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(共49张PPT)
主题一
三角函数与平面向量
专题1　三角函数的化简与求值
导言　高考对三角函数的化简与求值的考查，基础方面需掌握三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式，重点考查三角恒等变换，聚焦考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式的变形应用，同时也需掌握升幂公式和降幂公式，掌握拼凑角思想．它往往出现在小题中，或者是作为解答题中的一小问．
内容索引
基础活动
优选活动
自主活动
思维模型
基 础 活 动
D
0
4 [苏教版必修二P64例1改编]已知tan α，tan β是方程x2＋5x－6＝0的两根，则tan(α＋β)＝________.
要点指引
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
②sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
③cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
④cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
2. 二倍角公式：
①sin 2α＝2sin αcos α；
②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；
3. 注意三角公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，需能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件合理选用公式．
优 选 活 动
重点1　三角函数的化简
　　　已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)等于(　 　)
1
A
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：两题的条件与结论互换，正向使用两角和与差的余弦公式，切化弦，注重和差公式的形式和结构上的联系．
变式训练　已知sin(3α－β)＝msin(α－β)，tan(2α－β)＝ntan α，则m，n的关系为(　 　)
D
题后反思
1. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．
2. 转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括函数名称变换、角的变换、“1”的变换、和积变换等. 在求解过程中，要充分关注角的范围．
重点2　三角函数的求值
2
本题与【基础活动】的第4题对比，发现：两题的条件本质一样，只是呈现的方式不同. 正向使用两角和与差的正切公式，注重整体思想的应用．　
D
D
题后反思
1. “给角求值”问题的解题关键在于确定角的象限，注意三角函数的正负取值，然后正确利用公式．
2. “给值求值”问题的解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化从而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧．
3. “给值求角”问题的基本解题方法：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图象、诱导公式求角. 解题过程中需多加注意角的范围，合理选用角的某个三角函数是关键．
重点3　三角恒等变换的应用
3
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：　两题都是已知角的三角函数值，通过两角和与差的展开式来进行求值．　
题后反思　三角恒等变换往往进行多角度考查，如结合三角函数的定义，三角函数的图象与性质，进行化简求值. 解题过程中需多加注意角的范围，合理利用公式，科学进行转化化归，从未知向已知靠拢．
自 主 活 动
2
4
1
3
1 [2025信阳一中模拟]已知2tan α＝tan2θ，tan(α－θ)＝－8，则tanθ的值为(　 　)
A. 3 B. 2
C. －2 D. －3
C
2
4
1
3
2
4
1
3
2 [2025盐城考前模拟]若2sin(α－β)＝cos αcos β≠0,2cos(α－β)＝cos(α＋β)，则tan(α－β)的值为(　 　)
A
2
4
1
3
2
4
3
1
AC
2
4
3
1
2
4
3
1
2
4
3
1
思 维 模 型
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主题一
三角函数与平面向量
微专题1　三角形中的最值、范围问题
导言　三角形中的范围与最值问题，是高考重要题型．它不仅仅需要用到三角变换，正弦定理、余弦定理，往往还需要涉及不等式、函数、数形结合等知识与方法．高考命题方向：利用正弦定理、余弦定理转化为三角函数求范围；转化为基本不等式求最值；数形结合求最值等．
内容索引
基础活动
优选活动
自主活动
思维模型
基 础 活 动
B
2 [苏教版必修二P113复习题T7改编]如图，已知角A＝60°，点P，Q分别在角A的两边上，PQ＝2，则△APQ面积的最大值为______.
4 [苏教版必修二P92例3]用余弦定理证明：在△ABC中，当C为锐角时，a2＋b2>c2；当C为钝角时，a2＋b2证明：当C为锐角时，cosC>0.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC即a2＋b2>c2.
同理可证，当C为钝角时，a2＋b2要点指引　解三角形中的范围与最值问题常见解题技巧：
1. 利用基本不等式求范围或最值；
2. 利用三角函数求范围或最值；
3. 利用三角形中的不等关系求范围或最值；
4. 根据三角形解的个数求范围或最值；
5. 利用二次函数求范围或最值．
优 选 活 动
难点1　角的范围与最值
1
C
本题与【基础活动】的第1题对比，发现：两题都是与角的最值有关，应判定最大(小)角，然后进行求值．　
变式训练1　在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边.已知a＝2，2sinB＋2sinC＝3sinA，则cosA的最小值为______.
