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2025-2026学年甘肃省武威市天祝县新华中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.将抛物线y=x2向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（　　）
A. y=（x-4）2+2 B. y=（x+4）2+2 C. y=（x+4）2-2 D. y=（x-4）2-2
3.已知⊙O的半径为5cm,点P在⊙O外，则OP的长（　　）
A. 大于5cm B. 小于5cm C. 大于10cm D. 不大于10cm
4.如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角∠BAD的度数为（　　）
A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°
5.如图，AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的弦.若，则∠B的度数为（　　）
A. 18°
B. 36°
C. 54°
D. 64°
6.已知二次函数y=a（x-1）2+1（a＞0）的图象上有三个点，其坐标分别为A（2，y1）、B（3，y2）、C（-4，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y3＞y1＞y2 D. y3＞y2＞y1
7.一元二次方程x2+ax-1=0的根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 实数根的个数与a的取值有关 D. 没有实数根
8.如图，在宽为20m、长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540m2，设道路的宽xm．则可列方程为（　　）
A. 32×20-32x-20x=540
B. （32-x）（20-x）=540
C. 32x+20x=540
D. （32-x）（20-x）+x2=540
9.如图，正六边形ABCDEF边长为2a,则它的内切圆半径为（　　）
A. a
B. 2a
C.
D.
10.如图所示是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论正确的是（　　）
A. a-b+c＜0 B. b2=4a（c-n）
C. 一元二次方程ax2+bx+c=n+1有实数根 D. 3a+c=0
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若关于x的一元二次方程x2+mx+2=0的一个根是1，则该方程的另一个根是 .
12.如表是某种子公司为检测某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果，
种子个数 400 750 1500 3500 7000 …
发芽种子个数 369 662 1335 3203 6335 …
发芽率 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 …
根据如表中的数据，可估计该种子发芽的概率为 .（结果精确到0.1）
13.如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点.若AD=1，BC=5，则△ABC的周长为 .
14.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则图中阴影部分面积为 .
15.如图，△ABC是等边三角形，边长为6，点D为BC中点，连接AD，点E为线段AD上一动点（不与A，D重合），连接BE，以BE为边在BE下方作等边△BEF，连接DF，则DF的最小值为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程
（1）x2-6x+4=0；
（2）x（x-5）=2x-10.
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（-3，4），C（-2，6）.
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1，并直接写出B1，C1的坐标.
（2）在（1）的条件下，求点B经过的路径长.
18.(本小题8分)
为了提升学生的文明素养与环保意识，某校在“创文创卫”活动周中，设置了A.文明礼仪；B.环境保护；C.卫生保洁；D.垃圾分类四个主题，每个学生选一个主题参与活动.
（1）张宇同学从四个主题中随机选择一个，他选择文明礼仪主题的概率为______.
（2）李静和周凯两位同学分别从四个主题中随机选择一个，求他们选择相同主题的概率.
19.(本小题8分)
一名运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式.
（2）该运动员身高1.82m,在这次跳投过程中，球在头顶上方0.2m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？
20.(本小题8分)
近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长.为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元.
（1）若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率.
（2）活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套.如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套.要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？
21.(本小题10分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，过点D作⊙O的切线与BC延长线交于点E，连接AC.
（1）求证：∠CED=∠BAC；
（2）若ED∥AC，AC=6，AB=5，求⊙O半径长.
22.(本小题12分)
四边形ABCD是正方形，将线段AD绕点A逆时针旋转至AE，旋转角为α（0°＜α＜360°），连接DE，BE，BE与AD交于O点，过点D作DF⊥BE，垂足为点F，连接AF.
（1）如图1，当α=45°时，∠ADF的度数为______.
（2）如图2，当0°＜α＜90°时，用等式写出DF，BF、AF的数量关系，并证明.
（3）在旋转过程中，当S△CEF=3S△CDF时，若BF=9，求AF的长.
23.(本小题13分)
定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”.例如点（2，-2）是函数y=x-4的图象的“相反点”.
（1）基础求解
请直接写出函数y=x2-2x图象上的“相反点”的坐标.
（2）综合分析
若抛物线y=ax2+4ax+c（a＞0）上有两个“相反点”，分别为点A（1，m）和B（n,-n），过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合），当△ABC面积为12时，求点B的坐标.
（3）拓展探究
若函数y=-x2+6的图象记为G1，将其绕点（0，t）旋转180°后的图象记为G2，当G1，G2两部分组成的图象上恰有3个“相反点”时，求t的值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】2
12.【答案】0.9
13.【答案】12
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】 x1=5，x2=2
17.【答案】，B1（1，4），C1（3，3）
18.【答案】
19.【答案】y=-0.2x2+3.5 球出手时，他跳离地面的高度为0.23m
20.【答案】10% 该款式的泳装每套可以涨价20元或40元
21.【答案】连接BD，则∠BDC=∠BAC，
∵∠BAD=90°，
∴BD是⊙O的直径，∠BCD=180°-∠BAD=90°，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∴∠CED+∠DBE=90°，
∵∠BDC+∠DBE=90°，
∴∠CED=∠BDC，
∴∠CED=∠BAC ⊙O半径长为
22.【答案】22.5° ，证明如下：
在BF上截取BG=EF，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
由旋转的性质得∠DAE=α，AD=AE，
∴AB=AE，∠BAE=∠DAB+∠DAE=90°+α，．
∴，
同理（1）得，，
∴∠FED=∠AED-∠AEB=45°，
∵DF⊥BE，
∴△DFE为等腰直角三角形，
∴DF=EF，
∴DF=BG，
∵AB=AE，∠AEF=∠ABG，EF=BG，
∴△AFE≌△AGB（SAS），
∴AF=AG，∠BAG=∠EAF，
∵AE=AD，EF=DF，AF=AF，
∴△EAF≌△DAF（SSS），
∴∠EAF=∠DAF，
∴∠DAF=∠BAG，
∴∠FAG=∠DAF+∠DAG=∠BAG+∠DAG=∠DAB=90°，
∴，
∴ 或
23.【答案】（0，0），（1，-1） （-3，3） 为或2或-3
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