 821.5
第9个间隔 1026.2 0 1026.2
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为
{58，64，68，75，76}和{83，85，89，99，92}.
例 10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示.
根据平均高温的组内离差平方和最小的原则：把这10个城市分为两组.
城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明
平均高温/℃ 3 3 -3 -11 10 21 22 12 9 17
解：将表中的数据按从小到大排列：可得
-11 -3 3 3 9 10 12 17 21 22
将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表所示
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第三组离差平方和
第1个间隔 0 584.2 584.2
第2个间隔 32 380.9 412.9
第3个间隔 98.7 285.7 384.4
第4个间隔 132 158.8 290.8
第5个间隔 228.8 113.2 342
第6个间隔 308.8 62 370.8
第7个间隔 397.4 14 411.4
第8个间隔 562 0.5 562.5
第9个间隔 789.6 0 789.6
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为
{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}
和
{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}.
1．科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率（单位：）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由 到 排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成 种情况．
小
大
7
2．甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩（单位：分）如下：15，18，15，24，按照“组内离差平方和最小”的方法，将竞赛成绩分成两组．
解：将4个数据从小到大排序：15，15，18，24．
将它们分成两组共有3种情况，分别计算组内离差平方和，如表所示
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第三组离差平方和
第1个间隔 0 42 42
第2个间隔 0 18 18
第3个间隔 6 0 6
所以第三种情况的组内离差平方和最小，
所以将竞赛成绩分成的两组是．
数据的分组
利用离差平方和对数据进行分组

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