变式训练2　[2025盐城一中期中]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若4a2＝3(b2－c2)，则当角A最大时，sinC的值为(　　 )
B
题后反思　角的范围问题常利用余弦定理结合基本不等式或者已知的不等关系处理. 涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解；注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角，锐角三角形的三个内角均为锐角等．
难点2　边的范围与最值
2
(1) 求∠BAC的大小；
(2) 若a＝1，求AD长的最大值．
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：两题中都涉及线段长度的最值，利用余弦定理转化为边的关系，结合基本不等式或函数可求最值.　
(1) 求角C的大小；
(2) 若2sinA＋4sinB＝a＋2b，求边AB上高的最大值．
得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
又2sinA＋4sinB＝a＋2b，
所以2sinA＋4sinB＝2RsinA＋4RsinB，则R＝1.
题后反思　三角形中长度的和差比问题的最值、范围问题，首先定基本量，根据题意或几何图形理清三角形中边、角的关系，利用正弦定理、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围；其次构建函数，根据正弦定理、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示；最后利用基本不等式或函数的单调性等求最值．
难点3　面积的范围与最值
(1) 求角A的大小；
(2) 若△ABC是锐角三角形，且b＝1，求△ABC面积的取值范围．
思路引导：本题考查三角恒等变换，正弦定理及面积公式．(1) 由已知式展开后逆用和角公式和辅助角公式化简，再借助三角形内角范围即可求得角A；(2) 因为A，b已知，所以可结合正弦定理用含角B的式子表示出边c，求出角B的范围，再利用三角函数的单调性求得c的范围，代入三角形面积公式即可求得其范围．
3
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：两题都是求面积的最值，通过正、余弦定理，化为边或角，然后利用基本不等式或函数求最值．　
(1) 求角B的大小；
(2) 若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围．
题后反思
2. 三角形中面积的范围与最值问题要建立三角形面积与角或边的关系，然后把角或边作为自变量，三角形面积的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．
3. 求解范围或最值问题时要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
自 主 活 动
2
4
1
3
1 [2025长沙一中期中]在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则最大角的余弦值为(　 　)
A
2
4
1
3
2 [2025辽宁三模]如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝4，BC＝CD，∠ACD＝60°，则AD的最小值为(　 　)
C
2
4
1
3
2
4
3
1
BCD
2
4
3
1
2
4
3
1
4 [2025丹阳中学月考]已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA＝2sinB，acosB＋bcosA＝2，则△ABC面积的最大值为___.
2
4
3
1
思 维 模 型
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主题一
三角函数与平面向量
专题4　平面向量的基本运算及应用
导言　高考中关于平面向量知识点，重点考查平面向量的数量积、夹角及模的运算，考查平面向量的线性运算及其几何意义，难度中低档，熟悉数形结合思想，强化运算求解能力与转化化归能力．
内容索引
基础活动
优选活动
自主活动
思维模型
基 础 活 动
A
D
3 [2025上海卷]已知a＝(2,1)，b＝(1，x)．若a∥b，则x＝______.
4 [人教A版必修二P21例13改编]已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线．若向量a＋kb与a－kb互相垂直，则k＝________.
要点指引
1. 如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)共线，那么存在唯一的λ，使a＝λb成立或x1y2－x2y1＝0.
2. 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则
(1) a·b＝x1x2＋y1y2；
优 选 活 动
重点1　平面向量的线性运算
　　　[2025学军中学期中]如图，点G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点(可以与端点重合)，且P，G，Q三点共线．
1
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：两题均涉及用基底表示向量，解题时要注意适当选择向量所在的三角形或其他平面图形，寻找已知向量和未知向量的关系．　
－15
题后反思　用基底表示向量的两种方法：
1. 线性运算法：运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止. 解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平面图形，找到已知向量和未知向量的关系．
2．待定系数法：首先根据平面向量基本定理设所求向量为两个不共线向量的线性运算形式，然后通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求待定系数．
重点2　平面向量的坐标运算
　　　[2025如东高级中学月考]已知向量a＝(1,2)，b＝(－3，k)．
(1) 若a∥b，求|a＋b|的值；
(2) 若a⊥(a＋2b)，求实数k的值；
(3) 若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
思路引导：本题考查平面向量的坐标运算，两向量的位置关系．(1) 根据向量平行的坐标运算公式可求得k＝－6，进而求出结果；(2) 根据向量垂直的坐标运算公式即可得出答案；(3) 由题意分析得到a·b＜0且a与b不共线，结合(1)利用相关坐标即可求得结果．
2
解：(1) 因为向量a＝(1,2)，b＝(－3，k)，a∥b，
所以1×k－2×(－3)＝0[防范失误①]，解得k＝－6，
(3) 因为a与b的夹角是钝角，
所以a·b＝－3＋2k＜0且a，b不共线，
即k＜且k≠－6[防范失误②]，
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：两题均利用向量关系进行坐标运算，根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，注意公式的正确运用．　
变式训练　[2025菏泽中学期中]已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)．
(1) 当λ为何值时，|c|最小？
(2) 当λ为何值时，c与a的夹角最小？
解：(1) 因为a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb，
所以c＝(1－3λ，2＋4λ)，
(2) 设c与a的夹角为θ，则θ∈[0，π]，
要使θ最小，则需cos θ最大，
显然cos θ的最大值为1，此时θ＝0，即c与a共线同向．
由(1)的向量坐标可得1×(2＋4λ)＝2(1－3λ)，解得λ＝0.
故当λ＝0时，c与a的夹角最小．
题后反思　向量的坐标运算可类比数的运算进行. 要正确使用数量积公式a·b＝x1x2＋y1y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，及向量的垂直与平行的判定，并注意与函数、方程等知识的联系．
重点3　向量的数量积及其应用
(1) 若a⊥b，求向量b的坐标；
(2) 若c为单位向量，a，b，c经过平移，可以平移到同一平面内，且三个向量两两之间的夹角相等，求|a＋b＋c|.
3
(2) 若c为单位向量，a，b，c经过平移，可以平移到同一平面内，且三个向量两两之间的夹角相等[防范失误②]，
则当三个向量两两之间的夹角为0时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝2＋3＋1＝6[防范失误③]；
变式训练　(多选)[2025天一中学月考]已知向量a＝(－3,1)，b＝(1，－2)，则下列结论中正确的是(　 　)
AC
题后反思
1. 由向量的运算求其夹角时要注意夹角的范围是[0，π]．
2. 利用基底计算数量积时，要注意选择恰当的基底，常用已知的向量作基底．
3. 数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义．
4. 可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知的向量模和夹角进行计算．
自 主 活 动
2
4
1
3
1 [2025西宁二模]已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,1)，则a在b上的投影向量为(　 　)
D
2
4
1
3
2 [2025全国一卷]帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反. 如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同，单位m/s)，则真风为(　 　)
A. 轻风 B. 微风
C. 和风 D. 劲风
等级 风速大小 名称
2 1.6～3.3 轻风
3 3.4～5.4 微风
4 5.5～7.9 和风
5 8.0～10.7 劲风
A
2
4
1
3
2
4
3
1
3 (多选)已知平面向量a＝(m，m＋2)，m∈R，b＝(3,4)，则下列说法中正确的是(　 　)
A. a，b一定可以作为一个基底
B. |a|一定有最小值
C. 一定存在一个实数m使得|a＋b|＝|a－b|
D. a，b的夹角的取值范围是[0，π]
BC
2
4
3
1
2
4
3
1
4 [2025菏泽二模]已知向量a＝(1，－1)，b＝(－3，1)．若ka＋b与a－b垂直，则实数k的值为______.
思 维 模 型
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主题一
三角函数与平面向量
专题3　解 三 角 形
导言　与解三角形相关的问题是高考的热点问题，通常以三角形为载体，借助正弦定理、余弦定理及面积公式实现边角互化，解决长度与角度的问题. 近年来更重视以多个三角形或动态三角形为背景进行设置问题，与高线、中线、角平分线等结合，问题变得由简单到复杂．
内容索引
基础活动
优选活动
自主活动
思维模型
基 础 活 动
A. 45° B. 60°
C. 120° D. 135°
A
D
4 如图，AM是△ABC的边BC上的中线，求证：
证明：设∠AMB＝α，则∠AMC＝180°－α.
在△ABM中，由余弦定理，得AB2＝AM2＋BM2－2AM·BM cos α.
在△ACM中，由余弦定理，得AC2＝AM2＋MC2－2AM·MC·cos(180°－α)．
要点指引
2. 若式子含有a，b，c的二次式，优先考虑余弦定理．
优 选 活 动
重点1　面积问题
1
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：两题都涉及面积问题，通过求出三角形的边长，然后利用面积公式求解．　
变式训练　[2025海门中学月考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 从下面三个条件中选择两个，使得△ABC存在，并解答下列问题：
(1) 求cosB的值；
(2) 当a＝2时，求△ABC的面积．
解：(1) 若选①②：
由b＋c＝2a，可知b≤a≤c或c≤a≤b，所以B≤A≤C或C≤A≤B.
重点2　周长问题
2
则f(x)max＝f(A)，f(x)在区间(0，π)上取到最大值，
所以x＝A必定是极值点，
由向量的数量积公式，得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2cos〈a，b〉，
则2cos〈a，b〉＝2，即cos〈a，b〉＝1，
得〈a，b〉＝0，即a，b同向共线．
由向量a与向量b共线，
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：两题均求三角形的周长，其本质是求边长，利用正弦定理求解．　
变式训练　[2025江西师大附中模拟]记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3asinA＝5bsinC.
(1) 求cosA的最小值；
(2) 已知13a2＝10(b2＋c2)．
①求sinA的值；
解：(1) 由正弦定理及3asinA＝5bsinC，得3a2＝5bc.
由余弦定理，得3(b2＋c2－2bccosA)＝5bc，
则5bc≥3(2bc－2bccosA)，当且仅当b＝c时，等号成立，
题后反思
三角形的周长问题：已知两角与一边，通常使用正弦定理；已知一角与对边，通常利用余弦定理和公式a2＋b2＝(a＋b)2－2ab将问题转化为求两边之和的问题．
重点3　“三线”问题
3
本题与【基础活动】的第4题对比，发现：两题均涉及三角形的中线问题，【基础活动】第4题的结论就是三角形的中线长公式，在小题中可以直接运用，也可由向量的中线公式推导可得．　
(2) 若选①：因为a＝6，由(1)知，c＝6，
所以a＝c，则A＝C，
因为A为钝角，所以不符合三角形的内角和定理，
所以△ABC不存在．
题后反思　在解三角形问题中，完成边、角计算的常用方法：
1. 两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正、余弦定理的性质解题．
2. 等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题．
3. 正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路．
4. 相似是解三角形中的常用思路，构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择．
5. 平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起．
6. 建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化．
自 主 活 动
2
4
1
3
1 [2025青岛三模]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“acosB＝bcosA”是“△ABC是等腰三角形”的(　 　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
A
2
4
1
3
D
2
4
1
3
2
4
3
1
ABD
2
4
3
1
2
4
3
1
2
4
3
1
①a，c的值；
②sin(2C＋B)的值．
2
4
3
1
2
4
3
1
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三角函数与平面向量
专题2　三角函数的图象与性质
导言　高考中关于三角函数的图象和性质的考查，一般有单调性的独立考查；周期性、奇偶性、单调性的综合考查；结合函数的图象和性质求解析式(函数值)；图象之间的变换关系等. 在综合考查中，会给出两个三角函数，综合考查它们的性质、图象关系等．
内容索引
基础活动
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基 础 活 动
A. y＝sin x，y＝cos x B. y＝sin x，y＝tan x
C. y＝cos x，y＝tan x D. y＝－sin x，y＝－cos x
B
右
[0,1]
要点指引
3. 在进行图象变换时，切记每一个变换总是对变量x而言的，即图象变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角ωx＋φ”变化多少．
优 选 活 动
重点1　三角函数的解析式
1
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：两题都是通过图象的平移后得出函数的解析式，同时例1又加入了更多的性质．　
题后反思　求三角函数解析式y＝A sin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)就是求其中参数A，ω，φ，k的值，根据各参数的几何意义，结合所给的图象，然后求出各参数的值即可，一般先求A，k，然后求ω(处理好对称性与周期的关系)，最后求φ.
重点2　三角函数的图象
2
A. 3　　 B. 4　　
C. 6　　 D. 8
思路引导：本题考查了三角函数的图象与性质，形如y＝Asin(ωx＋φ)的图象，五点法作图．结合周期性利用五点作图法画出两函数在区间[0,2π]上的图象，然后判断交点个数，需要关注定义域的影响．
C
本题与【基础活动】的第4题对比，发现：两题中涉及的三角函数完全相同，五点法画出图象或者利用变换得到相应函数的图象，注重作图能力和数形结合思想的应用．　
BCD
题后反思
1. 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象(五个关键点特指ωx＋φ的取值)
2. 三角函数的图象变换
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法：
重点3　三角函数的性质
3
A
思路引导：本题考查了三角函数的图象与性质．根据函数的单调性及对称性，确定出ω＝4n＋2，n∈Z，再根据单调区间确定周期范围得出0＜ω≤2，从而可确定ω＝2，最后结合单调性与对称中心得出φ，可得出f(x)的解析式，再根据正弦函数的图象得出最值即可．
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：两题均考查三角函数的图象与性质．考查了函数的单调性及值域．　
D
题后反思　三角函数单调性、对称性、奇偶性有关的常用结论(以y＝Asin(ωx＋φ)为例)
自 主 活 动
2
4
1
3
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
C
2
4
1
3
ABD
2
4
1
3
2
4
3
1
2
4
3
1
(1) 这个函数的解析式；
(2) 函数在区间[－π，0]上的增区间和零点．
2
4
3
1
2
4
3
1
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主题一
三角函数与平面向量
微专题2　与平面向量有关的最值、范围问题
导言　平面向量中的最值、范围问题是高考命题的热点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择、填空题的形式出现，常考题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等．
内容索引
基础活动
优选活动
自主活动
思维模型
基 础 活 动
【解析】 |a＋b|≤|a|＋|b|＝2＋3＝5，当且仅当a，b同向时，等号成立，故|a＋b|max＝5.又|a＋b|≥||a|－|b||＝|2－3|＝1，当且仅当a，b反向时，等号成立，故|a＋b|min＝1.
1 若a，b满足|a|＝2，|b|＝3，则|a＋b|的最大值为___，最小值为___.
5
1
90°
要点指引
1. ||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
2. 向量的模指的是有向线段的长度，可以利用坐标表示，也可以借助“形”，结合平面几何知识求解. 如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求．
求模的范围或最值常见方法：
(1) 通过|a|2＝a2转化为实数问题；
(2) 数形结合；
(3) 坐标法．
3. 求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系．
4. 解决平面向量中涉及系数的范围问题常利用共线向量定理及推论：
(1) a∥b a＝λb(b≠0)．
优 选 活 动
难点1　数量积的最值或范围
1
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：两题均结合数量积的运算律求数量积的最值，通过合理引进变量，转化成二次函数知识求解．　
A. (－2,6) B. (－6,2)
C. (－2,4) D. (－4,6)
A
题后反思　向量数量积的范围与最值问题常用方法：基底法、坐标法、几何意义法．其关键是通过向量转化，将数量积表示成某个变量的函数关系，然后利用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出最值；也可以利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，然后结合图形，确定临界位置的动态分析求出数量积范围．
难点2　模长的最值或范围
　　　[2025重庆巴蜀中学期中]已知a，b，c为单位向量，且|3a－5b|＝7，则|2a－c|＋|b－2c|的最小值为(　 　)
C. 4 D. 6
2
B
本题与【基础活动】的第1题对比，发现：两题都是求模长的最值，通过三角不等式求解，使用时要注意等号成立的条件．　
B
题后反思　对于模长的最值问题，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是求得最值的核心，缺一不可. 平面向量加法几何意义，即|a＋b|和|a－b|是以|a|，|b|为邻边的平行四边形的两条对角线延伸的结论：①|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)；②||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|是转化问题的关键．
难点3　夹角的最值或范围
3
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：两题都涉及由模长的最值求夹角的最值(范围)或夹角的三角函数值的最值(范围)，注意等号成立的条件．　
变式训练　[2025人大附中模拟预测]若平面向量a，b满足|a|＝3|b|，且|a－b|＝4，则a与a－b夹角的正弦值的最大值为(　 　)
B
题后反思
1. 求向量夹角的最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系．
2. 考查向量夹角取值范围的计算，解题的关键就是将向量特殊化处理，借助基本不等式或者函数的知识来求解．
难点4　线性系数的最值或范围
4
本题与【基础活动】的第4题对比，发现：两题都涉及系数的最值，通过平面向量基本定理来求解．　
题后反思
1. 此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解．
2. 平面向量中涉及系数的范围问题时，要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系，通过列不等式或等式得关于系数的关系式，从而求系数的取值范围．
自 主 活 动
2
4
1
3
A. 13 B. 15
C. 19 D. 21
A
2
4
1
3
2
4
1
3
2 设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b－ta|的最小值为1，则下列结论中正确的是(　 　)
A. 若θ确定，则|a|唯一确定 B. 若θ确定，则|b|唯一确定
C. 若|a|确定，则θ唯一确定 D. 若|b|确定，则θ唯一确定
B
2
4
3
1
BD
2
4
3
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1
思 维 模 型
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主题一
三角函数与平面向量
热点1　三角函数中与ω相关的问题
导言　三角函数中与ω相关的问题是新高考卷的难点内容，会结合三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域、零点及伸缩平移变换综合求解，基本以客观题形式出现，设题灵活，难度中等或较高．
内容索引
基础活动
优选活动
自主活动
思维模型
基 础 活 动
B
要点指引
2. 极值、最值与“ω”结合的问题，可以画出简图，利用三角函数的最值或周期，列出关于ω的不等式，通过解不等式求参数的最值或范围．
3. 已知零点个数求ω的取值范围：对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关；若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含(k＋1)个零点的区间长度的最小值．
优 选 活 动
探究1　零点问题
A. 8 B. 6
C. 4 D. 3
思路引导：本题考查了三角恒等变换，零点问题．先利用辅助角公式化简f(x)，根据π是f(x)的周期构造ω的等式，然后结合f(x)的零点情况确定ω的最小值．
1
C
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：两题均涉及三角函数在给定区间上零点的问题，通常利用整体思想结合三角函数的图象构造出关于ω的不等关系求解，注意区间的开闭对不等号的影响．　
题后反思　解函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(k∈Z，ω>0，n∈N*)在给定区间上的零点问题的方法：
f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间(a，b)内有n个零点，转化为
同理f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]内有n个零点，转化为
探究2　单调性问题
2
BC
本题与【基础活动】的第1题对比，发现：两题中均涉及三角函数的单调性，涉及区间的长度．　
变式训练　(多选)[2025徐州一中月考]已知函数f(x)＝2sin(2ωx＋φ)(ω＞0)，则下列说法中不正确的是(　 　)
A. 若f(x)的最小正周期为π，则ω＝2
AB
题后反思　利用三角函数的单调性求参数的值或范围，通常有以下方法：
1. 子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列出不等式(组)求解．
2. 反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦函数、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．
探究3　对称性问题
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3
B
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：两题的条件都给出三角函数图象的对称性，综合考查三角函数的图象与性质．　
A. (5,8) B. (5,8]
C. (5,11] D. [5,11)
B
题后反思　三角函数对称性问题的求解方法：
1. 定义法：正(余)弦函数图象的对称轴是过函数图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，交点的横坐标是函数的零点．
2. 公式法(k∈Z)：
探究4　最值、极值问题
4
本题与【基础活动】的第1题对比，发现：两题均根据三角函数最值点，确定ω的取值范围．　
D
B
题后反思　研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题. 题目可能同时涉及零点、极值点和单调性，需分步处理每个条件，建立方程或不等式．
自 主 活 动
2
4
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3
1 [2025汕尾中学质检]若函数f(x)＝sin ωx＋cos x的最大值为 2，则常数ω的取值可以为(　 　)
D
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B
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ABC
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思 维 模 型
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